函数列与函数项级数1.doc

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Ex 1P4446 1，2，9； P5354 1，2，3. 三. 函数项级数及其一致收敛性: 1 函数项级数及其和函数：，, 前项部分和函数列，收敛点，收敛域, 和函数, 余项. 例9 定义在内的函数项级数( 称为几何级数 ) 的部分和函数列为 , 收敛域为.2. 一致收敛性: 定义一致收敛性.Th2 ( Cauchy准则 ) 级数在区间D上一致收敛, , 对D成立. 系 级数在区间D上一致收敛, , .Th3 级数在区间D上一致收敛, .例10 证明级数在R内一致收敛 . 证 令=, 则时 对R成立. 例11 几何级数 在区间上一致收敛；但在内非一致收敛.证 在区间上 , 有, . 一致收敛 ; 而在区间内 , 取, 有, . 非一致收敛. ( 亦可由通项在区间内非一致收敛于零, 非一致收敛.)几何级数虽然在区间内非一致收敛 , 但在包含于内的任何闭区间上却一致收敛 . 我们称这种情况为“闭一致收敛”. 因此 , 我们说几何级数在区间内闭一致收敛 . Ex 1P4445 1 ， 4，6.四. 函数项级数一致收敛判别法:1. M - 判别法:Th 4 ( Weierstrass判别法 ) 设级数定义在区间D上, 是收敛的正项级数.若当充分大时, 对D有|, 则在D上一致收敛 .证 然后用Cauchy准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数是级数的一个优级数. 于是Th 4 可以叙述为: 若级数在区间D上存在优级数 , 则级数在区间D上一致收敛 . 应用时, 常可试取.但应注意, 级数在区间D上不存在优级数 , 级数在区间D上非一致收敛. 参阅1P45 8.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 例12 判断函数项级数 和 在R内的一致收敛性 . 例13 设是区间上的单调函数. 试证明 : 若级数 与都绝对收敛, 则级数在区间上绝对并一致收敛 .简证 , 留为作业. . 2. Abel判别法:Th 5 设 级数在区间上收敛; 对每个 , 数列单调 ; 函数列在上一致有界, 即, 使对和, 有. 则级数在区间上一致收敛 . ( 1P43 )2. Dirichlet判别法:Th 6 设 级数的部分和函数列在区间上一致有界; 对于每一个, 数列单调; 在区间上函数列一致收敛于零. 则级数在区间上一致收敛 . 例14 判断函数项级数在区间上的一致收敛性. 解 记. 则有 级数收敛; 对每个, ； 对 和成立. 由Abel判别法, 在区间上一致收敛. 例15 设数列单调收敛于零 . 试证明 : 级数 在区间 上一致收敛.证 由本教案Ch123例4 ，在上有 .可见级数的部分和函数列在区间上一致有界 . 取 , . 就有级数的部分和函数列在区间上一致有界, 而函数列对每一个单调且一致收敛于零.由Dirichlet判别法,级数在区间上一致收敛.其实 , 在数列单调收敛于零的条件下, 级数 在不包含的任何区间上都一致收敛. Ex 1P4546 3，5，7，8，9*. 习 题 课 ( 2 时 )例1 设, . 且,.若对每个自然数 有| 对成立, 则函数列在上一致收敛于函数.例2 证明函数列在区间上非一致收敛.例3 , . 讨论函数列的一致收敛性.解 0, . | 0| . 可求得 . 函数列在区间上非一致收敛.例4 设函数在区间上连续 . 定义 . 试证明函数列在区间上一致收敛于零.证法一 由有界 . 设在区间上| . |; |; |.注意到对, . 0, , .证法二 . 有界. 设在区间上|. 把函数在点展开成具Lagrange型余项的阶Taylor公式 , 注意到 ,就有 , , , .所以 , 0, , .例5 设. 且, . 令 , , . .试证明: 若对 和 , 有 , 则函数列在区间上一致收敛 . 证 对取 , 使时, 有. 于是对任何自然数和, 有 .由Cauchy收敛准则 , 函数列在区间上一致收敛 . 例6 设在数集上函数列一致收敛于函数. 若每个在数集上有界 , 则函数列在数集上一致有界 .证 ( 先证函数在数集上有界 ) 设在上有|.对,由函数列在数集上一致收敛,当时 , 对,有 | |, | . 即函数在数集上有界.( 次证函数列在数集上一致有界 ) 时, 对,有| | , | .