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第六章布莱克 舒尔斯期权定价模型 第一节EMH的理论渊源 假设条件与内容 一 有效市场假说与随机游走理论发展过程1 讨论市场有效问题的著述可追溯到Gibson 1889 2 最早描述和检验随机游走模型的是法国经济学家Bachelier3 Working 1934 股票价格随机游走4 Kendall 1953 做了大量序列相关分析5 Samuelson 1965 和Mandelbrot 1966 揭示EMH期望收益的公平游戏原则6 Fama 提出有效市场理论理论框架 第一篇讨论市场有效问题的著述可追溯到1889年 经济学家Gibson在 伦敦 巴黎和纽约的股票市场 一书中曾描述过这一假说的大致思想 尽管当时还没有 有效市场 这一提法 在当时产生了一定的影响 实际上 对证券价格的研究并不是建立在价格形成理论的基础上的 真正研究市场有效性问题是从研究随机游走行为开始的 最早描述和检验随机游走模型的经济学家是法国经济学家Bachelier 1900年Bachelier在其博士论文 投机理论 中认为价格行为的基本原则应是 公平游戏 投机者的期望利润应为零 Bachelier之后关于证券价格行为的研究并没有得到很大的发展 直到计算机的出现 这一研究才又重新开展起来 1953年英国统计学家Kendall在其 经济时间序列分析 第一篇 价格 一文中研究了19种英国工业股票价格指数和纽约 芝加哥商品交易所的棉花 小麦的即期价格周变化规律 在做了大量序列相关分析后 发现这些序列就象在随机漫步一样 下一周的价格是前一周的价格加上一个随机数构成 实际上 Kendall的结论已在1934年由Working提出过 只是Working的论述缺乏象Kendall那样有力的实证研究证据 1959年Roberts揭示了这些股票市场研究和金融分析的结论所隐含的意义 但是 Kendall Working和Roberts提出的投机价格序列可以用随机游走模型很好描述的观点是建立在观察基础上的 他们并没有对这些假设进行合理的经济学解释 直到1965年和1966年Samuelson和Mandelbrot两位经济学家才在仔细研究了随机游走理论后 较为严密地揭示了EMH期望收益模型中的 公平游戏 原则 Fama是有效市场理论的集大成者 他为该理论的最终形成和完善作出了卓越的贡献 1970年Fama关于EMH的一篇经典论文 有效资本市场 理论和实证研究回顾 不仅对过去有关EMH的研究作了系统的总结 还提出了研究EMH的一个完整的理论框架 在此之后 EMH蓬勃发展 其内涵不断加深 外延不断扩大 最终成为现代金融经济学的支柱理论之一 1965年美国芝加哥大学EugeneFama法玛在商业学刊上发表题为 股票市场价格行为 一文 提出了著名的有效市场假说 EfficientMarketHypothesis EMH 该假说认为 在一个充满信息交流和信息竞争的社会里 一个特定的信息能够在证券市场上迅速被投资者知晓 随后 股票市场的竞争将会驱使证券价格充分且及时反映该组信息 从而使得投资者根据该组信息所进行的交易不存在非正常报酬 而只能赚取风险调整的平均市场报酬率 只要市场充分反映了现有的全部信息 市场价格代表着证券的真实价值 这样的市场就称为有效市场 有效市场假说 EMH 是数量化资本市场理论的核心 同时也是现代金融经济学的理论基石之一 随机游走 股价变动是随机且不可预测的 如果股价可以预测 投资者只需在股价将涨时买入或在将跌时抛出就可获得无止境的利润 事实上 对未来股价的预测将导致股价的立刻变化 即股价将即刻反应模型预测所暗示的 好消息 对未来股价变化的预测将导致股价提前变化 以至所有的市场参与者都来不及在股价上升前行动 亦即股价中包含了当前一切可用于预测股票表现的信息 一旦有迹象表明某种股票被低估 便存在着一个赚钱的机会 投资者便会蜂拥购买使得股价立刻上升到正常水平 从而只能获得正常利润 所以 股价只对新信息作出上涨或下跌的反应 而新信息必然是不可预测的 所以股价同样是不可预测的 这就是随机游走论点的本质 有效市场假说 市场价格充分反映了所有相关的信息 这就是有效市场理论或有效市场假说 EfficientMarketHypothesis 简称EMH 简洁明快的EMH体现了经济学家们一直梦寐以求的东西 竞争均衡 EMH实际上是亚当 斯密 看不见的手 在金融市场的延伸 EMH的建立 保证了金融理论的适用性 EMH是经典金融经济学的基础 ReactionofStockPricetoNewInformationinEfficientandInefficientMarkets StockPrice 30 20 100 10 20 30 Daysbefore andafter