36.第三十六讲：离散型随机变量的分布列、期望与方差.doc

第三十六讲 离散型随机变量的分布列、期望与方差一、引言“离散型随机变量的分步列，均值和方差”在“排列与组合”知识的延伸，在本讲的学习中，同学们将通过具体实例理解随机变量及其分布列、均值和方差的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性要求同学们会用随机变量表达简单的随机事件，会用分布列来计算这类事件的概率，计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题在高考中，这部分知识通常有一道解答题，占1214分左右，主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力，凸显数学的应用价值二、考点梳理知识结构：1.离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量可能取的值为x1，x2，xi，每一个值xi（i=1，2，）的概率P（=xi）=pi，则称表为离散型随机变量的概率分布（分布列）2.随机变量的期望与方差：为随机变量的均值或数学期望+为随机变量的方差三、典型例题选讲例1 某公司有5万元资金用于投资开发项目如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将失去全部资金的50%下边是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功：192次；投资失败：8次.则该公司一年后估计可获收益的期望是 （万元）解析：获得收益的概率分布为：E=0.476（万元）.归纳小结：收益的取值及相应概率的确定是解决问题的基础本题考查求数学期望的方法，按照确定随机变量的取值求出相应的概率再求数学期望的步骤来求例2（2009年安徽卷）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区B肯定是受A感染的对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是同样也假定D受A、B和C感染的概率都是在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量写出X的分布列（不要求写出计算过程），并求X的均值（即数学期望）分析一：X的所有可能取值为1，2，3;.分析二：共有如下6种不同的可能情形，每种情形发生的概率都是：ABCDABCDABCDABDCACDBAB CD在情形和之下，A直接感染了一个人；在情形、之下，A直接感染了两个人；在情形之下，A直接感染了三个人解：随机变量X的分布列是：X的均值为归纳小结：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识体现数学的应用价值例3 某运动员射击一次所得环数的分布如下：现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为（1）求该运动员两次都命中7环的概率；（2）求的分布列.解：（1）求该运动员两次都命中7环的概率为；（2）的可能取值为7、8、9、10；分布列为：的数学希望为归纳小结：在求最高环数为8环时，有一种可能是7环、8环，学生容易认为其概率值为0.20.3，没有考虑到两次射击依次为7环、8环和8环、7环，其概率值应为20.20.3本题考查学生对于离散型随机变量的概率及期望的求法的掌握，另一方面也考查学生分类讨论的数学思想和运算求解的能力例4（2009山东卷理）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（1）求q的值；（2）求随机变量的数学期望E；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小解:（1）设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，且P(A)=0.25，P(B)= q，根据分布列知：=0时=0.03，所以，q=0.8（2）当=2时，P1=0.75q()2=1.5q()=0.24当=3时，P2 =0.01，当=4时，P3=0.48，当=5时，P4=0.24所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为；该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大归纳小结：本题主要考查了互斥事件的概率，相互独立事件的概率和数学期望，以及运用概率知识解决问题的能力例5 某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下：（）求a的值和的数学期望；（）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率解：（）由概率分布的性质知，则的分布列为：（）设事件表示“2个月内共被投诉2次”，事件表示“2个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”，事件表示“2个月内每个月均被投诉1次”，则由事件的独立性可得：；故该企业在这两个月共被投诉2次的概率为0.17归纳小结：本题考查概率分布的性质，互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，对学生的逻辑推理能力和运算能力有要求例6（2008年广东卷）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1，一等品率提高为70如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？解：（1）的所有可能取值有6，2，1，2；，故的分布列为：（2）；（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为：依题意，E(x)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03所以三等品率最多为3例7（2008年湖北卷）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）现从袋中任取一球表示所取球的标号（）求的分布列，期望和方差；（）若=ab，E=1，D=11，试求a，b的值解：（）的分布列为：（）由，得a22.7511，即又所以当a=2时，由121.5+b，得b=2；当a=2时，由121.5+b，得b=4或即为所求归纳小结：本小题主要考查概率、随机变量的分布列、期望和方差等概念，以