4-1(10年秋)实数基本概念及化简题库教师版.doc

实数基本概念及化简中考要求内容基本要求略高要求较高要求平方根、算术平方根了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方根运算求某些数的立方根实数了解实数的概念会进行简单的实数运算二次根式及其性质了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件会运用二次根式的性质进行化简，能根据二次根式的性质对代数式做简单变型，在给定条件下，确定字母的值例题精讲板块一 平方根、立方根、实数实数可按下图进行详细分类：实数与数轴上的点一一对应.(以下概念均在实数域范围内讨论)平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根也就是说，若，则就叫做的平方根一个非负数的平方根可用符号表示为“”算术平方根：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根.（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若，则.平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根通过验算我们可以知道：当被开方数扩大(或缩小)倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)倍()平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：若，则；不管为何值，总有注意二者之间的区别及联系若一个非负数介于另外两个非负数、之间，即时，它的算术平方根也介于、 之间，即：利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围立方根的定义及表示方法：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根，一个数的立方根可用符号表“”，其中“”叫做根指数，不能省略.前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为.读作“三次根号”，读作“二次根号”，读作“根号”.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为.立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根通过归纳我们可以知道：当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)倍，若一个数介于另外两个数、之间，即，它的立方根也介于和之间，即利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范围一、实数的概念【例1】 在实数中无理数的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【考点】实数及其分类【难度】1星【题型】选择【关键词】2009年，义乌市中考试题【解析】略【答案】B【例2】 这7个实数中，无理数的个数是（ ）A0 B1 C2 D3【考点】实数及其分类【难度】2星【题型】选择【关键词】1983年，河北省初中数学竞赛试题【解析】是无理数。【答案】D 【例3】 有一个数值转换器原理如图所示，则当输入为64时，输出的是（ ）A8 B C D【考点】实数及其分类【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】B【例4】 证明是无理数。【考点】简单数论【难度】5星【题型】解答【关键词】竞赛，反证法【解析】略【答案】用反证法。假设不是无理数，则是有理数，设（是互质的正整数） 两边同时平方后，整理得，所以一定是偶数。设（是自然数），代入上式得。所以是也是偶数，与均为偶数和互质矛盾，所以不是有理数，于是是无理数。【例5】 说明边长为1的正方形的对角线的长度为。【解析】如图1，四边形是边长为的正方形，它的面积为1，的面积为 将4个与一样大的三角形拼成一个正方形，它的面积是2，所以它的边长, 也就是说正方形的对角线长度为。【例6】 下面有四个命题：有理数与无理数之和是无理数有理数与无理数之积是无理数无理数与无理数之和是无理数无理数与无理数之积是无理数请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。【考点】简单数论【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】设是有理数，是无理数 若，则，此式左边是无理数，右边是有理数，它是不成立的，故是无理数。正确。当时，是有理数，不正确当时，是有理数，故不正确当时，是有理数，故不正确【答案】正确；不正确；不正确；不正确【例7】 已知在等式中，为有理数，是无理数。（1）当满足什么条件是，是有理数？（2）当满足什么条件是，是无理数？【考点】简单数论【难度】5星【题型】解答【关键词】竞赛【解析】显然有，于是有，且不能同时为0。（1）将上式整理得。当是有理数时，应有，否则有，此式左边是无理数，右边是有理数，不能成立。于是有 从而 若，则，此时应有，为有理数若，则由得，代入，得，即，此时为有理数（2）当是有理数时，若，则，故若，且时，是无理数；若，则，若，且时，是无理数。当，且，时，或，且时，是无理数【答案】（1）若，则，此时应有，为有理数若，则由得，代入，得，即，此时为有理数（2）当，且，时，或，且时，是无理数【例8】 若是不等于1的有理数，求证：为有理数。【考点】简单数论【难度】5星【题型】解答【关键词】竞赛【解析】略【答案】因为是不等于1的有理数，所以可设（为整数，），所以，故。因为均为整数，且，所以为有理数。【例9】 已知是两个任意有理数，且，问是否存在无理数，使得成立？【考点】简单数论【难度】5星【题型】解答【关键词】竞赛【解析】，即 又，即 由、有，所以，取，是有理数，且，所以是无理数。即存在无理数，使得。二、数的开方【例10】 的平方根是（ ）A81 B C3 D【考点】数的开方【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，湖北省荆门市中考试题【解析】略【答案】B【例11】 下列命题中，真命题是（ ）A的平方根是 B的平方根是C D若，则【考点】数的开方【难度】2星【题型】选择【关键词】1995年，浙江省温州市中考试题【解析】D【例12】 的平方根是 ；的平方根是 ；的平方根是 .【考点】数的开方【难度】1星【题型】判断【关键词】安顺市中考试题【解析】略【答案】【例13】 若，则的算术平方根是_。