announcement Efficientmarketresponseto goodnews Overreactionto goodnews withreversion Delayedresponseto goodnews ReactionofStockPricetoNewInformationinEfficientandInefficientMarkets StockPrice 30 20 100 10 20 30 Daysbefore andafter announcement Efficientmarketresponseto badnews Overreactionto badnews withreversion Delayedresponseto badnews 由图可见有效市场假设这一理论的思想是 不要以为你发现了股票价格的变动规则或盈利的简单手段 也许你什么也没有发现 如果有如此简单的赚钱方法 别人早就发现到了 进而 如果每人都在挖掘信息的价值 那么他们的努力实际上成为 击败自己 的行动 并且股票变动的规则将会消失 三个信息阶层的关系 证券市场中的信息有以下关系 第一阶层 证券市场的历史价格信息第二阶层 所有公开的信息第三阶层 所有可知的信息 包括内部的和私人的信息 三个阶层的信息包容关系如图所示 有效市场假说 一个问题 马路上是否有100元可捡 答案1 没有 因为如果有的话 早就给人捡走了 经典有效市场理论 答案2 不知道 因为人人都那样想 有钱也不一定有人去捡 Grossman Stiglitz悖论 答案3 可能有钱 但一般人捡不到 因为捡钱要冒风险或有本事 新有效市场理论 二 有效市场假说的条件 一 假设条件第一 完全竞争市场 第二 理性投资者主导市场 第三 信息发布渠道畅通 第四 交易无费用 市场不存在磨察 第五 资金可以在资本市场中自由流动 完全理性假设是投资者都是追求个人效用最大化的理性 经济人 具有同样的智力水平和同样的分析能力 对信息的解释也是相同的 股票价格波动完全是投资者基于完全信息集的理性预期的结果 二 充分条件第一 股票市场没有交易成本 第二 所有投资者能不花成本地平等地获得所有可获得的信息 第三 所有投资者对当前价格和未来价格的变化趋势认识相同 在这样的市场中 当前价格显然反映了所有可获得的信息 三 必要条件第一 股票价格随机行走 randomwalk 第二 不可能存在持续获得超额利润的交易规则 扣除风险因素 abnormalreturns 第三 价格迅速准确反映信息 eventstudy 第四 一般投资者和专业投资者的投资业绩无显著差别 三 有效市场假说的内容 Fama有效市场的定义 Anefficientmarketisdefinedasamarketwheretherearelargenumbersofrational porfit maximizersactivelycompeting witheachtryingtopredictfuturemarketvaluesofindividualsecurities andwhereimportantcurrentinformationalmostfreelyavailabletoallparticipants Inaefficientmarket competitionamongmanyintelligentparticipantleadstoasituationwhere atanypointintimeactualpricesofindividualsecuritiesalreadyreflecttheeffectsofinformationbasedbothoneventsalreadyoccurredandoneventwhich asofnowthemarketexpecttotakeplaceinthefuture 新帕尔格雷夫大辞典 的解释 若资本市场在证券价格形成中充分而准确地反映全部相关信息 则称其为有效率 规范言之 若证券价格并不由于向所有证券交易参与者公开了信息集 而受到影响 那么就说该市场对信息集 是有效率的 而对信息集 有效率意味着以 为基础的证券交易不可能获取经济利润 四 有效市场的类型和特征 有效市场的三种类型按证券价格对不同信息集的反映情况 将关于 的实证研究工作分为三类 之所以作这样的划分 是为了说明在何种信息层次上不支持市场有效的假设 这种分类最早在1997年5月由Roberts提出 Fama 1970 使得这种分类得以流传 根据Fama的定义 有效市场中证券的价格充分反映了全部可以提供的信息 t 而且他把 可提供的信息 t 分为三类 一是历史信息 通常指股票过去的价格 成交量 公司特性等 二是公开信息 如红利宣告等 三是内部信息 指的是非公开的信息 一 弱式有效市场假说 