数列通项公式的求法(有答案).doc

数列通项公式的求法一、 近6年全国卷（20092014）求数列通项公式的试题概览年份试题特点或已知条件类型或方法2009卷1转化，累加法2009卷2，与的关系，构造等差数列2010卷1，转化，构造等比数列2010新课标累加法2011新课标是等比数列，定义法，2012全国卷，转化，构造等比数列2013课标1与的关系，定义法，2013课标2是等差数列，成等比数列定义法，2013大纲卷是等差数列，成等比数列定义法，2014课标1是等差数列，是方程的根定义法2014课标2，构造等比数列二、 数列通项公式的求法（一） 数列的通项公式：如果数列的第项和项数之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式叫做数列的通项公式。（二） 数列通项公式的求法数列的通项公式是数列的核心之一。在很多情况下，各种数列综合问题的求解，首先是对数列通项公式的求解，数列通项公式的求解问题往往是解决数列综合问题的突破口和关键。求数列通项公式的方法和类型通常归结为一下几种： 1观察法 通过观察数列各项与项的序号的关系，找出各项共同的规律特征，归纳出通项公式的方法。 2.定义法 已知数列为等差数列或等比数列时，由已知条件求出首项和公差或公比代入等差数列或等比数列的通项公式求得。 (1）等差数列：，或 （2）等比数列：，或例1 （2013新课标全国卷）已知等差数列的公差不为0，且，成等比数列，求数列的通项公式。解： 设的公差为,由，成等比数列得， ， 例2 （2014全国卷）等差数列的前项和为，已知，为整数，且，求的通项公式。解： 由，为整数，知等差数列的公差为整数。又因为，所以，且.,解得. , .练习1：（1）设是公比大于1的等比数列，为的前项和。已知，且，成等差数列，求数列的通项公式。解： 由已知得，. 设的公比为，则，代入，得，或(舍去)，.（2）(2013.湖北高考)已知是等比数列的前项和， 成等差数列，且，求的通项公式。解：因为， 成等差数列，所以 ，又，3.公式法 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项公式可用公式求解。例3 （2013.全国卷）若数列的前项和为，则数列的通项公式为 。解：当时，；当时，. ，两式相减，得，所以为等比数列，公比，首项，.例4 已知为正项数列的前项和，且满足，求数列的通项公式。解：当时，即，又，当时,因为，所以.两式相减得：，整理得：，又，为等差数列，又，练习2：（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式。解：当时，.当时,因为，所以.两式相减得：，又不适合上式，. （2）（2013。江西高考）正项数列的前项和满足：.求数列的通项公式。解：因为，所以，可求得4.其他方法 对于由递推公式确定的数列，通常可以对递推式进行变形、转化（构造）为等差数列或等比数列的问题得以解决。 （1）累加法：求形如（其中可求和）的数列的通项。可用累加法，即令，得到个等式累加求得通项。例5 (2010全国新课标)设数列满足，求数列 的通项公式。 解：因为，分别令代入上式，得个等式累加，即: ,又 练习3:（1）数列满足，则数列的通项公式为 。解： （2）数列满足，则数列的通项公式为 。 解：，累加得， （2）累乘法：对于形如的数列的通项求解，可用累乘法，即令得到个等式累乘求得通项。 例6 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由已知得：，分别令，代入上式得个等式累乘之，即， ，又，练习4. 已知数列满足，则数列的通项公式为 . 解： 由已知得，累乘可得 . （3）构造法：求形如（、为常数）或形如的数列通项，可以构造新数列，使得新数列是等差数列或是等比数列，从而求得通项。 例7 （2014新课标2）已知数列满足，证明数列 是等比数列，并求数列的通项公式。 解：由得，即，又，所以数列 是首项为，公比为3的等比数列 ， 练习5. 已知数列的前项和，求数列的通项公式。 解：当时，；当时，两式相减得：， ，两边同除以，得：，又，是以2为首项、以1为公差的等差数列。，（三） 求数列通项公式 课后练习 1.（2013课标1）已知等差数列的前3项和，且，.求 的通项公式。 2（2013全国大纲卷）已知等差数列的前项和，且，成等比数列，求 的通项公式。3.（2013天津）已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为，成等差数列，求 的通项公式。4（2014山东）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，成等比数列，求 的通项公式。5. 已知数列的前项和，且，求 的通项公式。6. 已知数列满足.求 的通项公式。7.（2013湖南）设为数列的前项和，已知，求 的通项公式。8. 已知数列的前项和，且，求 的通项公式。9.（2009全国卷2）已知等差数列的前项和，且， （1）证明是等比数列。 （2）