数学人教版九年级下册解直角三角形的实际应用.doc

教学设计基本信息名称锐角三角函数的实际应用执教者巩胜媛课时1课时所属教材目录人民教育出版社九年级数学（下）教材分析在前面所学锐角三角函数的定义、一般性质及300、450、600这三个特殊角的三角函数值的基础上，结合直角三角形的有关定理，着重研究锐角三角函数知识在实际生活当中的具体运用，让学生体验数学学以致用的特点.学情分析学生已经学习了一次函数、二次函数和反比例函数等几种代数范畴的函数，锐角三角函数是学生在初中学段初次接触的几何范畴函数.此函数体现直角三角形中边和角的关系，每种三角函数都是直角三角形两条边的比.这对学生来说是一个难点.另外，锐角三角函数与直角三角形关系十分密切，可以借此梳理学生在前面所学的与直角三角形有关的一些定理如勾股定理、斜边中线定理等等教学目标知识与能力目标熟悉正弦、余弦、正切三种锐角三角函数的定义及其简单性质，了解仰角、俯角、方位角、坡度、坡角、株距等专业名词，会作垂线构造直角三角形，利用三角函数知识解决生活中与直角三角形有关的问题.过程与方法目标在构造直角三角形解决问题的过程中培养学生认真分析题意，根据已知条件及要求的量之间的关系，作适当辅助线寻找和构造直角三角形的能力，以及规范的解题过程和严谨的治学态度.情感态度与价值观目标在具体问题的运用中体会锐角三角函数将直角三角形的边和角结合起来的桥梁作用，体会数形结合思想和转化思想的妙处.教学重难点重点利用已知量和未知量的关系作适当垂线，构造直角三角形，结合定理求解.难点在复杂图形中作适当辅助线求解.教学策略与 设计说明前面刚刚研究了正弦、余弦、正切三种锐角三角函数的性质，及三种特殊角的九个三角函数值，学生正摩拳擦掌跃跃欲试.而三角函数的应用在生活中又十分广泛，无论海、陆、空都离不开直角三角形，选取一些典型的、学生身边的实例让他们消化新知，必然会收到立竿见影的教育教学效果.教学过程教学环节（注明每个环节预设的时间）教师活动学生活动设计意图复习导入，引出新知前面我们学习了正弦、余弦、正切三种锐角三角函数，思考以下问题：解直角三角形的条件是什么？300、450、600这三个角的正弦值、余弦值和正切值分别是多少？有什么特点？（学生在练习本上写，指名板演，关注学生是否能够熟练写出这三个特殊角的三角函数值。）解直角三角形的条件是两个，且其中至少有一个边已知.三角函数值必须在直角三角形中求得，但对于一个确定的锐角度数，它的三角函数值也随之确定。三角函数的特点是将边元素与角元素融合起来，由已知两边可求角的度数，由角的度数和一条边可求得其它边与角。认真思考，回忆所学知识，务必做到准确、熟练，知其然更知之所以然。锐角三角函数是一种特殊的函数，它有勾股定理起不到的作用，在练习时一定要仔细体会。温故知新，要运用三角函数知识解决实际问题，就必须熟知函数特点. 学习是一个不断遗忘的过程，必须及时回顾，及时反思，以新带旧，以旧迎新。典型例题，探究新知锐角三角函数主要是解决与直角三角形有关的问题，而生活中这样的问题不在少数.首先看下面的例题：例1 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋大楼顶部的仰角为300，看这栋楼底部的俯角为600，热气球与大楼的水平距离为120米，这栋楼有多高（结果保留整数）？（教师画图，学生思考.）简单分析：仰角和俯角都是一些专有名词，分别是仰视和俯视时视线与水平方向的夹角。（举例画简图说明）本题中，BAD和CAD分别是从热气球上看大楼顶部和底部的仰角和俯角。找一找：其它已知条件还有哪些？（学生梳理题意，找出题中的已知量和未知量，把生活问题转化为数学问题。）根据题意，已知线段ADBC，AD=120米，1=300，2=600，求线段BC的长.（学生思考，应怎样求出BC的长？）ABC12D分析：由线段AD的长已知，且AD为RtABD和RtACD的公共边，且这两个直角三角形各有一个锐角已知，所以可分别求出线段BD和线段CD的长，则楼高BC可求.解：ADBCABD和ACD均为直角三角形，tan1=BD/AD，tan2=CD/AD，BD=AD tan1=120* tan300=403，CD=AD tan2=120* tan600=1203，BC=BD+CD=403+1203=1603277（m）答：这栋大楼高约为277米.认真读题，分析题意，明确仰角、俯角的概念，明确题中的已知量、未知量及它们之间的内在联系，将生活中的实际问题转化成数学问题。寻找题中的直角三角形，用正确的三角函数列式求解.