该假说认为在弱式有效的情况下 市场价格已充分反应出所有过去历史的证券价格信息 包括股票的成交价 成交量 卖空金额 融资金融等 推论一 如果弱式有效市场假说成立 则股票价格的技术分析失去作用 基本分析还可能帮助投资者获得超额利润 二 半强式有效市场假说 Semi StrongFormMarketEfficienty 该假说认为价格已充分所应出所有已公开的有关公司营运前景的信息 这些信息有成交价 成交量 盈利资料 盈利预测值 公司管理状况及其它公开披露的财务信息等 假如投资者能迅速获得这些信息 股价应迅速作出反应 推论二 如果半强式有效假说成立 则在市场中利用技术分析和基本分析都失去作用 内幕消息可能获得超额利润 三 强式有效市场假说 Strong FormMarketEfficioncy 强式有效市场假说认为价格已充分地反应了所有关于公司营运的信息 这些信息包括已公开的或内部未公开的信息 推论三 在强式有效市场中 没有任何方法能帮助投资者获得超额利润 即使基金和有内幕消息者也一样 三种有效假说的检验就是建立在三个推论之上 强式有效假说成立时 半强式有效必须成立 半强式有效成立时 弱式有效亦必须成立 所以 先检验弱式有效是否成立 若成立 再检验半强式有效 再成立 最后检验强式有效是否成立 顺序不可颠倒 中国证券市场 有效市场假说检验文章汗牛充栋 有结论认为沪深股市弱式有效假说成立 三者的关系及评价 哪种有效市场理论更好地描述了证券市场的运作机制呢 专家的意见不同 当然 支持半强式有效市场的证据比支持强式有效市场的证据更加令人置信 在考察证据前 可用基本的经济学的思辨方式 总结对有效市场假设理论的思考 预期市场达到弱式有效的原因之一是发现股票价格变动规律是十分便宜和容易的 任何懂得计算机编程和一些统计学知识的人都可以研究和发现这些规律 与弱式效率相比较 半强式有效市场使用更加复杂的信息和推理 投资者必须掌握经济学和统计学的技术知识 并且对各种行业和公司的特征有深入了解 此外 掌握和使用这些技术需要才华 能力和时间 而且成功案例很少见 而与半强式效率相比较 强式效率不太切合实际 很难相信市场已经存在如此的高效率 以至于那些 内幕 人士都不能通过利用这些消息获利 同时 也很难发现市场达到强式有效的有关证据 到目前为止 所拥有的证据基本上都否定强式有效市场的假设 有效市场的另一种定义 在1979年 WestandTinic将证券市场效率划分为两类 一类是 内在效率 另一类是 外在效率 所谓内在效率 也就是证券市场的运行效率 即证券市场能否在最短的时间以最低的交易成本为交易者完成一笔交易 它反映了证券市场的组织功能和服务功能 所谓外在效率 是指证券市场的资金分配效率 即市场上证券价格能否根据有关的信息做出及时 快速的反映 因而又可称之为信息效率 可见 外在效率与前面定义的市场有效性是一致的 由于在有效市场上只有新的信息才能影响证券价值 而信息又是随时 随机地进入市场 买卖双方都会对这些信息迅速地做出反映 而且有效市场具有充分的广度 深度和弹性 没有人能操纵市场 左右证券价格 有效性来源于竞争 证券价格之所以趋向于反映所有相关信息 是市场竞争的结果 当投资者花费时间和金钱去收集 分析各类信息时 这些活动应该能够提高投资者的预期收益 否则将得不偿失 由于市场上存在着大量的投资者 这些投资者都在努力寻找一切可能的获利机会 都在把自己掌握的信息用于投资活动从而反映在证券价格上 因此 可以期望在市场均衡的条件下 证券价格将反映所有有关的信息 而一旦市场偏离均衡 出现了某种套利机会 也会有人在极短的时间内去填补这一空隙 使市场恢复均衡 因此 虽然不能绝对地说证券价格已经反映了全部相关信息 其价格的未来变化是无法预测的 但至少要考虑到证券市场是一个充分竞争的市场 在这个市场上存在着许多训练有素 知识和技术能力 分析能力都很强的投资者 在这样一个市场上 要预测证券价格的未来变化 寻找获利机会是相当困难的 特别是考虑到扣除为获取信息所付出的种种成本后的实际收益 这一问题表现的更为明显 有效市场的特征 1 市场的无记忆性 只要当前价格中己经包含了全部过去价格的信息 则过去的记忆对未来的价格预测是毫无帮助的 价格的变动是纯粹的随机游走 因此否定了技术分析 2 市场价格可信赖 证券价格具有很高的供需弹性 微小的价格变动立即引发套利产生供需关系的变化 而且马上形成新的均衡 从而不可能持续地获取超过市场平均水平的收益 收益的大小只取决于所承担的风险的大小 各种财务假象 如因为送配股或改变会计方法使收益看上去发生变化 从长远看都是无效的 市场越有效率 财务包装的作用就越小 证券价格应迅速准确地反映收集到的未来关于定价的新资料和信息 证券价格从一个阶段到下一阶段的变化应该是随机的 