第章BlackScholes期权定价模型PPT课件.ppt

第六章Black Scholes期权定价模型 1 2 思考 当我们从1987年的抢购风潮中一路走来 再也不相信 物超所值 买就赚 多买多赚 的谎言时 是我们认清了冰冷的商业规则 还是我们从上当中得到的教训太多 热心的顾客在一次次失望之后 对商家的华丽承诺又怎会投去相信的眼神 期权 能容下用来画饼充饥式的欺骗吗 3 最大信息熵的启示一个事件有n种可能 每种可能的概率为Pi 则Shannon信息熵公式为 一 在不知外界其它情况的条件下 H最大Pi 1 n i 1 2 n 二 在已知每种可能的概率为Pi0的条件下 最大Pi Pi0 i 1 2 n 用市场上发生的概率作为决策的依据 Ellsberg 人们厌恶主观或模糊不确定性甚于厌恶客观不确定性 4 本章学习目的 1 掌握Black Scholes期权定价模型 2 理解用概率或随机过程等架起现在与未来 桥梁 的方法 3 理解期权的 杠杆 特征 5 主要内容 6 股票价格的运动规律 二叉树的局限性1 股票价格不是要么按比例u上升 要么按比例d下降 2 市场上的状态个数也不一定都为2 3 要想逼近真实情况 要将时间间隔划分的很细 随机过程一系列随机变量组成的序列过程或随时间变化的过程 股票价格变化的基本假设1 不同时刻股票的收益率相互独立 且分布相同 2 股票的价格变化是连续可微的 继续 思考 思考 7 上述两个条件相当于 1 其中为股票在T时的价格 S 0 为股票的即时价格 记或 则注意不是 式 1 表示的股票价格称为满足对数正态分布或几何布朗运动或维纳过程 返回 为什么 8 Black Scholes定价模型 假设条件1 市场的无摩擦性 包括无税 无交易成本 所有的资产可以无限细分 没有卖空限制 2 从时刻t 0到t T 都可以以一相同的不变的利率借贷 利率按连续复利r计算 3 从时刻t 0到t T 股票不分红 4 标的物股票价格的变化遵循对数正态分布的随机过程 包括以下条件 股票价格连续变化 在整个期权的生命期内 股票的预期收益率和收益率方差保持不变 任何时间段股票的收益和其他时间段股票的收益相互独立 任何时间段股票的复利收益率服从正态分布 继续 9 其中S为标的物股票的价格 为漂移率 drift 连续计算收益率的股票在单位时间内收益的预期收益率值 为连续计算收益率的股票在单位时间内收益的自然对数的数学期望值 为波动率 volatility 连续计算收益率的股票在单位时间内收益的自然对数的标准差 z为布朗运动 Brownianmotion 维纳过程Wienerprocess 满足标准正态分布 其数学期望值为0 方差为1 伊藤引理 Itolemma 若f f S t 是衍生品的价格 则有下列关系 继续 比较人口模型 思考 10 套头比 hedgeratio 或期权的 含义为期权价格的单位变化需要股票的股数 即在复制期权的组合中股票的权重 股数 Black Scholes随机微分方程记 其中L为无风险证券的价值 利用c f T max S T X 0 或p f T max X S T 0 可以得到Black Scholes期权定价公式 注 边界条件还需要利用上一章的基本关系 如 c S t c S 0 0等 比较ITO 返回 套利定价的思路 组合 11 ITO与Black Scholes的比较 在ITO公式中 取 则令得到Black Scholes公式 12 Black Scholes期权定价公式 其中 返上页 d1是什么含义 d2呢 d2违约距离 N d2 是S T 大于X的概率 N d2 是止损概率 13 在Black Scholes微分方程和Black Scholes期权定价公式中不含 代之以rf 说明期权定价在形式上与投资者的风险偏好无关 真的吗 为什么 在风险中性的世界里的 记为 相当于 rf 在风险中性的世界里 未来的带有不确定性的现金流的数学期望用无风险利率折现后的现值就是均衡价格 风险中性定价 继续 14 形式上确实是真的 原因在于 1 Black Scholes模型的假设条件过于理性化 2 不同投资者的偏好 预期等通过供求关系反映在S t 上 3 股票的真实价格运动不服从对数正态分布 而服从 尖峰胖尾 的Levy分布等 返上页 15 买权的风险中性定价期末t T时的取值为在真实的世界里 服从概率P 在风险中性的世界里 服从概率P 所以在风险中性的世界里 记风险中性的概率密度函数 在风险中性的世界里 因此做变换可以得到Black Scholes期权定价公式 继续 16 N d2 的含义在风险中性的世界里 在到期日股票价格高于预定价的概率就是N d2 欧式卖权的定价由买权和卖权的平价关系可得套头率 返回 17 标的物股票支付红利的情况现在为时刻t 欧式期权的到期日为T 标的股票在t1时刻支付红利D t t1 T 标的物股票的现在价值S t 由下列两部分组成 1 红利折现到t时的价值D 2 支付红利后T时刻股票价值折现到t时的价值Srisky t 当在到期日前多次支付红利时 上述陈述依然成立 即因此T时股票价格折现至t的现值为用Srisky t 代替S t 代入Black Scholes模型中可以得到相应的欧式期权定价公式 B S模型的推广 继续 18 标的物股票具有已知红利率的情况假设任何单位时间短dt内标的物股票都发放红利 Sdt 类似于离散红利的情况 标的物股票的现在价值S t 由下列两部分组成 