方程的类型及相应解法PPT课件.ppt

方程的类型及相应解法 描述流体或磁流体等现象的方程通常可写成如下形式 双曲型 条件类型举例 抛物型 椭圆型 波动方程 热传导方程 泊松方程 1 模型方程 磁 流体力学的基本方程是复杂的非线性方程组 其数学性质 如解的存在性 唯一性 提法的适定性等 都在研究中 故计算流体力学中常先对模型方程 具有相同方程类型的线性方程 分析计算方法的精度 收敛性 稳定性及误差特征 进而推广到非线性方程 组 双曲型 抛物型 椭圆型 单波方程 热传导方程 Laplace方程 2 1 椭圆型方程 令 则泊松方程记为 边条 其中 是边界为的有界区域 Dirichlet问题是适定的 Neumann问题 给定导数 是部分适定的部分边界给定函数值 其余给定导数也是适定的Cauchy问题 同时给定函数值及其导数是不适定的 边值问题 定解条件 3 定理1 若则若则 1 1相关定理 引理 考虑边界误差及舍入误差 存在最佳的 x和 y 增加网格点舍入误差增大 定理2 若任意 则 参见程一心著作 计算流体动力学 4 以均匀网格为例 且 x y 1 2差分格式 正五点格式 斜五点格式 对非均匀网格 则微分方程化为代数方程 5 多重网格法multigrid 参考文献 Smedinghoff M L 2005Demmel J 请自习 6 2 双曲型方程 初条 精确解为熟知的D Alembert公式 2 1二阶波动方程 初值问题 注 椭圆方程中任一点的解受所有点的影响 t x x t x ct x ct 依赖区间 c为常数 7 N阶线性双曲型方程可化为基本的一阶线性双曲型偏微分方程组 2 1 1备注 如 初条 初条 可化为 8 若采用中心差分形式 则差分方程为 2 1 2差分问题的适定性 若c t x 则差分问题的依赖区间 仅3点 位于微分问题的依赖区间内部 故3点之外的值可任意改变而不影响该点的新值 此与原微分问题冲突 因此 此差分问题的收敛必要条件是Courant Friedrichs Lewy条件 CFL条件 即 t x 不稳定 稳定 若r 1多余的初值使差分问题产生误差 此误差须在 t x 0时趋于0 此为稳定性的条件 9 初条 其解为即沿x的正向 c 0 或负向 c 0 传播的波 波形保持不变 波速为 c 2 2一阶波动 或对流 方程 Euler方程的模型方程 初值问题 注 扰动波以有限速度传播乃双曲型方程解的重要特征 t x 对于有限边界 初边值问题 以c 0为例 则左边界必须给定边界值 否则为欠定 右边界不能给定边界值 否则为过给定 欠定和过给定的边条均称为数学提法不适定 c为常数 0 L 特征线 10 2 2 1差分格式 1 迎风格式 up windscheme c 0 c 0 精度 稳定条件 迎风指差分方向总是迎着传播方向 2 蛙跳 leapfrog 格式 精度 稳定条件 11 附 稳定性分析 假设存在一个扰动 取其Fourier级数中任一项 代入差分方程 解出放大因子 稳定性条件是放大因子小于等于1 参见傅德薰 马延文著 计算流体力学 作业 推导上述差分格式的稳定性条件 12 4 Lax格式或Friedrichs格式 为克服上式问题 精度 稳定条件 3 时间前差 空间中心差分的显格式 精度 稳定条件 即使也不稳定 13 将在 n i 点附近作Taylor展开并代入 修正方程差分方程所准确逼近的微分方程 称为该差分方程的修正方程 修正方程是差分方程的微分表达式 它与原微分方程之差即差分方程的截断误差 截断误差的偶次导数项是耗散误差项 或差分粘滞项 又称为隐式人工粘滞项 奇次导数项是色散误差项 若截断误差中最低导数项是偶次 则该差分方程以耗散误差为主 若为奇次 则以色散误差为主 上述格式以耗散为主 且为逆耗散 故不稳定 14 5 Lax Wendroff格式 精度 稳定条件 6 全隐格式 精度 稳定条件 恒稳 它也等价与半步长下的Lax格式 半步长下蛙跳格式对于非齐次方程 此格式精度为注意 对欧拉方程 采用此格式前先化为守恒形 15 7 Crank Nicholson格式 精度 稳定条件 恒稳 相当于中间时刻的中心差分 16 8 跳点 hopscotch 格式 精度 稳定条件 x tn tn 1 显格式实现了隐格式的效果 17 3 抛物型方程 初条 精确解为 以热传导或磁扩散方程为例 初值问题 不论初始分布如何集中 它总在瞬间影响于无穷远 虽该影响随距离按指数衰减 然而它是以无限速度传播 此乃抛物型方程解的特征 18 3 1差分格式 1 显格式 精度 稳定条件 2 蛙跳 Dufort Frankel 格式 精度 稳定条件 恒稳 而恒不稳 19 说明 由于蛙跳格式涉及三个时间步的值 而已知条件仅1个时间步的值 故第一步可随便采用其它格式由初始值算出第一时间步的值 然后方可采用蛙跳格式 20 3 Crank Nicholson格式 精度 稳定条件 恒稳 4 全隐格式 精度 稳定条件 恒稳 相当于中间时刻的中心差分 21 5 跳点 hopscotch 格式 精度 稳定条件 恒稳 6 Friedrichs格式 对波动方程适用 恒不