2015年河南省郑州市高考数学二模试卷(理科).doc

2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1（5分）（2015郑州二模）设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A1BCD22（5分）（2015郑州二模）集合U=0，1，2，3，4，A=1，2，B=xZ|x25x+40，则U（AB）=（）A0，1，3，4B1，2，3C0，4D03（5分）（2015郑州二模）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（）A1BCD4（5分）（2015郑州二模）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A3种B6种C9种D18种5（5分）（2015郑州二模）如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），g（x）是g（x）的导函数，则g（3）=（）A1B0C2D46（5分）（2015郑州二模）有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=sinyx+y=或x=y；p2：xR，sin2+cos2=1；p3：x，yR，cos（xy）=cosxcosy；p4：x0，=cosx其中真命题是（）Ap1，p2Bp2，p3Cp1，p4Dp2，p47（5分）（2015郑州二模）若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A1B2CD38（5分）（2015郑州二模）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A8B16C32D649（5分）（2015郑州二模）已知函数f（x）=函数g（x）=f（x）2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A1，3）B3，1C3，3）D1，1）10（5分）（2015郑州二模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（BA）=2sin2A，且c=，C=，则ABC的面积是（）ABCD或11（5分）（2015郑州二模）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE，若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A|BM|是定值B点M在某个球面上运动C存在某个位置，使DEA1CD存在某个位置，使MB平面A1DE12（5分）（2015郑州二模）已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）ABC2D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）（2015郑州二模）已知点A（1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为14（5分）（2015郑州二模）已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y=mx2的焦点坐标为15（5分）（2015郑州二模）执行如图所示的程序框图，输出的S值是16（5分）（2015郑州二模）已知偶函数y=f（x）对于任意的x0，）满足f（x）cosx+f（x）sinx0（其中f（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有（1）f（）f（） （2）f（）f（）（3）f（0）f（） （4）f（）f（）三、解答题（共8小题，满分70分）17（12分）（2015郑州二模）已知等差数列an的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+，a11成等比数列（）求an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和Tn18（12分）（2015郑州二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC平面AA1C1C，A1AC=60，BCA=90（）求证：A1BAC1；（）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值19（12分）（2015郑州二模）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）（其中x+y=70）前6小时内的销售量t（单位：件）456频数30xy（）若某该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围20（12分）（2015郑州二模）设椭圆C：+=1（ab0），F1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且S=4，离心率为，O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|=|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由21（12分）（2015郑州二模）已知函数f（x）=ax+ln（x1），其中a为常数（）试讨论f（x）的单调区间；（）若a=时，存在x使得不等式|f（x）|成立，求b的取值范围22（10分）（2015郑州二模）如图，已知圆O是ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F（）求证：ACBC=ADAE；（）若AF=2，CF=2，求AE的长23（2015郑州二模）在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为sin（+）=t（t为参数）（）求曲线M和N的直角坐标方程；（）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围24（2015郑州二模）已知函数f（x）=|3x+2|（）解不等式f（x）4|x1|；（）已知m+n=1（m，n0），若|xa|f（x）+（a0）恒成立，求实数a的取值范围2015年河南省郑州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1（5分）（2015郑州二模）设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A1BCD2【考点】复数求模菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：z=i（1i）=i+1，则|z|=故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题2（5分）（2015郑州二模）集合U=0，1，2，3，4，A=1，2，B=xZ|x25x+40，则U（AB）=（）A0，1，3，4B1，2，3C0，4D0【考点】交、并、补集的混合运算菁优网版权所有【专题】集合【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求【解答】解：集合B中的不等式x25x+40，变形得：（x1）（x4）0，解得：1x4，B=2，3，A=1，2，AB=1，2，3，集合U=0，1，2，3，4，（AB）=0，4故选：C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键3（5分）（2015郑州二模）