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中考试题两道 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2013年南京市中考第26题已知二次函数ya(xm)2a(xm)（a、m为常数，且a0）（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D当ABC的面积等于1时，求a的值当ABC的面积与ABD的面积相等时，求m的值满分解答 （1）由ya(xm)2a(xm)a(xm)( xm1)，得抛物线与x轴的交点坐标为A(m,0)、B(m1,0)因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点（2）由ya(xm)2a(xm) ， 得抛物线的顶点坐标为 因为AB1，SABC，所以a8当ABC的面积与ABD的面积相等时，点C与点D到x轴的距离相等第一种情况：如图1，C、D重合，此时点D的坐标可以表示为， 将代入，得解得图1第二种情况：如图2，图3，C、D在x轴两侧，此时点D的坐标可以表示为， 将代入，得解得图2 图3考点伸展 第（1）题也可以这样说理：由于由，抛物线的顶点坐标为当a0时，抛物线的开口向上，而顶点在x轴下方，所以抛物线与x轴由两个交点；当a0时，抛物线的开口向下，而顶点在x轴上方，所以抛物线与x轴由两个交点因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点第（1）题也可以用根的判别式说理：由ya(xm)2a(xm)ax2(2m1)xm2m， 得0因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细例2 2013年南昌市中考第25题已知抛物线yn(xan)2an（n为正整数，且0a1a2an）与x轴的交点为An1(bn1,0)和An(bn,0)当n1时，第1条抛物线y1(xa1)2a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推 （1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；（2）抛物线y3的顶点坐标为(_，_)；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_，_)（用含n的式子表示）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_；（3）探究下列结论：若用An1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出An1 An；是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由备用图（仅供草稿使用） 满分解答 （1）将A0(0,0)代入y1(xa1)2a1，得a12a10 所以符合题意的a11此时y1(x1)21x(x2)所以A1的坐标为(2,0)，b12将A1(2,0)代入y2(xa2)2a2，得(2a2)2a20 所以符合题意的a24此时y2(x4)24(x2)(x6)（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；第n条抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是yx（3）如图1，A0A12由第（2）题得到，第n条抛物线yn(xan)2an的顶点坐标为(n2，n2)所以yn(xn2)2n2n2(xn2)2(nxn2)(nxn2)所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为An1(n2n,0)和An(n2n,0)所以An1 An(n2n)(n2n)2n如图1，直线yx2和所有抛物线都相交， 且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等图1考点伸展 我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用第一步，由yn(xan)2an，得抛物线的顶点坐标为(an, an)顶点的横坐标和纵坐标相等，而且