因而今天的价格变化与昨天发生的价格变化或过去的任何一天的价格变化无关区别将来某段时期的有利和无利的投资不可能以现阶段已知的这些投资的任何特征为依据 例如 不可能创造一种交易规则 使用有效资料在时间内预测t 1时最有利的投资 如果把 投资专家 和 无知的投资者 区分开 将发现不能找到这两组人投资绩效的重要区别 换句话说 组与组之间及组内的投资者之间绩效的不同乃归因于机会 因不取决于一些系统的和持久的 如收集资料和分析资料的能力等 不同因素 五 有效市场假说的检验与争论 一 弱式有效假说的检验检验原理 技术分析是否能用于价格 收益 预测 若有用 则弱式有效不能成立 检验方法 1 序列自相关分析 若股票收益率存在时间上的自相关 即以前的收益率能影响现在的收益率 则技术分析有用 弱式有效不能成立 2 串检验 构造三种 串 检验相关性 3 滤嘴法则 给出一个股票买卖的 滤嘴 即比阶段最低点上升 时买入 比阶段最高点下降 时即卖出 观察是否比买入并持有策略有更高的收益率 代表研究 Kendall 1953 二 半强式有效假说的检验 检验原理 基本分析是否有用 方法 事件检验法 即检验和公司基本面有关的事件发生时 股价变化有无快速反应 若能快速反应 则投资者不能通过新信息获得超额利润 基本分析失灵 半强式有效成立 事件 新信息 一般指新股票的上市 财务报表的公布 市盈率的高低 股票的分割及巨额交易等 代表研究 Boll Brown 1968 FFJR 1969 三 强式有效假说的检验 检验原理 内幕消息是否有用 方法 检验基金或有可能获得内幕消息人士的投资绩效评价 若被评估者的投资绩效确实优于市场平均 则强式有效不能成立 EMH的争论 简洁明快的 体现了经济学家们一直梦寐以求的东西 那就是竞争均衡 实际上是亚当 斯密 看不见的手 在金融市场的延伸 的成立 保证了金融理论的适用性 自从 被正式提出后 30年来围绕 的争论从来就没有停止过 这些争论不仅使得 理论和实证研究不断完善 也促进了许多其它学科的蓬勃发展 一 市场的过度波动 1987的NYSE市场崩盘 crash 1987 10 19 blackMonday 23 全球股市的下跌 骨牌效应香港市场 46 澳大利亚市场 42 墨西哥市场 35 指数期货的下跌 推波助澜者还是始作俑者与基本面的矛盾羊群效应1990年代末的网络股泡沫非理性的网络狂潮 mania 1998 2000 二 关于市场特性 线性还是非线性 随机还是与混沌 传统经济学家的基本信条是长期的变化趋势有其深刻的经济原因 而短期不规则涨落的原因则是外在的随机因素 结果与之相应的经济数学模型通常是线性 或对数线性 方程加上随机项 关于EMH的大多数实证研究都建立在线性模型的基础上 探测金融数据的 线性 结构 线性可预测性是焦点 二十世纪60年代以来 人们对有序和随机的认识发生了革命性的变化 长期以来关于自然界中确定性的作用和随机性起源的观念从根基上发生了动摇 有些系统 特别是非线性系统会表现出一种非常复杂 类似随机的行为 无法根据给定的初始条件确定系统将来的状态 于是就把这种行为称为混沌 如果经济现象的不规则波动被证明是属于混沌现象 那么 传统的经济理论关于随机性来源的假定对于该类经济现象可能就不适用 也就要求对这类经济现象的认识得从经济系统内部着手 寻求其内在原因 Campbell Lo和MacKinlay在1997年指出 经济行为的许多方面可能并不是线性的 包括投资者对待风险和期望收益的态度和证券价格对信息的反应过程 因此 金融计量的前沿就是对非线性现象的建模 但现在还不能检测经济系统结构中的混沌 并且在相当长的一段时间内这类检验出现的可能性也很小 早在EMH完全形成之前 人们就已经发现了市场收益率不符合正态分布的假定 收益率之间也非独立 部分实证研究表明 股票收益分布明显偏离正态分布 具有狭峰和厚尾 股票收益的厚尾特性说明不能用方差来度量股市的风险程度 传统投资理论方差度量风险失效 因此必须重新探讨市场特性 从而不必依赖于独立 正态或方差有限的假设 有人建议用稳态分布替代正态分布 但基于正态分布的特性 研究方法的熟悉而不愿放弃 三 金融异象 Anomalies 的发现 1 与 相悖的异象 指出 如果证券市场上的证券价格能够充分反映所有有关证券价格的信息 投资者就不可能利用某些分析模式和相关信息始终如一地在证券市场上获取超额利润 经济学家们在不断发现支持 的证据时 也碰到了一些与之相悖的现象 这些异象对这一假设提出了有力挑战 其中比较著名的有 1 规模效应 指股票收益率与公司大小有关 Banz是第一个发现规模效应的经济学家 他在1981年发现在美国 无论是总收益率还是风险调节后的收益率都与公司大小负相关 在Banz之后 经济学家们对各主要发达国家的市场进行了广泛检验 其中包括比利时 加拿大 日本 西班牙 法国等 除了加拿大和法国外 其它国家均存在规模效应 2 季节效应 