1 红利折现到t时的价值D 2 支付红利后T时刻股票价值折现到t时的价值Srisky t 由于连续发放红利相当于在每一时刻都将剩余股票价值的比例为 dt的带走 操作上是利率的反向 即或用Srisky t 代替S t 代入Black Scholes模型中可以得到相应的欧式期权定价公式 继续 19 外汇期权的定价外汇期权的定价类似于支付已知红利率的股票的期权定价 例如 德国马克对美元的汇率在t时刻为S t 0 66美元 德国马克 记为德国马克的无风险利率 为美元的无风险利率 则在任何时间段dt内 1德国马克就相当于支付美元的红利 因此利用红利率的情况可以得到相应的定价 分红股票美式买权的近似解假设标的物股票在t1时刻分红 t t1 T 美式买权的持有者要么在t1时执行期权 要么在T时执行期权 因此 我们可以把这个美式买权近似地看作两个欧式买权的取大值的那个 这两个欧式买权为 1 到t1时刻到期的欧式买权 标的物股票不分红 2 到T时到期的欧式买权 标的物股票在t1时刻分红 继续 20 记表示到期日为 不分红的欧式期权在时刻t的价值 则分红股票的美式买权的近似解为这个解略微偏小了点 在Black Scholes模型条件下 美式买权没有解析解 只有近似解 21 其他方面的推广 关于波动率的讨论在B S模型中 波动率 被当作常数对待 但实际上 可能是随机变化的 此时需用期权生命期内各阶段的方差之和来代替 这种处理方法只适合波动率只跟时间和标的物股票价格有关的情况 若波动率还与其他因素有关 或者波动率和股票的价格变化不是高度相关的 情况变得比较复杂 继续 22 跳跃 JUMP 式的价格变化在B S模型中 股票的价格变化遵循的是热扩散型的随机过程 但有时股票的价格会发生剧烈的波动 处理的方式相当于离散红利的情况 利率的变化在B S模型中 利率是不变的 一般而言 利率的变化对期权价格的影响不大 除非是利率期权 在波动率不变时 可以用到期日与期权相同的零息票债券的累计收益率来代替rf T t 继续 23 思考 期权与标的物之间的相关系数是多大 2020 3 19 24 25 当标的物多于1个时 26 不同级别债券的价值共有S个级别 第i级别的负债面值为Fi 则级别s的价值为Ds V Fi 1 2 S t VtN d1 s 1 exp rt N d2 s 1 VtN d1 s exp rt N d2 s 其中 27 带跳的随机微分方程其中 为y的违约强度 为风险中性概率测度下 跳跃幅度z的概率分布 解释 为 t t dt 内F变化的条件期望值 为 t t dt 内F变化的无条件期望值 返回 28 小结 B S定价模型及其推广 为单位时间内股票收益复利率的数学期望值 而不是股票价格在单位时间内收益率的预期值 后者为 启示 由于复利率连续滚动计算 所以实际的收益率应当高于复利率 近似计算在资产定价中很重要 因为符合市场微观结构的定价方法多数不存在解析解 当效用函数为 a 0 求E u 其中 并据此讨论P5的 为什么 期权会发生违约吗 为什么 29 提示 其中蕴涵的相对价格的理念 30 若则其中 注 1 折现因子与环境有关 或者说环境决定了折现因子 2 这里是按照机会损失来计算消费c的价值的 或者说 理想情况下最优消费与投资 它们的效用一致 31 结束 32 二叉树 1 改进1 使用三叉树 n叉树 没有本质的改进 2 改进2 将期限细分 形成若干 小 时段 在每个细分的时段上采用二叉树等 形成所谓的CRR模型 3 采用二叉树的优点是什么 推理思路清晰 尤其是所形成的动态关系很清楚 易于解决路径依赖问题 当阶段数较多时 基本上可以逼近连续时间的情况 计算虽然繁琐点 但方法简单 易于理解 4 既然未来的不确定情况不是很清楚 二叉树就不失为一种近似 返回 33 股票价格和收益率 1 不同时刻的收益率相互独立 服从相同的分布 为什么这样假设 实际是独立和服从相同的分布吗 2 如果考虑不相互独立的情况 会怎么样 这里相同的分布指什么 不独立 模型复杂 对结果的影响难以预料 因为本身不知道未来 相同分布 指的是类型 但是在同一类型中还可以存在与时间 状态有关的参数 如 均值回复模型等 实际上 利率既不独立 也可以是不同的分布 在不同时间段上 3 股票价格连续可微 完全是出于模型推理的需要 实际上可微很难 因为有跳跃过程的存在 4 为什么期权模型中假定标的物收益率的变化规律 相当于考察数学中的导数变化规律 这是控制论中的一般思路 另外 固定的利率变化规律对应一系列股票价格变化规律 相当于原函数与导数的关系 返回 34 比较人口模型 和生物模型 1 如果不考察随机项 就形成了人口模型 那么为什么这里要加上随机项 人口本身基数很大 随机干扰相对小 另外 这种人口模型是最简单的一种 在财务管理中 期望利率下的相关结果很多都是不含随机项的情况 含与不含 哪个更合理些 这要看考察的情况 针对的人群 理论上 含 更合理 实际上 要看谁来使用 2 人口模型中有某个地区的最大人口容量问题 金融资产的价格变化有无上下限问题或其他限制 利率的均值回复模型 利率为正的特征 等 3 生物模型中存在捕食与被捕食关系 即存在一个物种与其他物种之间的上下事物链关系 金融资产中是否存在这种 食物链 关系 返回 35 ITOlemma的简单推导dt 0时 所得的结论为什么与高等数学中的不一致 还有其他形式的结论吗 Stranowich 但在金融研究中使用的不多 当标的证券多于一个的时候