初一数学.秋.直升班.教师版.第6讲 三角形的两大模型.doc

第六讲 三角形的两大模型模块一 两大模型与角度关系“飞镖”模型“8”字模型飞镖模型结论的常用证明方法： 模块二 两大模型与边长关系“飞镖”模型“8”字模型模块三 多边形1多边形的基本概念：（1）定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（2）要素：顶点、边、内角、外角、对角线内角：、外角：对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线如BD.n边形对角线条数：条（3）分类：凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形（如图）（4）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（如图正六边形） 多边形 凸多边形 凹多边形正六边形2多边形的内角和：（1）结论：n边形内角和等于（2）证明：过n边形一个顶点，连对角线，可以得条对角线，并且将n边形分成个三角形，这个三角形的内角和恰好是多边形的内角和在n边形边上取一点与各顶点相连，得个三角形，n边形内角和等于这个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即在n边形内部取一点与n边形各顶点相连，得n个三角形，这n个三角形所有内角之和为，故n边形内角和等于3多边形的外角和：（1）结论：多边形外角和等于360（2）证明：如图：，等式右边共有n个相加，代表n边形的内角和，即模块一 两大模型与角度关系例1（1）如图1-1，中，点D在BC的延长线上，过D作于E，交AC于F已知，则的度数为_（2）如图1-2，则 （3）如图1-3，则_ 图1-1 图1-2 图1-3（1）；（2）；（3）【教师备课提示】这道题主要考查三角形两大模型的基础倒角问题找模型（1）飞镖模型：找燕尾；（2）“8”字模型：找字例2（1）如图2-1，则 （2）如图2-2，则 图2-1 图2-2（1）本题既可按“8字模型”来考虑，也可按照飞镖模型来做，也可以应用外角定理来解决，此题可以锻炼学生一题多解，熟练灵活的应用如图1，连接，应用“8字模型”，.如图2，应用飞镖模型，如图3，应用外角定理，又，图1 图2 图3（2）法一：A+B=5+6 C+D=4+6 E+F=4+5 +=2（4+5+6），法二：， ， 而，且 +得，法三：连接，【教师备课提示】这道题相对复杂，锻炼孩子们找模型的能力和倒角能力，一题多解例3（1）如图3-1，已知，则 （2）如图3-2，则 图3-1 图3-2（1）；利用两次“8”字模型（2）；连接BD，利用两次飞镖模型【教师备课提示】这道题主要需要孩子们自己连接辅助线，锻炼倒角能力例4如图，已知，BO平分，DO平分， 例5已知：如图，AM，CM分别平分和（1）求的大小；（2）当，为任意角时，探索与，间的数量关系，并对你的结论加以证明（1）根据三角形内角和定理，在和中， 同理 ， +得，即（2）当、为任意角时，证明：根据三角形外角性质，可得：，又、分别平分、， ，即【教师备课提示】例4例5主要考查两大模型的拓展，自己拓展出结论模块二 两大模型与边长关系例6如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O求证：（1）； （2）（1）在中，在中，两不等式相加得，即（2）应用上题的结论：，例7三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上（1）说明为什么（2）说明为什么（3）与，哪一个更大？证明你的答案；（4）与，哪一个更大？证明你的答案（1）由三角形三边关系，（2）由三角形三边关系，因此， （3）由三角形三边关系，以及，将三个不等式相加，得（4）由（2）可知类似可得，以及将这三个不等式相加，可得，即【教师备课提示】例6例7主要考查两大模型和边长的关系模块三 多边形例8（1）下列平面图形 不具有稳定性（黑点表示连接点）A B C D（2）科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图示中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）A6米 B8米C12米 D不确定（3）m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则 （1）C提示：三角形具有稳定性（2）B多边形的外角和为，每个外角为，则，故多边形边数为，则周长为（3）m边形的一个顶点有7条对角线，所以，则；没有对角线的多边形显然是三角形，则；k边形条数与其边数相等，即，所以故例9（1）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是（ ）A5B6C7D8（2）若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（ ）A10 B9 C8D6（3）一个多边形内角和是外角和的4倍，那么这是（ ）边形.A10 B22 C15 D8（4）如果一个五边形的4个内角都是，则第5个内角的度数是 （5）一个凸多边形的每一个内角都等于，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是 （1）B；（2）B.（3）A设多边形的边数为，由题意得，解得（4）.（5）6每个外角为，边数为，则每个顶点出发得到对角线的条数：例10（1）一个凸多边形的内角中，最多有个锐角（2）一个凸n边形，除一个内角外，其余个内角的和是，则n的值为 （1）3（2）由凸边形的内角得，解不等式的，故例11如图，求六个角的和. 连接DE、EF，BE与DG的交点为O三角形内角和等于， ，同理教师备选1如图所示，在中，在上，是上的任意一点，求证 作点关于的对称点，则点落在线段CD上连接交于点，连接由轴对称图形的性质可得，在中，在中，因此，所以教师备选2如图，在三角形ABC中，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D. 求证：（1）；（2）. （1），（2）过点作，交、于、，则，由（1）知，即几何证明中后一问常常要用到前一问的结论.复 习 巩 固模块一 两大模型与角度、边长关系演练1（1）如图1-1，已知，则_（2）如图1-2，则_ 图1-1 图1-2（1）130；（2）10演练2（1）如图2-1，_（2）如图2-2，_ 图2-1 图2-2（1）；（2）连接BC，（对顶角相等）（等量减等量差相等）（等量代换），（三角形内角和定义），（等量代换）演练3将图3-1中线段AD上一点E（点A、D除外）向下拖动，依次可得图3-2、图3-3、图3-4分别探究图3-2、图3-3、图3-4中、（）之间有什么关系？图3-1 图3-2 图3-3 图3-4探究图3-2、图3-3、图3-4可得：（或）图3-2中：证明：，即图3-3中：同上可证图3-4中：同上可证演练4（1）已知如图4-1所示，在图形ABCDEFG中，若BC/FG，则 （2）如图4-2所示， 的值等于 （3）如图4-3所示， 的度数为 图4-1 图4-2 图4-3（1），（2）连接、，设与交于，与交于.由，而，所以，原式.（3）所以演练5已知，如图，P，Q为三角形ABC内两点，B，P，Q，C构成凸四边形求证： 作直线PQ，分别与AB，AC交于点M，N由三角形的三边关系可得+得，即模块二 多边形演练6（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，这个多边形的边数是 （2）一凸n边形最小的内角为，其它内角依次增加，则_（3）在凸多边形中，小于的角最多可以有（ ）A3个 B4个 C5个 D6个（1）七（2）这个凸n边形的