【考点】数的开方【难度】2星【题型】填空【关键词】2007年，肇庆市八年级数学竞赛初赛试题【解析】【答案】【例14】 判断下列各题，并说明理由的平方根是( )一定是正数( )的算术平方根是( )若，则.( ).( )是的平方根( )的平方根是( )若，则.( )若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等( )如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等( )算术平方根一定是正数( )没有算术平方根( )的立方根是 ( )是的立方根( )( )互为相反数的两个数的立方根互为相反数( )正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根( )【考点】数的开方【难度】3星【题型】判断【关键词】【解析】略【答案】、正确【例15】 设是整数，则使为最小正有理数的的值是_。【考点】数的开方【难度】3星【题型】选择【关键词】1989年，第3届中华少年杯初二数学邀请赛【解析】因为，故应取。【答案】221【例16】 已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（ ）A2B3C4D5【考点】数的开方【难度】3星【题型】判断【关键词】江西省中考试题【解析】略【答案】D.【例17】 若，则 ；若，则 .【考点】数的开方【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】；.【例18】 若，则的平方根是 ；若，则 .【考点】数的开方【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】；.【例19】 方程的根是 .【考点】数的开方【难度】1星【题型】判断【关键词】上海市中考试题【解析】略【答案】.【例20】 已知某正数的两个平方根是与，求这个正数【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由已知可得：，则，所以这个正数为.【答案】4【例21】 若一正数的平方根是与，求这个正数【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】正数的平方根互为相反数，所以，这个正数是.【答案】9【例22】 一个数的平方根是和，求这个数【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】根据题意可得：所以，则，这个数为【答案】169【例23】 已知为两个连续整数，且，则_。【考点】数的开方【难度】2星【题型】填空【关键词】2008年，长沙市中考试题【解析】由已知得，【答案】5【例24】 已知数的小数部分是，求【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】因为，即，所以的整数部分是3。设，两边同时平方得，所以。故【答案】10【例25】 当，的算术平方根是 .【考点】数的开方【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】.【例26】 算术平方根是，则 .【考点】数的开方【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】.【例27】 若一个自然数的一个平方根是，那么比它大的自然数的平方根是 .【考点】数的开方【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】.【例28】 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .【考点】数的开方【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】；和；和；.【例29】 8的立方根是（ ）A2 B C4 D【考点】数的开方【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】A【例30】 的绝对值是（ ）A3 B C D【考点】数的开方【难度】1星【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】A【例31】 的相反数是 ；的立方根是 .【考点】数的开方【难度】1星【题型】判断【关键词】威海市中考试题【解析】略【答案】；2【例32】 平方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，立方根等于它本身的数是 ；平方根与立方根相等的数是 .【考点】数的开方【难度】1星【题型】判断【关键词】【解析】略【答案】；和；和；.【例33】 若，则 _.【考点】数的开方【难度】3星【题型】判断【关键词】【解析】略【答案】.【例34】【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】原式.【答案】【例35】 若，求所有可能值【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由题意可知，所以或.【答案】1或【例36】 求的值；【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】，；【答案】，； 【例37】 求的值【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】，；【答案】【例38】 ；【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】原式；【答案】3；【例39】 已知，求的值(为正整数).【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】根据题意可得：，解得，【答案】【例40】 已知的平方根是，的立方根是，求的平方根【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】101中学实验班单元练习【解析】的平方根是，的立方根是，即，即得，的平方根是【答案】【例41】 已知的负的平方根是，的立方根是，求的平方根.【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】101中学实验班单元练习【解析】根据题意可得：，解得，其平方根为.【答案】 【例42】 已知，()，且()，求的值.【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】，；又，解得，进而可得，.