2010A数学建模.doc

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 吉林建筑工程学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 郝威 2. 刘佩佩 3. 刘永 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 孔灵柱 日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：14储油罐的变位识别与罐容表标定摘 要储油罐作为加油站所必须的贮存工具，它与企业的盈亏有重要联系，因此定期地对其进行审核校正就显得十分重要了。本文通过对卧式储油罐纵向倾斜和横向偏转对罐容表影响的深入分析，建立了罐内储油量与油位高度以及变位参数之间关系的数学模型。具体地说：对于问题（1），我们对发生纵向变位的油罐，根据罐内储油液高的三种不同情况，分别在理论上推导相应储油液面截口面积，并沿罐壁积分求体积，并考虑倾斜罐体储油很少时的“底油”问题，得到了油高与罐内储油体积之间的对应关系，并利用Matlab7.0进行辅助计算。结合附表1给出的实验数据，计算得出每间隔1cm的罐容表标定值（详见文内表1），并与实验数据进行对比，误差较小，说明本文建立的纵向变位液体体积模型精确度较高。对于问题（2），我们把储油罐分成三段，即中间的圆柱体和两侧的球冠体。为求出其体积与变位参数和之间的理论关系，我们尝试了通过精确计算球冠体体积，鉴于精确理论计算的复杂性，我们考虑了用柱面近似和椭球面近似求球冠体体积。在得到一个理论关系以后，我们考虑利用附表2的数据对变位参数和进行识别。第一种方法是利用罐油体积增量对油高增量比值即作为被解释变量，显示油高即作为解释变量进行三次曲线拟和，拟合效果较好（详见文内表3和图5），其。但是由于表达式过于复杂，在利用估计模型所得参数反解和时遇到困难，所以我们尝试了第二种办法，即在一定的区间内（事实上过大的和是不可能的，也不具有现实意义）对使得罐油体积增量和油高增量达到附表2所列数据的可能和进行搜索，并从中选择使得多组数据误差较小的和作为实际储油罐发生纵向倾斜和横向偏转的角度。在此基础上，利用Matlab7.0计算了油位高度每间隔10cm对应的罐容表标定值，也利用剩余数据对模型及参数、的取值进行了检验。在建模和计算中，如何准确求出不同液高的液体体积，不同变位角度对液高和罐容的影响是我们始终考虑的。鉴于时间关系，也因为不很懂得相应工程实践，即不是很清楚如何做近似效果最好（通过推导，我们认为问题（2）中求得精确罐内储油体积是比较难的），所以在问题（2）的模型准确性上有待提高。关键词 罐容表 液高 变位参数 拟合 搜索 一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。一般情况下会发生三种变位：一种是横向变位；另一种是纵向变位；最后一种是前两种变位同时发生。按照有关规定，需要我们定期用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验。根据实验数据，建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于实际储油罐，要建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。就要利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、问题分析问题（1）可以对小椭圆型储油罐分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况的实验数据进行分析。取垂直于油罐壁的任意截面，利用定积分求该截面包含油面弓形的面积，并根据罐体变位后所取截面的弓形高和油位高度的关系，沿油罐壁积分，利用Matlab进行符号积分可算出油位高度和储油量的关系式。将通过模型计算得出的理论值和实验数据进行比较，分析罐体变位后对罐容表的影响；进而算出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。问题（2）要求对于实际储油罐，建立罐体变位（包含纵向倾斜和横向偏转）后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。考虑将油罐分成三部分，中间部分为圆柱体，两端部分为球冠体。中间的圆柱体可以利用第一问的解题思路，先用多项式函数对表示截口面积的复杂函数进行近似，再用定积分求出体积；两端的球冠体的体积可用截面法求出，将三个体积相加，得出储油量V和油位高度及变位参数、的关系式。因为附件2的数据中没有给出罐体变位后的真实体积，所以我们不利用计算、，而是求V对的导数，利用附件2中部分实际检测数据算出和，并利用最小二乘方法对其进行拟合，从而确定变位参数、，然后带回所建模型，计算出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。根据我们拟合得到的变位参数、，并利用剩余的实际检测数据来检验我们模型的正确性与方法的可靠性。三、模型假设1、假设固定油浮子的油位探针始终垂直于油罐底部；2、假设深入油罐内的管子体积忽略不计；3、假设储油罐的管壁所占的体积忽略不计；4、假设储油罐内油的体积不随温度的变化而变化；5、假设倾斜方向如图中所示且一直按照一个方向倾斜。四、符号说明：表示所截椭圆或圆的弓形高；：表示油位高度；：表示油罐发生横向变位后油面到油罐底的最大距离；：表示椭圆或圆截面面积；: 表示储油量；、：分别表示纵向倾斜角和横向偏转角；:分别表示小椭圆油罐截面的长半轴、短半轴；:表示圆柱底面半径；:表示球冠体的球径。五、问题（1）的模型与求解（一）模型建立设横截面椭圆的方程为： （1）将写成的表达式： （2）椭圆弓形高为h，图1中带阴影部分为储油横截面，由图可知。图1：椭圆（或圆）随着罐内存储油量的增加，油面高度可分为下面三个阶段（与截口面积和计算罐容有关）：1、当罐内储油的液面高度没有达到油罐右侧底部，即时，截口的椭圆弓形面积为： （3） 此时储油体积按照下式计算： （4）其中：。2、当罐内储油的液面高度超过油罐右侧底部，未到油罐左侧顶部时，即时，截口的椭圆弓形面积与（1）式相同，此时储油体积按照下式计算： （5）其中：。 3、当罐内储油的液面高度超过油罐左侧顶部，未使油位探针没过1.2m，即时，对该油罐内剩余体积进行截口，得到的截面面积为： （6）此时储油体积按照下式计算： （7）其中：。（二）模型求解利用Matlab7.0对上述各式进行计算（相关程序见附表），可以得到储油量与油位高度的函数关系。根据问题1的要求，按照上述函数关系将罐体变位后油位高度间隔1cm的罐容表计算结果列表，详见表1。