反证法吴村二中 2016.12幻灯片.ppt

反证法 学习目标 1 知道什么是反证法 2 了解反证法的一般步骤 3 学会运用反证法解决问题 2 路边苦李 王戎7岁时 与小伙伴们外出游玩 看到路边的李树上结满了果子 小伙伴们纷纷去摘取果子 只有王戎站在原地不动 有人问王戎为什么 王戎回答说 树在道边而多子 此必苦李 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李 王戎是怎样知道李子是苦的呢 你主为他的判断方法正确吗 他运用了怎样的推理方法 小故事 如果当时你在场 你会怎么办 新课讲解 这与事实矛盾 说明李子是甜的这个假设是错的还是对的 假设李子不是苦的 即李子是甜的 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢 那么 树上的李子还会这么多吗 所以 李子是苦的 走进生活 妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆 有一次 我和爸爸在看电视 妹妹和妈妈在厨房洗碗 突然 啪 的一声 有碗打碎了 然后一片寂静 请你思考 是谁打破了碗呢 推理方法 假设 不是妈妈打破的 因妈妈和妹妹在厨房洗碗 应是妹妹打破 妈妈会大发雷霆 与已知条件 然后一片寂静 产生矛盾 假设 不是妈妈打破 不成立 所以 是妈妈打破了碗 妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆 有一次 我和爸爸在看电视 妹妹和妈妈在厨房洗碗 突然 啪 的一声 有碗打碎了 然后一片寂静 求证 是妈妈打破了碗 刚才的推理方法和以前所学的方法一样吗 假设 不是妈妈打破的 因妈妈和妹妹在厨房洗碗 应是妹妹打破 妈妈会大发雷霆 与已知条件 然后一片寂静 产生矛盾 假设 不是妈妈打破 不成立 所以 是妈妈打破了碗 归纳总结 你能总结出以上这种证明方法的步骤吗 否定结论 假设结论的反面成立 推出矛盾 从假设出发 得出与已知 定义 公理 定理相矛盾 肯定结论 假设不成立 原命题成立 反证法的步骤 间接证明 基本概念 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证明方法 否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 原结论成立 合理的推理 在证明一个命题时 先假设命题不成立 从这样的假设出发 经过推理得出和已知条件矛盾 或者与定义 公理 定理等矛盾 从而得出假设命题不成立是错误的 即所求证的命题正确 这种证明方法叫做反证法 反证法定义 反证法的步骤 一 提出假设 二 推理论证 三 得出矛盾 四 结论成立 以假设为条件 结合已知条件推理 得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论 这与 相矛盾 所以假设不成立 所求证的命题成立 假设待证命题不成立 或是命题的反面成立 2 反证法的一般步骤 1 假设结论的反面成立如果结论的反面不止一种情况 在假设后应一一列举出各种问题 2 推理得出的结论与已知 定义 定理 基本事实矛盾把否定的结论当作条件出发 推导出与已知条件 定义 定理 基本事实等相矛盾的结论 3 假设不成立即原结论成立 11 准确地作出反设 即否定结论 是非常重要的 下面是一些常见的关键词的否定形式 不是 不都是 不大于 不小于 一个也没有 至少有两个 至多有 n 1 个 至少有 n 1 个 不等于 某个 12 1 请说出下列各结论的反面 1 a 0 2 b是正数 3 a b 4 至少有一个 a 0 b是0或负数 a不垂直于b 一个也没有 快乐尝试相信自己 快乐尝试 2 用反证法证明命题 三角形中最多有一个是直角 时 应如何假设 假设三角形中 至少有两个 有两个或三个角是直角 快乐尝试 3 中考变式题 用反证法证明 三角形中至少有一个内角不小于60 应先假设这个三角形中 A 有一个内角小于60 B 每一个内角都小于60 C 有一个内角大于60 D 每一个内角都大于60 B 1 用反证法证明 填空 在三角形的内角中 至少有一个角不小于60 已知 如图 是 的内角 求证 中至少有一个角不小于600 证明 假设所求证的结论不成立 即 60 60 60 则 1800这于 矛盾所以假设 所以 所求证的结论成立 三角形三个内角的和等于180 不成立 求证 在一个三角形中 至少有一个内角小于或等于60 已知 ABC求证 ABC中至少有一个内角小于或等于60 证明 假设 则 即 这与矛盾 假设不成立 ABC中没有一个内角小于或等于60 A 60 B 60 C 60 A B C 180 三角形的内角和为180 ABC中至少有一个内角小于或等于60 点拨 至少的反面是没有 A B C 60 60 60 180 典例分析 那么c与a平行 这与已知 c与a相交 矛盾 因此假设不成立 证明 假设c与b不相交 c与b也相交 已知 直线a b c a b c与a相交 求证 c与b也相交 当一个命题不易直接证明时 可以考虑反证法 由于直线a b 则c与b平行 a b c 否定结论 推出矛盾 肯定结论 例题1 求证在同一平面内 如果一条直线和两条平行直线中的一条相交 那么和另一条也相交 已知 直线l1 l2 l3在同一平面内 且l1 l2 l3与l1相交于点P 求证 l3与l2相交 l1 l2 l3 P l3与l2不相交 l3 l2 l1 l2 经过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 假设 推理 矛盾 假设不成立 命题成立 证明 假设a与b不平行 则可设它们相交于点A 那么过点A就有两条直线a b与直线c平行 a c b c 这与 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾 假设不成立 a b 小结 根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外 还可以与我们学过的定理 公理矛盾 3 用反证法证明 等腰三角形的底角必定是锐角 已知 在 ABC中 AB AC 求证 B C为锐角 证明 假设等腰三角形的底角不是锐角 那么两个底角都是直角 由 A B 90 则 A B C A 90 90 180 这与三角形内角和定理矛盾 A B 90 这个假设不成立 以上证明正确吗 21 2 两个底角都是钝角 由 B 90 A 90 则 A B C 180 这与三角形内角和定理矛盾 两个底角都是钝角这个假设也不成立 故原命题正确 等腰三角形的底角必定是锐角 说明 本例中 是锐角 小于90 的反面有两种情况 这时 必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立 最后才能肯定命题的结论一定正确 此题是对反证法的进一步理解 22 用反证法应注意的事项 1 周密考察原命题结论的否定事项 防止否定不当或有所遗漏 2 推理过程必须完整 否则不能说明命题的真伪 3 在推理过程中 要充分使用已知条件 否则推不出矛盾 或者不能断定推出的结果是错误的 1 用反证法证明 1 在 ABC中 AB c BC a AC b C 90 请问结论a2 b2 c2成立吗 请说明理由 2 在一个三角形中 如果两条边不相等 那么他们所对的角也不相等 3 两条直线被第三条直线所截 如果同位角不相等 那么两直线不平行 如何用反证法解决问题 24 达标测试 1 下列命题宜用反证法证明的是 A 等腰三角形两腰上的高相等 B 有一个外角是120 的等腰三角形是等边三角形 C 两条直线都与第三条直线平行 则这两条直线互