2018年高考数学二轮复习考前专题四数列推理与证明第4讲推理与证明讲学案理.doc

第4讲推理与证明1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现2直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题热点一归纳推理1归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理2归纳推理的思维过程如下：例1(1)(2017日照市模拟)给出下列等式：2cos ，2cos ，2cos ，请从中归纳出第n(nN*)个等式：_.n个根号答案2cos 解析因为已知等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为，角满足，所以2cos.(2)(2017山西省大同市灵丘豪洋中学模拟)下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第15个图形中小正方形的个数是_答案120解析a11，a23，a36，a410，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n将等式进行累加得ana15120.思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用其思维模式是“观察归纳猜想证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想跟踪演练1(1)(2017届陕西省咸阳市二模)观察下列式子：2，8，根据以上规律，第n个不等式是_答案b0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为1.那么对于双曲线1(a0，b0)，类似地，可以得到切点弦所在直线的方程为_答案1解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，则过点P1，P2的切线的方程分别为1，1.因为P0(x0，y0)在这两条切线上，所以1，1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)都在直线1上，故切点弦P1P2所在直线的方程为1.思维升华类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比跟踪演练2(1)(2017哈尔滨师范大学附属中学模拟)平面上，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，则有；空间中，点A，C为射线PM上的两点，点B，D为射线PN上的两点，点E，F为射线PL上的两点，则有_.答案解析由题设可得 (其中是射线PL与平面PAB所成的角)(2)已知双曲正弦函数sh x和双曲余弦函数ch x与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论_答案ch(xy)ch xch ysh xsh y(答案不唯一)解析ch xch ysh xsh y(exyexyexyexyexyexyexyexy)(2exy2e(xy)ch(xy)，同理可得ch(xy)ch xch ysh xsh y，sh(xy)sh xch ych xsh y，sh(xy)sh xch ych xsh y.热点三直接证明和间接证明直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法是反设结论导出矛盾的证明方法例3已知an是正数组成的数列，a11，且点(，an1)(nN*)在函数yx21的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b11，bn1bn2an，求证：bnbn2b.(1)解由已知得an1an1，则an1an1，又a11，所以数列an是以1为首项，1为公差的等差数列故an1(n1)1n.(2)证明由(1)知，ann，从而bn1bn2n.bn(bnbn1)(b2b1)b12n12n2212n1 (n2)又b11211，所以bn2n1 (nN*)因为bnbn2b(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)2n0，所以bnbn21)，证明：方程f(x)0没有负根证明(1)要证，即证3，也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三个内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立(2)假设x0是f(x)0的负根，则x00，且x01，所以0101，解得x02，这与x01，f(2)1.下面用数学归纳法证明：当n3时，f(n)1.由(1)知当n3时，f(n)1.假设当nk(k3)时，f(n)1，即f(k)1，那么f(k1)1111.所以当nk1时，f(n)1也成立因此，当n3时，f(n)1；当n3时，f(n)0，则第n个不等式为_押题依据根据n个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年的高考热点，相对而言，归纳推理在高考中出现的机率较大答案xn1解析已知所给不等式的左边第一个式子都是x，不同之处在于第二个式子，当n1时，为；当n2时，为；当n3时，为；显然式子中的分子与分母是对应的，分母为xn，分子是nn，所以不等式左边的式子为x，显然不等式右边的式子为n1，所以第n个不等式为xn1.3设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，证明：数列Sn不是等比数列押题依据反证法是一种重要的证明方法，直接证明不易证明时常采用反证法证明假设Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与q0矛盾，故Sn不是等比数列A组专题通关1(2017届辽宁葫芦岛普通高中月考)下面四个推理，不属于演绎推理的是()A因为函数ysin