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=（）A1BCD【考点】茎叶图菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可【解答】解：根据茎叶图，得；乙的中位数是33，甲的中位数也是33，即m=3；甲的平均数是=（27+39+33）=33，乙的平均数是=（20+n+32+34+38）=33，n=8；=故选：D【点评】本题考查了中位数与平均数的计算问题，是基础题目4（5分）（2015郑州二模）某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A3种B6种C9种D18种【考点】计数原理的应用菁优网版权所有【专题】排列组合【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门；A类选修课选2门，B类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果【解答】解：可分以下2种情况：A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C21C32种不同的选法；A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C22C31种不同的选法根据分类计数原理知不同的选法共有C21C32+C22C31=6+3=9种故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种故选：C【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想，属于基础题5（5分）（2015郑州二模）如图，y=f（x）是可导函数，直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，令g（x）=xf（x），g（x）是g（x）的导函数，则g（3）=（）A1B0C2D4【考点】利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】导数的概念及应用【分析】先从图中求出切线过的点，再求出直线L的方程，利用导数在切点处的导数值为切线的斜率，最后结合导数的概念求出g（3）的值【解答】解：直线L：y=kx+2是曲线y=f（x）在x=3处的切线，f（3）=1，又点（3，1）在直线L上，3k+2=1，从而k=，f（3）=k=，g（x）=xf（x），g（x）=f（x）+xf（x）则g（3）=f（3）+3f（3）=1+3（）=0，故选：B【点评】本题考查导数的几何意义，曲线在切点处的导数值为曲线的切线的斜率6（5分）（2015郑州二模）有四个关于三角函数的命题：p1：sinx=sinyx+y=或x=y；p2：xR，sin2+cos2=1；p3：x，yR，cos（xy）=cosxcosy；p4：x0，=cosx其中真命题是（）Ap1，p2Bp2，p3Cp1，p4Dp2，p4【考点】命题的真假判断与应用菁优网版权所有【专题】三角函数的求值；简易逻辑【分析】根据三角函数的定义及周期性，可判断p1；根据同角三角函数基本关系的平方关系，可判断p2；根据两角差的余弦公式，可判断p3；根据二倍解的余弦公式，及根式的运算性质，可判断p4【解答】解：p1：若sinx=sinyx+y=+2k或x=y+2k，kZ，故错误；p2：根据同角三角函数基本关系的平方关系，可得：xR，sin2+cos2=1，故正确；p3：x，yR，cos（xy）=cosxcosy+sinxsiny，与cosxcosy不一定相等，故错误；p4：x0，=|cosx|=cosx，故正确故选：D【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，全（特）称命题，三角函数，属于基础题7（5分）（2015郑州二模）若实数x、y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A1B2CD3【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对于的平面区域，根据z=2x+y的最小值为4，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：z=2x+y的最小值为4，即2x+y=4，且y=2x+z，则直线y=2x+z的截距最小时，z也取得最小值，则不等式组对应的平面区域在直线y=2x+z的上方，由；，解得，即A（1，2），此时A也在直线y=x+b上，即2=1+b，解得b=3，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键8（5分）（2015郑州二模）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A8B16C32D64【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，进而可得该几何体外接球的表面积【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R=2，故外接球的表面积S=4R2=32，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状9（5分）（2015郑州二模）已知函数f（x）=函数g（x）=f（x）2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A1，3）B3，1C3，3）D1，1）【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用菁优网版权所有【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】化简g（x）=f（x）2x=，而方程x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为1，3；从而可得，从而解得【解答】解：f（x）=，g（x）=f（x）2x=，而方程x+3=0的解为3，方程x2+4x+3=0的解为1，3；若函数g（x）=f（x）2x恰有三个不同的零点，则，解得，1a3实数a的取值范围是1，3）故选：A【点评】本题考查了分段函数的化简与函数零点的判断，属于基础题10（5分）（2015郑州二模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin（B+A）+sin（BA）=2sin2A，且c=，C=，则ABC的面积是（）ABCD或【考点】两角和与差的正弦函数菁优网版权所有【专题】解三角形【分析】依题意，可求得BA=2A，利用两角差的正弦可求得sin（2A）=，又A（0，），可求得A=或A=，分类讨论即可求得ABC的面积【解答】解：在ABC中，C=，B=A，BA=2A，sin（B+A）+sin（BA）=2sin2AsinC+sin（2A）=2sin2A，即sinC+cos2A+sin2A=2sin2A，整理得：sin（2A）=sinC=，sin（2A）=，又A（0，），2A=或2A=，解得A=或A=，当A=时，B=，tanC=，解得a=，SABC=acsinB=；当A=时，B=，同理可得SABC=；故选：B【点评】本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦、余弦公式，二倍角公式的应用，属于中档题11（5分）（2015郑州二模）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE，若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