【答案】32【例43】 是的算术平方根，是的立方根，求的立方根.【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】根据题意可得：，解得，.【答案】【例44】 若和互为相反数，求的值.【考点】数的开方【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】若，则.根据题意可得：，.【答案】【例45】 求的平方根.【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】换元法【解析】设，则的平方根是【答案】【例46】 设，求【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】换元法【解析】设，则【答案】40164013【例47】 若，为两两不等的有理数，求证：为有理数.【考点】分式恒等证明【难度】4星【题型】解答【关键词】换元法【解析】原式即为有理数【例48】 （1995年第6届希望杯全国数学邀请赛试题）设表示不大于的最大整数，如，则。【考点】数的开方【难度】4星【题型】解答【关键词】估算【解析】 。原式【答案】625板块二 二次根式二次根式的概念：形如（）的式子叫做二次根式二次根式的基本性质：（）双重非负性；（）；1.二次根式的概念【例49】 取何值时，下列各式有意义：【考点】二次根式的概念【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】此题的关键有两点：被开方数大于或等于；分母不等于；且，即；且；且；取任意数【答案】被开方数大于或等于；分母不等于；且，即；且；且；取任意数【例50】 取何值时，下列各式有意义？； ； 【考点】二次根式的概念【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】当即时，有意义当时，有意义解得：且当且当时，有意义且即且【答案】当即时，有意义当且且【例51】 当_时，二次根式在实数范围内有意义。【考点】二次根式的概念【难度】1星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】【例52】 当_时，在实数范围内有意义【考点】二次根式的概念【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】【例53】 当满足_时，在实数范围内有意义。【考点】二次根式的概念【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】【例54】 下列式子中，一定是二次根式的是（ ）A B C D【考点】二次根式的概念【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】B【例55】 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）A B C D可取一切值【考点】二次根式的概念【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】略【答案】C【例56】 式子有意义，则的取值范围是（ ）A且 B且 C D【考点】二次根式的概念【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，青海省，中考试题【解析】略【答案】A【例57】 是怎样的实数时，下列二次根式有意义?（1） （2） （3） （4） （5）【考点】二次根式的概念【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）且【例58】 下列哪些是二次根式，哪些不是二次根式？（1） （2） （3）【考点】二次根式的概念【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】（1）是；（2）不是；（3）是【例59】 当取何值时，式子在实数范围内有意义【考点】二次根式的概念【难度】1星【题型】解答【关键词】【解析】利用分式的条件，把此题转化为解两个不等式组的问题由得或解得或当或时，原式在实数范围内由意义点评：记住的条件为或，的条件为或【答案】当或【例60】 当 时，有意义【考点】二次根式的概念【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】通过观察可以发现一定是一个正数，这样就将原式有意义的条件且转化为，解不等式得点评：判定是正数是关键，同理，是负数【例61】 设，求使有意义的的取值范围.【考点】二次根式的概念【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】，即.【答案】【答案】【例62】 观察下列各式：，请你将猜想的规律用含有自然数的等式表示出来：_。【考点】规律探索【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】【例63】 求代数式的最小值.【考点】二次根式的概念【难度】3星【题型】解答【关键词】第12届，希望杯邀请赛【解析】根据题意可得：，即，当时，有最小值.【答案】【例64】 已知为实数，且满足，求的值.【考点】二次根式的概念【难度】4星【题型】解答【关键词】人大附单元测试【解析】由题意可知，所以原式可变形为，所以，即【答案】201【例65】 已知：，求的平方根. 【考点】二次根式的概念【难度】4星【题型】解答【关键词】人大附中，初一第2学期期末考试【解析】由根式的性质得：，的平方根是：.【答案】【例66】 已知是实数，则的值是多少？【考点】二次根式的概念【难度】4星【题型】解答【关键词】第14届希望杯试题【解析】为使有意义，则，所以，【答案】【例67】 若，求的值.【考点】二次根式的概念【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】根据题意可得：，解得，【答案】8【例68】 已知为实数，求.【考点】二次根式的概念【难度】4星【题型】解答【关键词】四川省初中数学联赛题【解析】由已知得：，即，由、得：，.【答案】【例69】 ，求，的值.【考点】二次根式的概念【难度】4星【题型】解答【关键词】四川省初中数学联赛题【解析】，【答案】【例70】 化简：【考点】二次根式的概念【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】，又有意义，原式【答案】32.非负数性质的综合应用【例71】 若、为实数，且，求的值.【考点】非负数性质的综合应用【难度】4星【题型】解答【关键词】裂项【解析】已知得，即，原式.