D14无穷小量与无穷大量.ppt

第一章 二 无穷小的等价代换 三 无穷大量 一 无穷小量及其阶 第四节 无穷小量与无穷大量 当 1 定义1 若 时 函数 则称函数 例如 函数 当 时为无穷小 函数 时为无穷小 函数 当 为 时的无穷小量 简称无穷小 时为无穷小 一 无穷小量及其阶 定义1 若 时 函数 则称函数 为 时的无穷小量 简称无穷小 以零为极限的数列也是当n 时的无穷小 定义1 若 时 函数 则称函数 为 时的无穷小量 简称无穷小 说明 2 无穷小量不是一个非常小的数 0是可以作为无穷小的唯一常数 1 无穷小首先是一个函数 其次要指明自变量趋向于什么 只有在自变量趋向确定下并引起函数值趋于0 才能称函数为无穷小 定义1 若 时 函数 则称函数 为 时的无穷小量 简称无穷小 说明 除0以外任何很小的常数都不是无穷小 因为 当 时 显然C只能是0 C C 其中 x 为一个无穷小 定理1 无穷小与函数极限的关系 证 仅就的情形证明 其他情形类似 必要性设 则 令 则 其中 x 是当的 无穷小 并且 充分性设 x 是当的无穷小 则 2 无穷小量的性质 说明 无限个无穷小之和不一定是无穷小 例如 1 有限个无穷小量的代数和是无穷小量 定理2 自变量相同变化趋势的无穷小量有如下性质 2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量 证 由已知 f在x0处是局部有界的 故 恒有 从而 故 所以 x f x 是当时的无穷小 可以简记作 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 例1 求 解 利用定理3可知 说明 y 0是 的渐近线 都是无穷小 引例 但 记作 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的k阶无穷小 记作 特别取 x x x0 若则称 x 是当x x0时的k阶无穷小 设 x 与 x 是自变量x有相同变化趋势的无穷小 且 x 0 定义2 无穷小的阶 例2 当x 0时 试比较下列无穷小的阶 解 1 2 4 例2 当x 0时 试比较下列无穷小的阶 解 3 由上例中 2 3 4 可得 当x 0时 根据高阶无穷小的定义 上式还可以表示为 当x 0时 注意 并非每个无穷小都有阶数 比如当x 0时 例3 证明 当 时 证 例4 证明 证 目录上页下页返回结束 因此 即有等价关系 说明 上述证明过程也给出了等价关系 无穷小的等价关系具有如下性质 1 自反性 则 则 2 对称性 若 3 传递性 若 证明提示 二 无穷小的等价代换 定理4 设 x 与 x 都是自变量有相同变化趋势的无穷小 若并且 则 并且 例5 利用无穷小等价代换定理求以下极限 解 因为 所以 2 解 原式 注意 应用无穷小等价代换定理求极限时 只能对待求极限函数中的无穷小因子进行 若待求极限的函数表达式中含有函数的加减法运算 则不能对其中的相加与相减的无穷小项进行等价代换 3 解 三 无穷大量 绝对值无限趋大的变量 若在定义中改为 则记作 注意 1 无穷大不是很大的数 它是描述函数的一种状态 2 函数为无穷大 必定无界 但反之不真 例如 函数 但 不是无穷大 例6 证明 证 任给正数M 要使 即 只要取 则对满足 的一切x 有 所以 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 铅直渐近线 说明 若 则称直线 为曲线 的水平渐近线 如下图 据此定理 1 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论 定理5 在自变量的相同变化趋势下 有下述结论 说明 1 有限个无穷大量的乘积是无穷大量 3 无穷大量与有界量之和是无穷大量 两个无穷大量的代数和不一定是无穷大量 无穷大量与有界量的乘积不一定是无穷大量 注意 大O记号 设函数f x 与g x 定义在x0的某去心邻域中 若在x0处是局部有界的 则记作 特别地 若f x 在x0处