A|BM|是定值B点M在某个球面上运动C存在某个位置，使DEA1CD存在某个位置，使MB平面A1DE【考点】平面与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF平面A1DE，可得D正确；由余弦定理可得MB2=MF2+FB22MFFBcosMFB，所以MB是定值，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，可得A，B正确A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得C不正确【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MFDA1，BFDE，平面MBF平面A1DE，MB平面A1DE，故D正确由A1DE=MFB，MF=A1D=定值，FB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MF2+FB22MFFBcosMFB，所以MB是定值，故A正确B是定点，M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，故B正确，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，存在某个位置，使DEA1C不正确故选：C【点评】掌握线面、面面平行与垂直的判定和性质定理及线面角、二面角的定义及求法是解题的关键12（5分）（2015郑州二模）已知双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）ABC2D【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可【解答】解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1l，QQ1l，分别交l于P1，Q1；，3|PF2|=2|QF2|；，；过P作PMQQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；解得d=；根据双曲线的定义，|PF1|PF2|=2a，|PF2|=2c2a；根据双曲线的第二定义，；整理成：；解得（舍去）；即该双曲线的离心率为故选A【点评】考查双曲线的第二定义，双曲线的准线方程，双曲线的焦距、焦点的概念，以及对双曲线的定义的运用，双曲线的离心率的概念，相似三角形的比例关系二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）（2015郑州二模）已知点A（1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为2【考点】平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】平面向量及应用【分析】首先分别求出，的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影【解答】解：由已知得到=（1，2），=（4，3），所以向量在方向上的投影为=2；故答案为：2【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及利用向量的数量积求向量的投影；属于基础题14（5分）（2015郑州二模）已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y=mx2的焦点坐标为（0，）【考点】抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由等比中项概念求得m的值，代入抛物线方程，分m=4和m=4求得抛物线的焦点坐标【解答】解：实数m是2和8的等比中项，m2=16，m=4，由y=mx2，得，若m=4，则，即2p=，焦点坐标为（0，）；若m=4，则，即2p=，焦点坐标为（0，）抛物线y=mx2的焦点坐标为：（0，）故答案为：（0，）【点评】本题考查了等比中项的概念，考查了抛物线的简单几何性质，属中档题15（5分）（2015郑州二模）执行如图所示的程序框图，输出的S值是1【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】三角函数的求值；算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是s=cos+cos+cos+cos+cos+cos的值，由此求出结果即可【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；n=1，s=0，s=0+cos=；n=2，n2015？，否，s=+cos=；n=3，n2015？，否，s=+cos=0；n=4，n2015？，否，s=0+cos=1；n=5，n2015？，否，s=1+cos=1；n=6，n2015？，否，s=1+cos=1；n=7，n2015？，否，s=1+cos=1；n=8，n2015？，否，s=1+cos2=0；n=9，n2015？，否，s=0+cos=；s的值是随n的变化而改变的，且周期为8，又2015=2518+7，此时终止循环，输出的s值与n=6时相同，为s=1故答案为：1【点评】本题考查了程序框图的应用问题，也考查了余弦函数求值的应用问题，是基础题目16（5分）（2015郑州二模）已知偶函数y=f（x）对于任意的x0，）满足f（x）cosx+f（x）sinx0（其中f（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有（2）（3）（4）（1）f（）f（） （2）f（）f（）（3）f（0）f（） （4）f（）f（）【考点】函数奇偶性的性质菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】运用g（x）=0，构造函数g（x）=是单调递增，且是偶函数，根据奇偶性，单调性比较大小运用得出f（f（），可以分析（1），（2），根据单调性得出g（）g（0），g（）g（），判断（3）（4）【解答】解：偶函数y=f（x）对于任意的x0，）满足f（x）cosx+f（x）sinx0g（x）=，g（x）=0，x0，），g（x）=是单调递增，且是偶函数，g（）=g（），g（）=g（），g（）g（），即f（f（），（1）化简得出f（）=f（）f（），所以（1）不正确（2）化简f（）f（），得出f（）f（），所以（2）正确又根据g（x）单调性可知：g（）g（0），f（0）f（），偶函数y=f（x）即f（0）f（），所以（3）正确根据g（x）单调性可知g（）g（），f（）f（）所以（4）正确故答案为：（2）（3）（4）【点评】本题考查了运用导数判断函数的单调性，结合三角函数，偶函数性质，判断函数值的大小比较，关键根据式子确定是哪个函数值，属于中档题三、解答题（共8小题，满分70分）17（12分）（2015郑州二模）已知等差数列an的各项均为正数，a1=1，且a3，a4+，a11成等比数列（）求an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；等比数列的性质菁优网版权所有【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】（）由题意知（）2=a3a11，从而可得公差，所以；（）将bn=列项为，求和即得Tn的值【解答】解：（）设等差数列公差为d，由题意知d0，a3，a11成等比数列，（）2=a3a11，即44d236d45=0，解得或（舍去），所以；（）因为bn=，所以数列bn的前n项和Tn=【点评】本题考查数列的通项公式及求前n项和，解题时要认真审题，仔细解答，采用裂项相消法是解题的关键，属中档题18