指股票收益率与时间有关 Rozeff和Kinney在1976年时发现 1904 1974年间纽约股票交易所的股价指数一月份的收益率明显高于其它11个月的收益率 Gultekin等1983年研究了17个国家1959 1979年的股票收益率 其中13个国家一月份的股票收益率高于其它月份 除元月效应以外 季节效应还包括周末效应 节日效应以及开盘 收盘效应等 季节效应也是在世界各国资本市场普遍存在的现象 笔者曾对上海和深圳股票市场进行了周末效应检验 发现无论是深圳股票市场还是上海股票市场在所选取的样本区间内 股票报酬率最低均出现在每个月的第4个周一 从而证实我国股票市场也存在季节效应 3 小公司元月效应 1983年Keim发现公司的规模与元月效应有密切的关系 他将纽约股票交易所的股票按规模分为10组 然后逐月算出规模最小的公司和规模最大的公司的超额收益率之差 一月份规模最小的公司比规模最大的公司的超额收益率高出14 左右 而且较高的收益率又主要集中在十二月底的最后一个交易日和一月的头5个交易日 2 对异象的解释 行为金融理论 各种异象的存在使 受到了严峻挑战 在 之下是不会出现这些股票收益的规律性的 原因是投资者可以利用这些投机规律 赢得超额回报 如果所有的投资者都这样做 则会使收益率间的不平衡仅供补偿其风险 由此根除各种异象 然而 实证研究表明 这些异象在世界许多国家的股票市场上普遍存在 经济学家们为此搜寻了许多解释 如 被遗忘效应 Theneglectedfirmeffect 纳税效应 Taxlossselling 等 但理性的解释都不能令人满意 因此 经济学家开始对金融经济学的理论基石 理性经济人 假设提出质疑 大量事实业已证明 当事人的行为方式及其中深层次的相关心理特质对金融活动的结果具有直接的 重要的影响 在研究复杂的金融市场行为时必须考虑到人类行为本身所具有的复杂多变特性 于是一个极富挑战性的研究新领域 行为金融学应运而生 行为金融理论是从人们决策时的实际心理活动入手讨论投资者的投资决策行为的 投资者在进行投资决策时常表现出过分自信 损失回避 避免后悔等心理 投资者往往过分相信自己对股票价值判断的准确性 过分偏爱自己掌握的信息 对于收益和损失 投资者更注重损失带来的不利影响 委托他人投资以减少因自身决策失误而后悔 及仿效多数投资者的投资行为进行投资等 因而他们的实际决策过程并非如现代金融理论所描述的最优决策过程 进而导致证券市场上证券价格的变化偏离建立在最优决策模型等现代金融理论假设基础上的 3 对行为金融理论的反驳 尽管行为金融理论较好地解释了许多市场异象 但 的支持者仍然对行为金融理论是否真正解释了市场异象 是否比 更接近证券市场运行的实际提出了疑问 主要观点如下 1 在有效市场中将会有各种各样的情形存在 既会有价格对信息的过度反应也会有反应不足的情况 如果过度反应出现的频率与反应不足出现的频率大致接近 则该市场仍为有效的 而实证研究证实了这两种情形出现的概率非常相近 2 行为金融认为当长期收益异象非常之大 而不可归为偶然事件时 即使过度反应与反应不足出现的概率相近也不可视为市场有效 但 支持者认为 这种长期收益异象的存在与度量方法密切相关 当模型改变或运用不同的统计方法时 长期收益异象甚至会消失 因此这些异象仍可归为偶然事件 3 推翻 必须具体规定一个与 对立的假设作为检验的基础 一个具体的备择假设必须指明价格形成过程的偏差 即同样的投资者对一些事件会过度反应而对另一些事件会反应不足 这个备择假设还必须比 更能解释这样的事实 即异常收益的期望值为0 但偶然事件使得异常现象会朝正负两个方向发展 显然 行为金融理论很难做到这一点 因此不能推翻 4 坏模型问题在长期收益检验中更为突出 因为在检验期望收益时 模型误差随着收益区间加长而增加的幅度超过了收益波动的幅度 因此拒绝模型的设定并不能否定 所有这些论断都坚定了 在现代金融理论中的统治地位 第二节证券价格的变化过程 一 有效市场假说与马尔可夫过程弱式效率市场可用马尔可夫随机过程 MarkovStochasticProcess 来表述 随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程 可分为离散型的和连续型的 马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程 变量的当前值与未来的预测有关 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关 如果证券价格遵循马尔可夫过程 则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格 二 布朗运动 一 标准布朗运动 维纳过程 设代表一个小的时间间隔长度 代表变量z在时间内的变化 