【答案】【例72】 已知，那么的值为 .【考点】非负数性质的综合应用【难度】3星【题型】填空【关键词】2007年，成都市中考试题【解析】略【答案】【例73】 若和互为相反数，求的值.【考点】非负数性质的综合应用【难度】3星【题型】解答【关键词】2005年，淄博中考题【解析】因为，,【答案】37【例74】 已知，为实数，且与互为相反数，求的值【考点】非负数性质的综合应用【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由已知得，因为，都是非负数，要使它们的和等于0，必有 故【答案】【例75】 已知：求：的立方根【考点】非负数性质的综合应用【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】，且， 即解得： ，的立方根为【答案】2【例76】 已知实数与非零实数满足等式：.求.【考点】非负数性质的综合应用【难度】3星【题型】解答【关键词】配方【解析】根据已知条件可知：，故，【答案】【例77】 在实数范围成立，那么的值是多少？【考点】非负数性质的综合应用【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】此题运用是一个非负数解题，由，从而.这时等式变为，【答案】【例78】 若适合关系式，试确定的值.【考点】非负数性质的综合应用【难度】4星【题型】解答【关键词】北京市初中数学竞赛题【解析】且，即，.，(为；为)：，【答案】201板块三 关于二次根式的化简【例79】 数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简【考点】完全平方式的算术平方根【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】【例80】 实数，在数轴上的位置如图所示，化简. 【考点】完全平方式的算术平方根【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】原式【答案】【例81】 化简：（）【考点】完全平方式的算术平方根【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】，原式【答案】【例82】 若，则 ；若，则 .【考点】完全平方式的算术平方根【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】；.【例83】 若，则化简【考点】完全平方式的算术平方根【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】【例84】 化简：，其中【考点】完全平方式的算术平方根【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由二次根式的性质可知，化简二次根式的一个有效方法是配方去掉根号，所以原式因为，所以原式【答案】1【例85】 已知，化简=_【考点】完全平方式的算术平方根【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】，原式【答案】【例86】 化简：；【考点】完全平方式的算术平方根【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】.【答案】【例87】 .【考点】完全平方式的算术平方根【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】.，原式.【答案】【例88】 化简下列各式：（）【考点】完全平方式的算术平方根【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】，原式【答案】【例89】 化简下列各式：（）【考点】完全平方式的算术平方根【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】，原式，点评：解此题时，应注意这一步骤不要省略，并要对每一个绝对值符号里的部分的正负进行判断，去掉绝对值符号【答案】【例90】 化简：（，）【考点】完全平方式的算术平方根【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】解答这一类化简题就是利用二次根式的性质把二次根式化成最简形式，化简时遇到小数要化成分数，遇到带分数要化成假分数，遇到多项式和整数要分解因式或因数原式，点评：化简时要灵活运用性质和公式，有时也会用到分母有理化，另外要注意对化简结果格式的要求以及在利用时要注意条件是否满足【答案】【例91】 化简：【考点】完全平方式的算术平方根【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】，、同号或与同号，原式【答案】【例92】 化简：【考点】完全平方式的算术平方根【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由二次根式定义得：，原式【答案】0【例93】 （，）【考点】完全平方式的算术平方根【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】解答这一类化简题就是利用二次根式的性质把二次根式化成最简形式，化简时遇到小数要化成分数，遇到带分数要化成假分数，遇到多项式和整数要分解因式或因数原式点评：化简时要灵活运用性质和公式，有时也会用到分母有理化，另外要注意对化简结果格式的要求以及在利用时要注意条件是否满足【答案】【例94】 设，则=_.【考点】完全平方式的算术平方根【难度】4星【题型】填空【关键词】第14届希望杯试题【解析】 ， 原式.【答案】1【例95】 设都是实数，且，那么化简为（ ）A B C D.【考点】完全平方式的算术平方根【难度】3星【题型】选择【关键词】湖北省黄冈地区初中数学竞赛题【解析】，又，.,原式，选（D）【答案】D【例96】 如果，与都成立，寻么，的最简结果是 【考点】完全平方式的算术平方根【难度】3星【题型】填空【关键词】天津市第三届“新蕾杯”初二数学邀请赛题【解析】，且，故，选（C）【答案】C【例97】 如果，化简【考点】完全平方式的算术平方根【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】分析可得，原式.【答案】3【例98】 已知实数满足，那么，的值是（ ）A BCD.【考点】完全平方式的算术平方根【难度】4星【题型】选择【关键词】江苏省初中数学竞赛题【解析】已知条件即为，故，选（B）【答案】B【例99】 已知，确定的取值范围【考点】完全平方式的算术平方根【难度】4