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三角形解直角三角形 新发中学黄元华 锐直角三形 锐角三角函数解直角三角形的实际应用 考点特训营 1 如图1 在Rt ABC中 C 90 A为Rt ABC中的一锐角 则有 sinA cosA tanA 锐角三角函数定义 图1 考点精讲 三边关系 a2 c2两锐角关系 A 90 边角关系 sinA cosB cosA tanA tanB b2 2 Rt ABC中除直角 C外 其余五个元素有以下关系 B sinB 图1 3 特殊角的三角函数值 1 正弦 余弦分母都是2 正弦分子123 余弦分子321开方 正切前后都有前三分中一 1 仰角 俯角 如图2 在视线与水平线所成的锐角中 视线在水平线上方的角叫仰角 视线在水平线下方的角叫俯角2 坡度 坡比 坡角 如图3 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度 坡比 用字母i表示 坡面与水平线的夹角 叫坡角 i tan 解直角三角形的实际应用 图2 图3 3 方向角 一般指以观测者的位置为中心 将正北或正南方向作为起始方向 从起始方向线旋转到目标方向线所成的角 一般指锐角 通常表达成北 南 偏东 西 多少度 如图4 A点位于O点的北偏东30 方向 B点位于O点的南偏东60 方向 C点位于O点的北偏西45 方向 或西北方向 图4 4 归纳 解直角三角形的问题可以归为斜边和一个锐角一条边和一个锐角直角边和一个锐角两边类两条直角边两条边直角边和斜边 已知 斜边c和锐角A 已知 直角边a和锐角A c a A B C A B C B 90 Aa cSinAb cCosA B 90 Ab a tanAc a SinA 已知 两条直角边a和b C 由TanA a b求AB 90 A b 由SinA a c求AB 90 A 解直角三角形应遵循的原则 有斜用弦 无斜用切宁乘勿除 尽量用已知条件 已知 直角边a和斜边c 三角函数化归思想的应用 例1如图 Rt ABC中 ACB 90 CD AB于D 若AC 5 CD 3 求 SinB的值 思考 Rt ABC中SinB 5 AB Rt CDB中SinB 3 BC B有相等的角吗 本题体现了转化思想 B转化为 ACD 因此SinB Sin ACD 5 A B C D 3 4 重难点突破 例2在ABC中 A 30 B 45AC 8 求AB的长 A B B C 8 思考 能否将AB转化在直角三角形中 30 45 D 小结 将斜三角形转化成两直角三角形 尽量使直角三角形中含有特殊的锐角 如30 45 60 然后通过解直角三角形 得到原来斜三角形的边角信息 本题体现了化归的数学思想 4 4 解直角三角形的实际应用 高频 例如图 王明站在地面B处用测角仪器测得某栋楼顶点E的仰角为45 楼顶上旗杆顶点F的仰角为55 已知测角仪器高AB 1 5米 楼高CE 14 5米 求旗杆EF的高度 精确到1米 参考数据 sin55 0 8 cos55 0 57 tan55 1 4 例题图 思路点拨 分析题意 先计算出DE的长 然后在Rt ADE和Rt AFD中分别计算出AD和DF的长 即可利用EF DF DE求出EF的长度 自主解答 解 AB 1 5 CE 14 5 DE 14 5 1 5 13 在Rt ADE中 EAD 45 AD DE 13 在Rt AFD中 FAD 55 DF AD tan FAD AD tan55 13 1 4 18 2 EF DF DE 18 2 13 5 2 5 米 答 旗杆EF的高度约为5米 如图 海中一小岛上有一个观测点A 某天上午9 00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行 当天上午9 30观测到该渔船在观测点A的北偏西60 方向上的C处 若该渔船的速度为每小时30海里 在此航行过程中 该渔船从B处开始航行多少小时 离观测点A的距离最近 自我提升训练 解如图 过A点做AD BC于D 设BD X 由题意得 BC 30 0 5 15 CD 15 X CAD 90 60 30 BAD 45 在Rt ACD中AD CD tan30 在Rt ABD中 AD BD X 解得 航行时间为 该渔船从B处开始航行小时 离观测点