（12分）（2015郑州二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC平面AA1C1C，A1AC=60，BCA=90（）求证：A1BAC1；（）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步得出线线垂直（）根据两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进一步利用向量的夹角余弦公式求出线面的夹角的正弦值【解答】（）证明：取AC的中点O，连接A1O，由于平面ABC平面AA1C1C，A1OAC，所以：A1O平面ABC，所以：A1OBC，又BCAC，所以：BC平面A1BC所以：A1BAC1（）以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，A（0，1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，），则：，设=（x，y，z）是平面ABB1A1的法向量，所以：，求得：，由E（1，0，0）求得：，直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值sin=cos=【点评】本题考查的知识要点：线面垂直与面面垂直与线线垂直之间的转化，空间直角坐标系，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力19（12分）（2015郑州二模）某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购入A商品若干件（A商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商店对没卖出的A商品以每件100元的价格低价处理完毕（根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完后，当天不再购进A商品）该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格（注：视频率为概率）（其中x+y=70）前6小时内的销售量t（单位：件）456频数30xy（）若某该商场共购入6件该商品，在前6个小时中售出4件若这些产品被6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？（）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】（1）根据排列组合，可以求出总的事件的个数和满足条件的基本事件的个数，根据概率公式计算即可；（2）设销售A商品获得利润为X，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，分别求出其利润，根据题意列出不等式解得即可【解答】解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A，则P（A）=；（2）设销售A商品获得利润为X，（单位，元），以题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件，当购进A商品4件时，EX=1504=600，当购进A商品5件时，EX=（150450）0.3+15050.7=690，当购进A商品6件时，EX=（1504250）0.3+（150550）+1506=7802x，由题意7802x690，解得x45，又知x10030=70，所以x的取值范围为45，70xN*【点评】本题考查了古典概型概率问题，以及数学期望的问题，属于中档题20（12分）（2015郑州二模）设椭圆C：+=1（ab0），F1、F2为左右焦点，B为短轴端点，且S=4，离心率为，O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，且满足|+|=|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程菁优网版权所有【专题】计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）由题意可得方程=2cb=4，e=，且a2=b2+c2；从而联立解出椭圆C的方程为+=1；（）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，则可得=0；再设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，联立方程组可得x1+x2=，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；从而再由x1x2+y1y2=0可得3m28k28=0，从而可解得m或m；从而解出所求圆的方程为x2+y2=；再验证当切线的斜率不存在时也成立即可【解答】解：（）椭圆C：+=1（ab0），由题意可得，=2cb=4，e=，且a2=b2+c2；联立解得，；故椭圆C的方程为+=1；（）假设存在圆心在原点的圆x2+y2=r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，|+|=|，=0；设M（x1，y1），N（x2，y2），当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为y=kx+m，解方程组得，（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0，则=（4km）24（1+2k2）（2m28）=8（8k2m2+4）0；即8k2m2+40；x1+x2=，x1x2=；y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=；要使=0，故x1x2+y1y2=0；即+=0；所以3m28k28=0，所以3m280且8k2m2+40；解得m或m；因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=，r2=；故r=；即所求圆的方程为x2+y2=；此时圆的切线y=kx+m都满足m或m；而当切线的斜率不存在时切线为x=与椭圆+=1的两个交点为（，），（，）；满足=0，综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2=满足条件【点评】本题考查了圆锥曲线的应用，化简很复杂，应用到了根与系数的关系以简化运算，属于难题21（12分）（2015郑州二模）已知函数f（x）=ax+ln（x1），其中a为常数（）试讨论f（x）的单调区间；（）若a=时，存在x使得不等式|f（x）|成立，求b的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】（）先求函数f（x）的定义域及f（x）=，再分a0时、a0时两种情况考虑即可；（）由（I）可得f（x）max=+ln（e1）0，令，求出g（x）的单调区间，从而可得g（x）max=g（e）=，所以原不等式成立只需，解之即可【解答】解：（）由已知易得函数f（x）的定义域为：x|x1，f（x）=a+=，当a0时，f（x）0在定义域内恒成立，f（x）的单调递增区间为（1，+），当a0时，由f（x）=0得x=1，当x（1，1）时，f（x）0，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）的单调递增区间为（1，1），递减区间为（1，+）；（）由（I）知当a=时，f（x）的单调增区间为（1，e），减区间为（e，+），所以f（x）max=f（e）=+ln（e1）0，所以|f（x）|f（e）=恒成立，当x=e时取等号令，则，当1xe时，g（x）0；当xe时，