遵循标准布朗运动的具有两种特征 特征1 和的关系满足 1 其中 代表从标准正态分布 即均值为0 标准差为1 0的正态分布 中取的一个随机值 标准布朗运动 2 特征2 对于任何两个不同时间间隔 和的值相互独立 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形 可得 2 当 0时 可以得到极限的标准布朗运动 3 考察变量z在一段较长时间T中的变化情形 z T z 0 表示变量z在T中的变化量又可被看作是在N个长度为 t的小时间间隔中z的变化总量 其中N T t 很显然 这是n个相互独立的正态分布的和 因此 z T z 0 也具有正态分布特征 其均值为0 方差为N t T 标准差为 为何定义为 当需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时 独立的正态分布 期望值和方差具有可加性 而标准差不具有可加性 这样定义可以使方差与时间长度成比例 不受时间划分方法的影响 相应的一个结果就是 标准差的单位变为连续时间的标准布朗运动 当 t 0时 就可以得到极限的标准布朗运动 维纳过程的性质 Z T Z t 也服从正态分布均值等于0方差等于T t方差可加性 二 普通布朗运动 变量x的普通布朗运动 4 或者x t x0 at bz t adt为确定项 漂移率a意味着每单位时间内x漂移a bdz是随机项 代表着对x的时间趋势过程所添加的噪音 使变量x围绕着确定趋势上下随机波动 且这种噪音是由维纳过程的b倍给出的 b2称为方差率 b称为波动率 三 伊藤过程与伊藤引理 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数 若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数 可以从公式 4 得到伊藤过程 ItoProcess 5 其中 dz是一个标准布朗运动 a b是变量x和t的函数 变量x的漂移率为a 方差率为b2 若变量x遵循伊藤过程 则变量x和t的函数也是伊藤过程 6 伊藤引理 三 伊藤过程与伊藤引理 四 证券价格的变化过程 几何布朗运动 证券价格的变化过程可以用漂移率为 S 方差率为的伊藤过程来表示 7 几何布朗运动两边同除以S得 8 从 8 可知 在短时间后 证券价格比率的变化值为 9 也具有正态分布特征 7 根据伊藤引理 6 衍生证券的价格G应遵循如下过程 10 例 证券价格自然对数变化过程 令 由于代入式 10 11 证券价格对数G遵循普通布朗运动 且符合正态分布 为什么证券价格可以用几何布朗运动表示 一般认同的 弱式效率市场假说 证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息 马尔可夫过程 只有变量的当前值才与未来的预测有关 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关 几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz 具有马尔可夫性质 符合弱式假说 投资者感兴趣的不是股票价格S 而是独立于价格的收益率 投资者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长 而是期望股票价格以一定的增长率在增长 因此需要用百分比收益率代替绝对的股票价格 几何布朗运动最终隐含的是 股票价格的连续复利收益率 而不是百分比收益率 为正态分布 股票价格为对数正态分布 这比较符合现实 百分比收益率与连续复利收益率 百分比收益率 连续复利收益率 百分比收益率的缺陷与连续复利收益率的优点 有限责任原则 金融学中常常存在对实际收益率 近似 服从正态分布的隐含假定 但是在有限责任 投资者顶多赔偿全部的投资 不会损失更多 原则下 百分比收益率只在 1和 之间变化 不符合正态分布假定 对数收益率 更适合于建立正态分布的金融资产行为模型 多期收益率问题 即使假设单期的百分比收益率服从正态分布 多期的百分比收益率是单期百分比收益率的乘积 n个正态分布变量的乘积并非正态分布变量 从而产生悖论 多期的对数收益率是单期的对数收益率之和 仍然服从正态分布 交叉汇率问题 如果用百分比表示 例如美元对日元汇率变化收益率 日元对美元汇率变化收益率 两者绝对值不会相等 而且其中一个服从正态分布 另一个就无法服从正态分布 交叉汇率的收益率难以直接计算 如果用对数收益率表示 两个相互的汇率收益率绝对值正好相等而符号相反 可以满足同时服从正态分布的假设 交叉汇率收益率可以直接相加计算 百分比收益率与连续复利收益率 连续复利收益率的问题 尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现 