30.浙江省数学竞赛模拟题(十五)答案.docVIP

浙江省数学竞赛模拟题（十五）班级_ 姓名_一、选择题(共50分)1.中，则比式等于（ D ） 解析：如图易知，因此选2.由方程 确定的函数y=f(x)在(，+)上是 （ D ）A、奇函数 B、偶函数 C、增函数 D、减函数3.已知数列an是各项均为正数的等比数列，公比q1，那么 （ A）A.a32+a72a42+a62 B.a32+a72a42+a62；取数列64，32，16，8，4，2，1(0q1，易证a32+a72a42+a62，故选A. 答案：A4.当取遍全体实数时，直线所围成图形的面积为( D ) A. B. C. D. 5.已知都是质数，并且有唯一的值和它对应，则只能取 （ A） A.40 B.44 C.74 D.86 7.在数列中，相邻两项是方程的两根，已知，则的值为 ( B ) A.5800 B.5840 C.5860 D.6000 8.在ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则ABC （ B ）A是等腰三角形，但不是直角三角形 B是直角三角形，但不是等腰三角形C是等腰直角三角形D不是等腰三角形，也不是直角三角形解：由logx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，A+B+C=180，所以3A+B=180，因此sinB=sin3A，3sinA-4sin3A=2sinA，sinA(1-4sin2A)=0，又sinA0，所以sin2A=，而sinA0，sinA=。因此A=30,B=90,C=60。故选B。9.已知双曲线的右焦点为F,右准线为,一直线交双曲线两支于P、Q两点，交于R,则 （C）A B C D解：分别做由相似三角形的性质，得，又有双曲线的第二定义，得故平分所以选C.10.若（12）1000的展开式为20002000，则3691998的值为 （C）3333 3666 3999 32001解析：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法取（12）（2），则1，10令1，得310002000；令，得01220002000；令，得020004000三个式子相加得310003（1998）19983999，选2、 填空题（共49分）11.边长为整数，且面积（数值）等于周长的直角三角形有_个。12.已知两点M(1，0)，N(1 , 0)，且点P使，成公差小于零的等差数列，则点P的轨迹方程为 。13.如果关于的不等式的解集为一切实数，那么实数的取值范围是_. 14.过椭圆的一个焦点作弦，若，则_. 15.设，则关于的方程的所有实数解的和为_. 16.已知,并且，则的最大值是 。解析：。令为锐角，则由已知条件可得：由柯西不等式，得（，即17.对一切实数，所有的二次函数的值均为非负实数，则 的最大值是 解析：设，则 依题意有，即，即 故 当且仅当 即时取等号三、解答题（共51分）18.设定义在上的函数，当时，取得极大值，并且函数的图象关于点对称 （）求的表达式；（）试在函数的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上；（）若， ，求证：解：（）因的图象关于点对称，故的图象关于原点对称故，易得，因为时，有极值，所以时，也有极值故 ，于是 又由得 ，由此解得 ， （）设这两个切点分别为，并且，依题意有 (*) 因且，故由(*)式得，即故，解得或同理可得或又因为当与同时成立时与(*)式矛盾，所以或故，或，即所求的两点为或 （），故当或时，；当时，所以的单调递增区间为和， 的单调递减区间为因，故即，故；因，故，故 故 19.已知正项数列的前项和，（）求数列的通项公式；（）定理：若函数在区间D上是凹函数，且存在，则当 时，总有请根据上述定理，且已知函数是上的凹函数，判断与的大小；（）求证：解：（）时，或由于是正项数列，所以当时，整理，得由于是正项数列，数列是以1为首项，1为公差的等差数列 从而，当时也满足（） 4分（）由（）知对于上的凹函数，有根据定理，得6分整理，得令，得 8分，即10分（）， 12分又由（），得（或） 14分20.在平面直角坐标系xoy中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（）求点P的轨迹方程；（）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。解：（）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，即，化简得点P的轨迹方程为圆S：.5分（）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S： 与双曲线T：因为B（1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。.10分（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。.15分情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是或解方程得，解方程得。综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。.20分4、 附加题（共50分）21.如果一个数能表示成（是整数），我们称这个数为“好数”。（1）判断29是否为“好数”？（2）写出1，2，3，20中的“好数”。