在老师板书时用心体会，注意格式的规范和步骤的完整，注意按题目要求保留近似值.且取近似值时要尽量到最后一问，中间步骤可带着根号，避免过早取近似值造成误差.应用题最后要写“答”，并注明单位名称.就此例题，让学生小试身手，感受到所学的知识不是干巴巴和冷冰冰的，而是就在我们身边，应用说话广泛.那些看似高大上的题目，其实只是书本上所学知识的运用. 关于仰角、俯角等专有名词，学生并不陌生，出现在数学例题中他们会觉得新鲜，更深深感到数学并不是书本上枯燥的公式和定理定义，而是生活实际的真实反应.启发思考，拓展新知D EA CB例2 如图，小明想测量塔身的高度BC.他在楼底A处测得塔顶B的仰角为600，爬到楼顶D处测得塔顶B的仰角为300，同时测得大楼AD的高为18米.根据以上数据，求塔BC的高度.想：本题的已知条件是什么？要求的是什么？直角三角形有哪些？应在哪个直角三角形中求解？需要做什么辅助线？（学生思考，口述过程，教师板演，注意引导.）解：作DEBC于点E，设BC=x米，在RtBDE中，DE=BC/tan300=3 x， AC=DE=3x， 在中，BC=AC*tan600 =3 x， 3x-x=18, x=9 (米)BC=27（米）答：塔高为27米.简析：本题中，唯一已知的线段AD并非直角三角形的边，此时可设某条线段的长为x，根据题意列出关于未知数的方程.想：在设未知数列方程时，为了计算简便，设什么样的线段比较好？为什么？通过上述例题，归纳锐角三角函数知识在实际应用有什么作用？常见的辅助线怎样？这样做辅助线的目的是什么？学生思考后感到本题与例1不同，已知线段AD并非直角三角形的某条边，不能直接运用.要求的线段BC是RtBAC的一条直角边，它的长度与另一直角边AC有关，而AC=DE又与线段BE有关，再联系已知线段AD，方程不难列出.在设未知数列方程求解时，应尽量设较小的线段，便于其他线段均用乘法计算和表示.本题没有近似值的要求，结果保留准确值.积极思考：锐角三角函数的作用就在于将直角三角形的边与角紧密联系起来，结合勾股定理和直角三角形其它知识，便可求出直角三角形中的所有元素。所以应用锐角三函数关键在于寻找和构造直角三角形，在适当位置作垂线。把机会交给学生，让学生自己动手，亲身经历新知的探索，形成猜想、判断、探究、归纳、总结的思维模式，逐渐形成学数学、用数学的能力.学习结合思考，不断归纳总结，培养学生勤于思考、积极质疑的良好习惯，锻炼举一反三的能力。学生练习，熟悉新知练习1、植物节，学校组织学生到山坡上种树，要求株距为5米，测得坡度为1：3，求斜坡上相邻两棵树间的坡面距离。（注：株距是指相邻两棵树间的水平距离，坡度是坡角的正切值，坡角是斜坡和水平面的夹角。）练习2、一架战机在1200米的空中飞行时，看地面指挥台的俯角为450，此时战机与指挥台的距离有多远（结果取整数）学生在练习本上完成这些练习，熟悉解直角三角形在解决实际问题中的一般思路，掌握作辅助线的原则.不同类型的习题让学生充分感受解直角三角形解决问题的方便快捷.课堂小结2分钟 本节课我们应用解直角三角形的知识解决了生活中一些常见的问题.想：此类问题的一般规律是什么？常见的辅助线怎样？在求解时有哪些方法和技巧？布置作业1分钟书84页复习题6、7、8、9题，同步练习板书设计一、 复习导入新知；二、 例1，例2三、 学生练习；四、 课时小结；五、 作业与反思.教学反思本课从求大楼高度入手，上承解直角三角形知识，下接解决实际问题，中规中矩，顺理成章，水到渠成，符合学生的认知规律，我很满意本节课的安排和教学效果.授之以鱼，不如授之以渔.多给学生机会，学生会给我们惊喜.以学生为主体，让他们多思考，通过自己的方式去解答，掌握知识本质，提高分析能力，是我一直坚持的教学原则，也是本节课我最满意的地方.由于前面解直角三角形的教学十分充分，学生已经学会了作垂线构造三角形解题的方法.本课的两道例题简单而富于变化，难度层次合理，让学生获得很好的锻炼新知的机会，解决起来困难不大.只是学生对于设适当的边为未知数列方程求解还掌握得不太灵活，想不到设较小的边，而是随便一设，需要在做题中进一步体会.课堂上做例1时有学生提出，1=300，2=600，则BAC也是直角三角形，所求线段BC正是此三角形的一条边，所以可在这个直角三角形中求解.对此，我没有贸然反对，而是让他自己想一想是否可行.他稍做思考后发现此路不通，因为尽管BC是直角三角形BAC的边，但此三角形其它边均未知，缺少解直角三角形的必要条件.至此，学生明白寻找直角三角形