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数学B 2020-3-19 20:48:412011年高水平大学自主选拔学业能力测试数 学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设复数满足且，则（A）（B）（C）（D）（2）在正四棱锥中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为. 则异面直线DM与AN所成角的余弦值为（A）（B）（C）（D）（3）过点的直线l与曲线相切，且不是切点，则直线l的斜率是（A）2（B）1（C）（D）（4）若，则的最小值和最大值分别为 （A），（B），（C），（D），（5）如图，和外切于点C，又都和O内切，切点分别为A，B. 设，则（A）（B）（C）（D）（6）已知异面直线a，b成角，A为空间中一点，则过A与a，b都成角的平面（A）有且只有一个（B）有且只有两个（C）有且只有三个（D）有且只有四个（7）已知向量，. 则的最小值为（A）1（B）（C）（D）2（8）AB为过抛物线焦点F的弦，O为坐标原点，且，C为抛物线准线与x轴的交点，则的正切值为（A）（B）（C）（D）（9）如图，已知的面积为2，D，E分别为边AB，边AC上的点，F为线段DE上一点，设，且，则面积的最大值为（A）（B）（C）（D）（10）将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（A）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形（B）存在某种分法，所分出的三角形恰有2个锐角三角形（C）存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形（D）任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（11）（本小题满分14分）（）在中，证明：；（）在中，若，且，的倒数成等差数列. 求的值.（12）（本小题满分14分）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）. 质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处. （）若，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？（13）（本小题满分14分）已知函数，. 令，.（）求数列的通项公式；（）证明 .（14）（本小题满分14分）已知双曲线，分别为C的左，右焦点. P为C右支上一点，且使，又的面积为.（）求C的离心率e；（）设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数，使得恒成立. 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（15）（本小题满分14分）将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示未出现连续3次正面的概率.（
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