x(xR)的值域为1,1，2x1R，所以ysin(2x1)(xR)的值域也为1,1B昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若ab，bc则ac，将此结论放到空间中也是如此D如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论答案C解析C中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D中的推理都是演绎推理2(2017届三湘名校教育联盟联考)下面结论正确的是()一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式ann(nN*)；由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理；在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适；“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的ABCD答案D解析所给条件无法确定整个数列满足通项公式例如第四项是否为4，错误；由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，是合情推理，正确；类比时，平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象较为合适，错误；所给命题满足三段论推理，但其结论却是错误的，正确故选D.3设a，b，c(，0)，则a，b，c()A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2答案C解析假设a，b，c都大于2，即a2，b2，c2，将三式相加，得abc6，又因为a2，b2，c2，所以abc6，所以假设不成立，故选C.4(2017届河南省郑州、平顶山、濮阳市二模)平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为()A42 B65C143 D169答案B解析由题设可知当n4时，对角线的条数f(4)2311；当n5时，对角线的条数f(5)5611；可以归纳：对角线的条数与边数的函数关系f(n)1.当n13时，对角线的条数f(13)165，故选B.5(2017贵州省贵阳市适应性考试)富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象刘老师猜了三句话：“张博源研究的是莎士比亚；刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；高家铭自然不会研究莎士比亚”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是()A曹雪芹、莎士比亚、雨果B雨果、莎士比亚、曹雪芹C莎士比亚、雨果、曹雪芹D曹雪芹、雨果、莎士比亚答案A解析假设“张博源研究的是莎士比亚”正确，那么“高家铭自然不会研究莎士比亚”也是正确的，这不符合“刘老师只猜对了一个”这一条件，所以假设错误；假设“高家铭自然不会研究莎士比亚”正确，故不正确，即张博源研究的不是莎士比亚，不正确，即刘雨恒研究的肯定是曹雪芹这样的话莎士比亚没人研究了，所以此假设错误；前两次假设都是错误的，那么“刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹”就是老师猜对了的那个，那么其他两句话是猜错的，即高家铭研究莎士比亚，那么张博源只能研究曹雪芹，刘雨恒研究雨果故顺序为曹雪芹、莎士比亚、雨果，故选A.6(2017届甘肃省兰州市模拟)观察下列式子：1,121，12321,1234321，由以上可推测出一个一般性结论：对于nN*，则12n21_.答案n2解析第一项和为1，第二项和为4，第三项和为9，第四项和为16，故第n项和为n2.7(2017届宁夏石嘴山三中月考)已知a，b，c是ABC的三边，若满足a2b2c2，即221，ABC为直角三角形，类比此结论：若满足anbncn (nN，n3)时，ABC的形状为_(填“锐角三角形”“直角三角形”或“钝角三角形”)答案锐角三角形解析由题易得c最大，则角C最大，anbncn (nN，n3)nn122nn1a2b2c2cos C00C0.所以m2，故m1舍去，所以m.B组能力提高11(2017北京市海淀区期末)已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心)，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1，y2，y3，y4，如图所示将小圆盘逆时针旋转i (i1,2,3,4)次，每次转动90，记Ti (i1,2,3,4)为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1x1y2x2y3x3y4x4y1.若x1x2x3x40，y1y2y3y40，又(x1x2x3x4)(y1y2y3y4)T1T2T3T40，所以可知T1，T2，T3，T4中至少有一个为正数，故选A.12(2017届黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，“满几进一”就是几进制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的89转化为二进制，根据二进制数“满二进一”的原则，可以用2连续去除89得商，然后取余数，具体计算方法如下：892441，442220，222110，11251，5221，2210，1201.把以上各步所得余数从下到上排列，得到891011001这种算法叫做“除二取余法”，上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的方法，称为“除k取余法”，那么用“除k取余法”把89化为七进制数为_答案155(7)解析由题设中提供的计算方法可得897125，12715，1701.把以上各步所得余数从下到上排列，得到89155.13(2017届重庆市第一中学一诊)高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设xR，用表示不超过x的最大整数，并用xxx表示x的非负纯小数，则yx称为高斯函数，已知数列满足：a1，an1an (nN*)，则a2 017_.答案3 024解析a1，a21，a32，a44，a55，a67，可归纳：当n为奇数时，an3；当n为偶数时，an3，a2 01733 024.14已知每一项都是正数的数列an满足a11，an1 (nN*)(1)用数学归纳法证明：a2n1a2n1；(2)证明：an1；(3)记Sn为数列|an1an|的前n项和，证明：Sn0，an10 (nN*)当n1时，a1