但是横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值 因为对数之和不是和的对数 但是在很短时间内几乎可以认为是近似 JP摩根银行的RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均 几何布朗运动的深入分析 在很短的时间 t后 证券价格比率的变化值为 在短时间内 具有正态分布特征其均值为 标准差为 方差为 几何布朗运动的深入分析 2 但是 在一个较长的时间T后 不再具有正态分布的性质 多期收益率的乘积问题因此 尽管 是短期内股票价格百分比收益率的标准差 但是在任意时间长度T后 这个收益率的标准差却不再是 股票价格的年波动率并不是一年内股票价格百分比收益率变化的标准差 几何布朗运动的深入分析 3 如果股票价格服从几何布朗运动 则可以利用Ito引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循的随机过程 这个随机过程的特征 普通布朗运动 恒定的漂移率和恒定的方差率 在任意时间长度T之后 G的变化仍然服从正态分布 均值为 方差为 标准差仍然可以表示为 和时间长度平方根成正比 从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到两个结论 1 几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布 令t时刻G的值为lnS T时刻G的值为lnST 其中S表示t时刻 当前时刻 的证券价格 ST表示T时刻 将来时刻 的证券价格 则在T t期间G的变化为 这意味着 进一步从正态分布的性质可以得到也就是说 证券价格对数服从正态分布 如果一个变量的自然对数服从正态分布 则称这个变量服从对数正态分布 这表明ST服从对数正态分布 这正好与 作为预期收益率的定义相符 2 股票价格对数收益率服从正态分布 由于dG实际上就是连续复利的对数收益率 因此几何布朗运动实际上意味着对数收益率遵循普通布朗运动 对数收益率的变化服从正态分布 对数收益率的标准差与时间的平方根成比例 将t与T之间的连续复利年收益率定义为 则 结论 几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过程 参数的理解 几何布朗运动中的期望收益率 短时期内的期望值 根据资本资产定价原理 取决于该证券的系统性风险 无风险利率水平 以及市场的风险收益偏好 由于后者涉及主观因素 因此的决定本身就较复杂 可以证明 衍生证券的定价与标的资产的预期收益率 是无关的 较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果 而较短时间内的收益率则是算术平均的结果 参数的理解 是证券价格的年波动率 又是股票价格对数收益率的年标准差因此一般从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差 再对时间标准化 得到年标准差 即为波动率的估计值 一般来说 时间越近越好 时间窗口太长也不好 采用交易天数而不采用日历天数 小结 可以用几何布朗运动来描述股票价格的运动 符合弱式有效 对数正态分布的市场现实 以及投资者对收益率而非价格的关注 根据Ito引理 可以得到衍生证券所遵循的随机过程 股票价格遵循几何布朗运动 可以得到未来的某个时刻股票价格服从对数正态分布的结论 思路 由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性 dz 影响 若匹配适当的话 这种不确定性就可以相互抵消 因此布莱克和舒尔斯就建立起一个包括一单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合 若数量适当的话 标的证券多头盈利 或亏损 总是会与衍生证券空头的亏损 或盈利 相抵消 因此在短时间内该投资组合是无风险的 那么 在无套利机会的情况下 该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率 第三节B S期权定价模型 假设 证券价格遵循几何布朗运动 即 和 为常数 允许卖空 没有交易费用和税收 所有证券都是完全可分的 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会 证券交易是连续的 价格变动也是连续的 在衍生证券有效期内 无风险利率r为常数 欧式期权 股票期权 看涨期权 一 布莱克 舒尔斯微分方程的推导假设证券价格S遵循几何布朗运动 则 12 假设f是依赖于S的衍生证券的价格 则 13 