4.1多自由度系统的数学描述.doc

41 多自由度系统的数学描述 一、用柔度系数法和刚度系数法表示的运动方程 下面以图4-1的系统为例说明多自由度系统的柔度系数及柔度矩阵。柔度矩阵所谓柔度是指单位外“力”所引起的系统的“位移”。具体地说，系统第个坐标上作用的单位力在第个坐标上所引起的位移就定义为柔度系数r。如在图4-1系统中，设在质量上沿方向作用一单位力，系统相应于它产生的位移为按柔度系数的定义，就有同理，一个自由度的系统一共有个独立坐标，对应于每个单位力就有个柔度系数；总共有个单位力，故系统总共有个柔度系数（。它们组成一个柔度矩阵 （4-1）假设在系统的各个坐标上分别作用有力，则由叠加原理，系统的各个位移可表示为写成矩阵表式，有 （4-2）其中与分别代表位移列阵和力列阵： 也就是说，系统的位移列阵就等于系统的柔度矩阵与力列阵的乘积。方程（4-2）称为位移方程。应注意，本书中的“力”与“位移”都是指广义的，“力”可以是力，也可以是力偶；而“位移”可以是线位移，也可以是角位移，等等。下面举例说明怎样求系统的柔度矩阵。 例4-1 设有集中质量与以及长为与的无重刚杆构成的复合摆，如图4-2所示，假定摆在其铅垂稳定平衡位置附近作微振动。取质量与的水平位置与作为坐标，求系统的柔度矩阵。 解：先仅在上作用一单位水平力。由静力平衡条件可得： 因而有 再仅在上作用一单位水平力。由静力平衡条件有： 考虑到 可得 故系统的柔度矩阵为 刚度矩阵 所谓刚度是指产生单位“位移”所需的各个外加“力”。具体地说使系统仅仅在第个坐标上产生单位位移，就需要在各个坐标方向分别加上适当的力，而在第个坐标上所需加的外力，就定义为刚度系数。一个自由度系统有个独立的坐标，对应着个单位位移，而每个单位位移又对应着个刚度系数；所以系统总共有个刚度系数，它们组成一个刚度矩阵 （4-3） 例如在图4-1系统中，设有 这时，弹簧与没有变形，而弹簧伸长了单位长度，作用于质量上的弹簧力为（向右为正），而作用于质量上的弹簧力为-（向左为负）。所以要维持系统静力平衡，必须在质量上外加力-（向左为负），并且在质量上外加力（向右为正）。而在质量上则不需加任何外力。按刚度系数的定义，有类似的，可求得 由此得系统的刚度矩阵为 对于自由度系统，设各个质量的位移为则由叠加原理，各个质量上所需的外力可表示为 或写成矩阵形式，有 （4-4） 也就是说，系统的力列阵就等于系统的刚度矩阵与位移列阵的乘积。式（4-4）称为力方程。 例4-2 仍考察例4-1的复合摆，如图4-3所示。求系统的刚度矩阵。 解：先令。这时，由下摆的平衡条件，有 于是有 再由全摆的平衡条件有 于是有 再令，按类似的做法，可得 故系统的刚度矩阵为 由例4-1和例4-2，很容易验证有也就是说，柔度矩阵与刚度矩阵是互逆的。由上式可得 或 当知道了刚度矩阵后，系统的弹性势能可表示为 质量矩阵 根据达朗贝尔原理，只要在系统中加上惯性力，那么动力学问题就可以按静力学问题来处理。特别当系统进行自由振动时，作用于各个质量上的外加“力”就只有“惯性力”。即 这儿的可以是质量，也可以是转动惯量，而与后者相应的位移就是角位移。当系统进行简谐振动时，有 故有 或写成 （4-5） 式中称为质量矩阵。对于集中参数系统，其质量矩阵通常是对角阵。当然，质量矩阵并不一定都是对角阵。 例4-3 设有图4-4所示系统，在光滑水平面上，由刚杆连接的三个质量所组成，其中与分别用弹簧与连于固定支点。刚杆本身的质量可略去不计。再设三个质量都只能沿方向运动。求系统的质量矩阵。 解：由题可知，系统的位移中只有两个是独立的。取作为独立坐标，容易其求得系统的刚度矩阵为 而系统的另一个坐标为 这时，需要将作用于上的惯性力转移到质量与上，可得作用于与上的外加力为 即有 故得 注意，本例中的质量矩阵不是对角阵，而是对称阵。一般情况下，质量矩阵总是对称阵。故可表示为 其中有 考虑到系统的动能，有 运动方程 从系统本身求得刚度矩阵（或柔度矩阵）与质量矩阵后，就可以根据力方程（或位移方程）列出系统自由振动的运动方程。 或写成 （4-6） 这样，我们从刚度矩阵与质量矩阵直接得出了系统的运动微分方程。 从柔度矩阵出发可以得到系统运动微分方程的另一个形式。 或写成 （4-7） 系统运动微分方程的这两种形式（4-6）与（4-7）式是完全等价的。 例4-4 图4-5（a）表示三个质量的小球，固定在一张紧的弦上，各跨距相等，求系统质量在垂直方向的自由振动方程。 解：根据柔度系数的定义，首先对施加垂直的单位力，于是系统产生图4-5（b）所示的变形，这时假定弦的张力较大而质量振动位移较小，因此振动中弦的张力保持不变。质量的受力平衡方程为： 由于 因此有 可按图4-5（b）的比例求得： 所以 由于对称关系，当对施加一铅垂方向的单位力时有： 对施加一铅垂方向的单位力时，它的变形见图4-5（c），由此得： 把这些系数写到矩阵中，可得： 于是自由振动的运动方程为： 二、拉格朗日方程及其应用 虽然可以直接用牛顿第二定律或达朗贝尔原理建立多自由度系统的运动微分方程，但是在许多情况下应用拉格朗日方程法更为方便。这里用最简单的方式推导拉格朗日方程，以便更好地理解这个被广泛应用的方程的意义。我们知道，对于一能量守恒的系统，系统的动能和势能的总和是不变的，因此，它们的总和对时间的导数等于零，即： 式中：是系统的动能，它是系统广义速度的函数；是系统的势能，它是系统广义坐标的函数。下面将说明，这两者分别可以用广义坐标和广义速度的二次型表示。 单自由度系统的动能和势能公式如下： 这个结论可以推广到多自由度系统。如下图4-6，使系统各质点产生位移，则在处的力为 （a） 设系统有个力作用，则系统总势能为： （b） 把公式（a）代入（b）中，得： （c） 若用矩阵符号，上式可写成： 若把改为更一般的广义坐标符号，上式变为： （d） 上式就是用广义坐标和刚度矩阵的二次型表示的系统势能表达式。 若以表示质量的速度，可以仿照单自由度系统动能的方法表示多自由度系统的动能： 或写成矩阵形式： 我们假设系统的动能只与广义速度有关而与广义坐标无关，对微振动这是成立的。下面来推导拉格朗日方程。为此，对进行全微分： （e） 将对求导，有： 将上式乘以并对从到求和，有： （f） 比较（a）,（f）两式可知： （g） 对（g）进行一次微分，得 （h） （h），（e）两式相减可得： 根据守恒系统的原理,有 （i） 因为个广义坐标是独立的，不可能都等于零，因此要上式成立必须使 （j） 当系统还作用有除有势力之外的附加力时, 外力在上所作的功将是令，则可得： （4-8） 式中是除有势力之外的所有外力，其中包括阻尼力，阻尼力可表示为： （4-9） 式中称为耗能函数。而式（4-8）就是著名的拉格朗日方程。下面举例说明这个方程的应用