g（x）0，从而g（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，+）上单调递减，所以g（x）max=g（e）=，所以，存在x使得不等式|f（x）|成立，只需，即：b2ln（e1）【点评】本题主要考查函数的单调性及与不等式的综合，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究不等式时一定要先确定函数的单调性才能求解22（10分）（2015郑州二模）如图，已知圆O是ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F（）求证：ACBC=ADAE；（）若AF=2，CF=2，求AE的长【考点】与圆有关的比例线段菁优网版权所有【专题】推理和证明【分析】（I）如图所示，连接BE由于AE是O的直径，可得ABE=90利用E与ACB都是所对的圆周角，可得E=ACB进而得到ABEADC，即可得到（II）利用切割线定理可得CF2=AFBF，可得BF再利用AFCCFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sinACD=sinAEB，AE=，即可得出答案【解答】证明：（I）如图所示，连接BEAE是O的直径，ABE=90又E与ACB都是所对的圆周角，E=ACBADBC，ADC=90ABEADC，AB：AD=AE：AC，ABAC=ADAE又AB=BC，BCAC=ADAE解：（II）CF是O的切线，CF2=AFBF，AF=2，CF=2，（2）2=2BF，解得BF=4AB=BFAF=2ACF=FBC，CFB=AFC，AFCCFB，AF：FC=AC：BC，AC=cosACD=，sinACD=sinAEB，AE=【点评】本题考查了圆的性质、三角形相似、切割线定理，属于中档题23（2015郑州二模）在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为sin（+）=t（t为参数）（）求曲线M和N的直角坐标方程；（）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程菁优网版权所有【专题】坐标系和参数方程【分析】（1）平方得x2=2cos2，代入第二个式子化简得出sin+cos=t，根据y=sin，x=cos，化简得出x+y=t（2）t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立利用判别式问题求解【解答】解：（1）由x=，得x2=2cos2，所以曲线M可化为y=x21，x2，2，由sin（）=t，得sincos=t，所以sin+cos=t，所以N可化为x+y=t，（2）若曲线N与曲线M有公共点，则当直线N过点（2，3）时，满足要求，此时t=5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立得x2+x1t=0，=1+4（1+t）=0，解得t=，综上可得t的取值范围t5【点评】本题考查了参数方程的与普通方程的转化问题，曲线的公共点问题，利用方程有解问题，转化为判别式求解，思路简单，属于中档题24（2015郑州二模）已知函数f（x）=|3x+2|（）解不等式f（x）4|x1|；（）已知m+n=1（m，n0），若|xa|f（x）+（a0）恒成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】（）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（）由条件利用基本不等式求得+4，结合题意可得|xa|3x+2|4恒成立令g（x）=|xa|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于4，求得a的范围【解答】解：（）不等式f（x）4|x1|，即|3x+2|+|x1|4， ，或，或 解求得x，解求得x，解求得x综上可得，不等式的解集为（，）（）已知m+n=1（m，n0），+=（m+n）（+）=2+2+2=4，当且仅当m=n=时，取等号再根据|xa|f（x）+（a0）恒成立，可得|xa|f（x）4，即|xa|3x+2|4设g（x）=|xa|3x+2|=，故函数g（x）的最大值为g（）=+a，再由+a4，求得 0a【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题参与本试卷答题和审题的老师有：孙佑中；whgcn；742048；cst；翔宇老师；maths；lgh；刘长柏；wkl197822；changq；sxs123；sdpyqzh；chenzhenji；caoqz（排名不分先后）菁优网2015年11月20日考点卡片1交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律 AB=BA，AB=BA 集合结合律 （AB）C=A（BC），（AB）C=A（BC）集合分配律 A（BC）=（AB）（AC），A（BC）=（AB）（AC）集合的摩根律 Cu（AB）=CuACuB，Cu（AB）=CuACuB集合吸收律 A（AB）=A，A（AB）=A集合求补律 ACuA=U，ACuA=【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题2命题的真假判断与应用【知识点的认识】 判断含有“或”、“且”、“非”的复舍命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x22x+1=0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分 【解题方法点拨】1判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假 2判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可3判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断【命题方向】该部分内容是课程标准新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现3函数奇偶性的性质【知识点的认识】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称【解题方法点拨】 奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）=0解相关的未知量； 奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）=f（x）解相关参数； 偶函数：在定义域内一般是用f（x）=f（x）这个去求解； 对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反例题：函数y=x|x|+px，xR是（） A偶函数 B奇函数 C非奇非偶 D与p有关解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称因为f（x）=x|x|px=x|x|px=f（x），所以f（x）是奇函数故选B 【命题方向】函数奇偶性的应用 本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率4函数零点的判定定理【知识点的知识】1、函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y=f（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b），使得f（c）=O，这个c也就是f（x）=0的根特别提醒：（1