14 为了消除 构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合 令代表该投资组合的价值 则 15 在时间后 16 将式 12 和 14 代入式 16 可得 17 在没有套利机会的条件下 把式 15 和 17 代入上式得 布莱克 舒尔斯微分分程 化简为 18 这就是著名的布莱克 舒尔斯微分分程 它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价 BS公式的一个重要结论 风险中性定价原理 从BS微分方程中可以发现 衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价 S 时间 t 证券价格的波动率 和无风险利率r 它们全都是客观变量 独立于主观变量 风险收益偏好 而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中 由此可以利用BS公式得到的结论 作出一个可以大大简化工作的风险中性假设 在对衍生证券定价时 所有投资者都是风险中性的 风险中性定价原理 所谓风险中性 即无论实际风险如何 投资者都只要求无风险利率回报 风险中性假设的结果 进入了一个风险中性世界所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值 尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克 舒尔斯微分方程而作出的人为假定 但BS发现 通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况 也适用于投资者厌恶风险的所有情况 也就是说 在风险中性世界中得到的期权结论 适合于现实世界 AnExample 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元 我们知道在3个月后 该股票价格要么是11元 要么是9元 现在我们要找出一份3个月期协议价格为10 5元的该股票欧式看涨期权的价值 由于欧式期权不会提前执行 其价值取决于3个月后股票的市价 若3个月后该股票价格等于11元 则该期权价值为0 5元 若3个月后该股票价格等于9元 则该期权价值为0 AnExample 为了找出该期权的价值 可构建一个由一单位看涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合 若3个月后该股票价格等于11元时 该组合价值等于 11 0 5 元 若3个月后该股票价格等于9元时 该组合价值等于9元 为了使该组合价值处于无风险状态 应选择适当的值 使3个月后该组合的价值不变 这意味着 11 0 5 9 0 25因此 一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0 25股标的股票 无论3个月后股票价格等于11元还是9元 该组合价值都将等于2 25元 在没有套利机会情况下 无风险组合只能获得无风险利率 假设现在的无风险年利率等于10 则该组合的现值应为 2 25e 0 1 0 25 2 19由于该组合中有一单位看涨期权空头和0 25单位股票多头 而目前股票市场价格为10元 因此 10 0 25 f 2 19 f 0 31这就是说 该看涨期权的价值应为0 31元 否则就会存在无风险套利机会 从该例子可以看出 在确定期权价值时 并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的概率 但这并不意味着概率可以随心所欲地给定 事实上 只要股票的预期收益率给定 股票上升和下降的概率也就确定了 例如 在风险中性世界中 无风险利率为10 则股票上升的概率P可以通过下式来求 10 e 0 1 0 25 11p 9 1 p P 62 66 又如 如果在现实世界中股票的预期收益率为15 则股票的上升概率可以通过下式来求 10 e 0 15 0 25 11p 9 1 p P 69 11 可见 投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率 而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率 然而 无论投资者厌恶风险程度如何 从而无论该股票上升或下降的概率如何 该期权的价值都等于0 31元 二 布莱克 舒尔斯期权定价公式 在风险中性的条件下 欧式看涨期权到期时 T时刻 的期望值 标的资产无收益 为 其现值为 19 对数股票价格的分布为 20 对式 19 求解 21 其中 N 为标准正态分布变量的累积概率分布函数 其性质 N x 1 N x 可