二次函数的图象与性质1.ppt

二次函数的定义 函数y ax2 bx c a b c是常数 a 0 叫做x的二次函数 思考 你认为判断二次函数的关键是什么 练习 若函数y m2 3m 4 x2 m 2 x 3m是x的二次函数 则m 探究 二次函数的图象 1 画出y x2的图象 解 1 列表 2 描点 3 连线 x 0 10 8 6 4 2 5 5 y 轴对称图形 这是一条抛物线 这是抛物线的顶点 对称轴是y轴 2 画出y x2的图象 抛物线特征 y x2 y x2 函数y x2与y x2的图象都是抛物线 它们的对称轴都是y轴所在的直线 抛物线y x2的开口向上 抛物线y x2的开口向下 抛物线y x2与抛物线y x2的顶点都在原点 0 0 请仔细观察这两个图象 它们有什么共同的特征 有什么不同的地方 观察与思考 二次项系数a 0 开口都向上 对称轴都是y轴 增减性也相同 顶点都是原点 0 0 二次函数y 2x2的图象形状与y x2一样 仍是抛物线 二次函数y 2x2的图象是什么形状 它与二次函数y x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向 对称轴和顶点坐标分别是什么 只是开口大小不同 想一想 在同一坐标系中作二次函数y x2和y 2x2的图象 会是什么样 观察图形 y随x的变化如何变化 y 2x2 x y 2x2 当a 0时 对称轴的左侧 y随x的增大而减小 对称轴的右侧 y随x的增大而增大 当a 0时 对称轴的左侧 y随x的增大而增大 对称轴的右侧 y随x的增大而减小 左减右增 左增右减 归纳 二次函数y ax2的性质 顶点坐标与对称轴 位置与开口方向 增减性与最值 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 a 0 a 0 0 0 0 0 y轴 x 0 y轴 x 0 在x轴的上方 除顶点外 在x轴的下方 除顶点外 向上 向下 当x 0时 最小值为0 当x 0时 最大值为0 左减右增 左增右减 根据图形填表 y 2x2 y 2x2 x 3 2 10123 4 520 500 524 5 4 5 2 0 50 0 5 2 4 5 请在另一坐标系中画出y 2x2和y 2x2的图象 4 520 500 524 5 4 5 2 0 50 0 5 2 4 5 性质扩充 根据左边已画好的函数图象填空 1 抛物线y 2x2的顶点坐标是 对称轴是 在侧 y随着x的增大而增大 在侧 y随着x的增大而减小 当x 时 函数y的值最小 最小值是 抛物线y 2x2在x轴的方 除顶点外 2 抛物线在x轴的方 除顶点外 在对称轴的左侧 y随着x的 在对称轴的右侧 y随着x的 当x 0时 函数y的值最大 最大值是 当x0时 y 0 0 0 y轴 对称轴的右 对称轴的左 0 0 上 下 增大而增大 增大而减小 0 试一试 1 函数y 6x2的图象的开口 对称轴是 顶点是 在对称轴的左侧 y随x的增大而 在对称轴的右侧 y随x的增大而 2 函数y 3x2的图象的开口 对称轴是 顶点是 在对称轴的左侧 y随x的增大而 在对称轴的右侧 y随x的增大而 例1 已知y m 1 x是二次函数且其图象开口向下 1 求m的值和函数解析式 2 x在何范围内 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 练习一 2 已知函数是二次函数 且开口向上 求m的值及二次函数的解析式 并回答y随x的变化规律 3 在同一坐标系中 y ax2与y ax 2 a 0 的图象大致是 练习一 例2 函数y ax2 a 0 与直线y 2x 3交于点 1 b 求 1 a与b的值 2 求抛物线y ax2的解析式 并求顶点坐标和对称轴 3 x取何值时 二次函数y ax2的y随x增大而增大 4 求抛物线与直线y 2的两交点与顶点构成的三角形的面积 O A B x y y 2 1 已知函数是关于x的二次函数 求 1 满足条件的m的值 2 m为何值时 抛物线有最低点 求出这个最低点 这时当x为何值时 y随x的增大而增大 3 m为何值时 函数有最大值 最大值是多少 这时当x为何值时 y随x的增大而减小 2 若a 1 点 a 1 y1 a y2 a 1 y3 都在函数y x2的图象上 判断y1 y2 y3的大小关系 达标检测 抛物线y 4x2与直线y 3x 1相交于点A B 在x轴上是否存在点P 使得 OAP是等腰三角形 若存在 求出点P的坐标 若不存在 说明理由 y x O 思维升级 如图 有一座抛物线形的拱桥 在正常水位时 水面AB的宽为20m 水位上升3m就达到警戒线CD 这时水面宽为10m 1 在如图所示的坐标系中求抛物线的函数关系式 2 若洪水到来时 水位以0 2m h的速度上升 从警戒线开始 再持续多少小时 才能到达拱桥顶 思维升级 思维升级 如图 点A的坐标是 5 0 点B的坐标是 3 0 在抛物线y 2x2上是否存在点C D 使得A B C D为顶点的四边