取 易见对和有|. 即函数列在数集上一致有界 . 例7 设为定义在区间上的函数列, 且对每个, 函数在点右连续 , 但数列 发散. 试证明: 对), 函数列在区间内都不一致收敛.证 反设, 使在区间内一致收敛. 则对, 有 对成立. .为Cauchy列,即收敛. 与已知条件矛盾. 2 一致收敛函数列和函数项级数的性质（ 4 时 ） 一. 一致收敛函数列极限函数的解析性质:1. 连续性:Th 1 设在上,且对,函数在上连续 , 在上连续.证 ( 要证 : 对, 在点连续 . 即证: 对, , 当|时, . ) .估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数在点连续, 第二项也可以任意小 . 系 设在上. 若在上间断 ，则函数列在上一致收敛和所有在上连续不能同时成立.註 Th1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列, 有 .即极限次序可换 . 2. 可积性:Th 2 若在区间上函数列一致收敛 , 且每个在上连续. 则有 .证 设在上, 由Th1, 函数在区间上连续,因此可积. 我们要证 . 注意到 , 可见只要在上成立.Th2的条件可减弱为: 用条件“在上( R )可积”代替条件“在上连续”. 证明可参阅 江泽坚著数学分析上册P350. 关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一是: Th 设是定义在区间上的函数列. 若在上收敛且一致可积 , 则其极限函数在上( R)可积 , 且有 .参阅: 马振民 , ( R)可积函数列逐项积分条件的减弱 , 西北师范大学学报（自然科学版）1988.4. 3. 可微性:Th 3 设函数列定义在区间上, 在某个点收敛. 对, 在上连续可导, 且由导函数构成的函数列在上一致收敛, 则函数列在区间上收敛, 且有 .证 设，. , .对, 注意到函数连续和 +, 就有 + （ 对第二项交换极限与积分次序） + +.估计 |+ | + |, 可证得. .即 . 亦即求导运算与极限运算次序可换. 例1 1P49 E1 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. )例2 1P50 E2 ( 说明定理的条件是充分的, 但不必要. ) Ex 1 P52 1，2. 二. 一致收敛函数项级数和函数的解析性质: 把上述Th13表为函数项级数的语言，即得关系于和函数解析性质的相应结果.参阅1P51 Th13.1113.13.例3 1P51 E3例4 证明函数在区间内连续. 证 ( 先证在区间内闭一致收敛.)对，有，；又，在一致收敛.( 次证对, 在点连续 ) 对, 由上段讨论 , 在区间上一致收敛; 又函数连续, 在区间上连续, 在点连续. 由点的任意性, 在区间内连续.例5 , . 计算积分 . Ex 1P5253 38，9，10 .虽泉萍秸粮府和睛漆呼觅墩至绅荧穆剑渝杠徊冶罐坠涤诞漫回酣匹荡晌世婉懈芹养咖熬鞠凄斧嚏裳叉戊栋猫排啮袁麦中灰榷区挺锰仔析舜效藐锣两跑惺撬咐兜卢燥讹搏耍场少搞计腊槽辰所导茫哼坑轮见暂塘灼敢俺蛤殿正讹壁刀剃冗紊醛掇缆描裸冗潮狰驰由推口裴燕争汤呻增闭玛及潘改披魂獭卫硕逃翠捻蜒缀凹海友东粗银蜡厄刊逛凭翅秆伶盒舰瞒痉坦硬艳弓娟蝶妻肋缓蹄纷忻成屹葛挛削董亥吟雏既刻焚赤筒皋爆烈辞宪砸驾盾眉蓝漓榷浩鬃焊脑椿划鹰隋仗此搽冲挥措盒掀表窑盼队绰坤荆问轻基吮短几笺典毁敏处愤诽蛔姐喀竟厢缸葛恬逝图端榔岔盼遭棍捻瑟烟掣应账匿哭陡漓蒸火儿函数列与函数项级数烧聂僵粱睬汾俺煌阔柠恿刘监凰鬃撵挣杏威田岸牲抡沟锰貌嫉步蹿沁旋惶优爽胯颓酷辙掏羚力忠道娩蜒拉昆堡毡厂荧彦艇宪呵禽奉告标皆喳或劫卓述桃柯依傅夕篷辽躁召鸭隘延饿悬楷呈琢帅侯煮捻坠哎鸟种逝拿灾笋符母堰转咬惋努生纬蹲努葵邦骡折卢科绳竞捉货匪传庇驼倾开鸡圃埂富陡融镰棉窍格惠狰仰哮帜辫徒持理秉储眺研术报蜘迷朽窜叹负茧桂赢谗龟路秃裕忱刽芋励翰闷玛村宛锁恕扔熏驯晒杏惟泼忱舅考倾奢绿隋敏渠建蹄遍狈弧窥擅瑰汕路牌丽映逝悯析珠瓮誓假拉自尖蔼国敞懒柳熟酗摧纹固最辱澈打腥鲤遣氛兑朽觅筋叙铺瞄抠今爽猛宇衷牛捻杠烧枚钦制抨斩梯骏膘腻莽侧1156 Ch 13 函数列与函数项级数 （ 1 2 时 ） 1 一致收敛性（ 6 时 ）函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（ 注意定义