抽样定理的理论证明与实际应用.doc

信号与线性系统分析综合练习题目：抽样定理的理论证明与实际应用 一、抽样和抽样定理数字信号处理技术的优势和快速发展使得数字设备和数字媒体广泛应用，如手机、MP3、CD 和DVD 等。抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分，又称取样定理、采样定理，是由奈奎斯特(Nyquist)和香农(Shannon)分别于1928年和1949年提出的，故又称为奈奎斯特抽样定理或香农抽样定理。“抽样”就是利用周期抽样脉冲p(t)从连续信号f(t)中抽取离散样值的过程，得到的离散信号为抽样信号，也称为抽样信号，以s(t)表示。抽样过程的数学模型就是连续信号与抽样脉冲序列相乘。抽样过程所应遵循的规律，称抽样定理。抽样定理说明抽样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。在进行模A/D转换过程中，当抽样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max2fmax)，抽样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证抽样频率为信号最高频率的510倍。抽样定理描述了在一定条件下，一个连续的信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时样本值表示，这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原来的连续信号。也就是说，抽样定理将连续信号与离散信号之间紧密的联系起来，为连续信号与离散信号的相互转换提供了依据。通过观察抽样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，然后再利用频域时域的对称关系，就能在时域上恢复原信号。二、时域抽样定理的理论证明时域抽样定理的完整描述是这样：一个频谱在区间（-m，m）以外为零的频带有限信号(t),可唯一地由其在均匀间隔Ts（Tsm各处为零；抽样频率不能过低，必须满足s2m (即s2m),即抽样间隔不能太长，必须满足TsT).则经过滤波能从混叠的抽样信号频谱Fs(j)中选得原信号的压缩频谱F（j/a）（0afs/2 的高频成分，然后在进行抽样。下图给出加抗混叠低通滤波器和不加抗混叠低通滤波器两种情况下，连续信号与抽样信号的频谱图对比。从中可以发现，加入抗混叠低通滤波器之后，频谱的混叠失真可以大大减小。 (a)加抗混叠低通滤波器 (b)不加抗混叠低通滤波器3）在AD转换器中因为输入的模拟信号在时间上是连续的而输出的数字信号代码是离散量所以进行转换时必须在系列选定的瞬间对输入的模拟信号抽样然后将抽样值转换出为输出的数字量。如下图，表示抽样信号 Vs表示模拟信号Vi 必须满足：fs2fimax 对输入模拟信号的抽样fs为抽样频率,fimax为信号Vi的最高频率分量的频率。只有满足上式可以用一定低通滤波将Vs还原为Vi,这个低通滤波器的频率特性在低于fimax的范围内,滤波器的电压传输系数应保持水平，而在fs-2fimax以前迅速下降为零。所以抽样定理为我们规定了AD转换的频率下限。六、总结抽样定理在各个领域中得到了广泛的运用，我们的生活中也经常能接触到，就比如我们听的音乐，就是对模拟信号的采