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课 时 授 课 计 划 副 页 年 月 日教学过程及授课内容附 注4-2 换元积分法教学过程一、换元积分法1第一换元积分法(凑微分法)例1 求.解 被积函数是复合函数，不能直接套用公式我们可以把原积分作下列变形后计算 .直接验证得知，计算方法正确。例2 求解 注意到被积式中含有项,而余下的部分恰有微分关系：。于是类似于例1,可作如下变换和计算： 上述解法的特点是引入新变量,从而把原积分化为关于的一个简单的积分，再套用基本积分公式求解,现在的问题是，在公式中，将换成了,对应得到的公式是否还成立?回答是肯定的,我们有下述定理：定理 如果，则其中是的任一个可微函数。证 由于,所以根据微分形式不变性,则有：其中是的可微函数，由此得 这个定理非常重要，它表明：在基本积分公式中，自变量换成任一可微函数后公式仍成立。这就大大扩充了基本积分公式的使用范围应用这一结论，上述例题引用的方法,可一般化为下列计算程序： 这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫第换一元积分法，也称凑微分法例3 求.解 设得,例 4 求解 例 5 求解 凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成,这需要解题经验，如果记熟下列一些微分式,解题中则会给我们以启示。 下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧。例6 求下列积分： (1) (2) (3)(4) (5) (6) 解 （1）=类似得(2)(3) 类似得(4) (5)类似得(6)本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用。例7 求下列积分：(1) (2)(3) (4) (5)(6)解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形 （1）（）（）（）（）（）（积化和差）例8 计算积分解一 解二 因为所以 本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式的积分结果。第二换元积分法第一换元积分方法是选择新的积分变量 但对有些被积函数则需要作相反方式的换元，即令把作为新积分变量，才能积出结果，即这种方法叫第二换元法。使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数 对于要求其单调可导，且其反函数存在下面通过一些例子来说明。例9 求.解 为了消去根式，可令则于是 例10 求解 令即则代入后，得由以上二例可以看出：被积函数中含有被开方因式为一次式的根式时,令可以消去根号，从而求得积分下面重点讨论被积函数含有被开方因式为二次式的根式的情况例11 求解 作三角变换，令那么于是 为把t回代成x的函数，可根据,作辅助直角三角形（如右图），得 。所以 .例12 求.解 令所以 由下图所示的直角三角形，得故 一般地说，当被积函数含有(1)，可作代换；(2)，可作代换；(3)，可作代换通常称以上代换为三角代换，它
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