表1：罐体变位后油位高度间隔1cm的罐容表标定值油位高度/cm储存油量/L油位高度/cm储存油量/L油位高度/cm储存油量/L油位高度/cm储存油量/L1.003.5031.00630.1061.001841.8091.003112.002.006.3032.00665.6062.001885.1092.003151.203.0010.0033.00701.5063.001928.5093.003190.104.0014.8034.00738.0064.001971.9094.003228.605.0020.7035.00774.9065.002015.4095.003266.706.0027.9036.00812.2066.002058.8096.003304.407.0036.3037.00850.0067.002102.3097.003341.708.0046.1038.00888.2068.002145.7098.003378.509.0057.4039.00926.7069.002189.1099.003414.9010.0070.1040.00965.7070.002232.50100.003450.7011.0084.4041.001005.0071.002275.80101.003486.1012.00100.3042.001044.6072.002319.10102.003520.9013.00117.7043.001084.5073.002362.30103.003555.1014.00139.6044.001124.8074.002405.40104.003588.8015.00157.8045.001165.3075.002448.40105.003621.8016.00180.3046.001206.2076.002491.30106.003654.2017.00204.0047.001247.2077.002534.00107.003685.9018.00228.9048.001288.6078.002576.60108.003716.9019.00254.9049.001330.1079.002619.10109.003747.2020.00281.9050.001371.9080.002661.40110.003776.6021.00309.8051.001413.9081.002703.00111.003805.3022.00338.5052.001456.0082.002745.50112.003833.0023.00368.1053.001498.4083.002787.20113.003859.8024.00398.5054.001540.9084.002828.70114.003885.6025.00429.7055.001583.5085.002870.00115.003910.3026.00461.5056.001626.3086.002911.10116.003933.9027.00494.0057.001669.2087.002951.80117.003956.1028.00527.1058.001712.2088.002992.30118.003974.6029.00560.9059.001755.3089.003032.50119.003993.5030.00595.2060.001798.6090.003072.40120.004010.70 表2：部分数据误差分析油位高度/cm理论油位/L实际油位/L误差油位高度/cm理论油位/L实际油位/L误差411005.00962.860.043765732362.302262.730.044004421044.601012.860.031337742405.402312.730.04007441124.801062.860.058277752448.402362.730.036259451165.301112.860.047122762491.302412.730.032565461206.201162.860.03727772534.002462.730.028939481288.601212.860.062447792619.102512.730.042332491330.101262.860.053244802661.402562.730.038502501371.901312.790.045026812703.002612.730.03455511413.901362.790.037504822745.502662.730.031085531498.401456.000.029121832787.202712.730.027452541540.901462.730.053441842828.702762.730.023879551583.501512.730.046783862911.102812.730.034973561626.301562.730.040679872951.802862.730.031114581712.201669.200.025761882992.302912.730.027318591755.301662.730.055674893032.502962.730.023549601798.601712.730.050136903072.403012.730.019806611841.801762.730.044857923151.203062.730.028886621885.101812.730.039923933190.103112.730.024856641971.901862.730.058608943228.603162.730.020827652015.401912.730.053677953266.703212.730.016799662058.801962.730.048947973304.403262.730.012772672102.302012.730.044502983378.503312.730.019854682145.702062.730.040223993414.903362.730.015514692189.102112.730.0361481013486.103412.730.021499702232.502162.730.032261023520.903462.730.016799722391.302212.730.0507511033555.103512.730.012062利用Matlab7.0中的作图功能，将油罐无变位和纵向倾斜时分别以累计进油量和累计出油量为横坐标、油位高度为纵坐标在同一坐标系内作图，详见图2和图3。图2：油罐无变位与倾斜变位时累计进油量和油位高度的关系图（短线和长线分别代表倾斜变位和无变位，下图相同） 图3：油罐无变位与倾斜变位时累计出油量和油位高度的关系图 从上述两图中可以看出在同一高度下倾斜变位进油量比无变位时高，倾斜变位出油量比无变位时低，说明同一高度时，倾斜变位的储油量较高。六、问题（2）的模型与求解（一）模型建立计算实际储油罐变位后的罐容时可以将液体体积分为三个部分，即中间的圆柱和两端的球冠体，分别计算后加总。下面考虑的是油罐储油的液面高于罐体右侧最低端同时低于罐体左端最高点时的情况，罐内储油过少或过多时可类似计算，详见孙宏达（2001）。1、圆柱体的体积可以利用问题（1）的计算方法，其中截口面积为： （8）因为上式中含有反正弦函数，一般计算不方便。所以考虑用多项式近似上式即给出截面面积的近似值，即用多项式近似，根据李岳生（1978），可以利用代替，所以上式可以较好的近似为： （9）此时圆柱体体积按照下式计算： （10）其中：， 。2、求两端球冠体的体积。我们试图通过平行界面面积为已知的立体体积计算两端球冠体的体积，但是计算截口面积的积分限中包含截口位置变量液面高度变量，同时需要对截口面积沿罐壁方向积分，计算量庞大，且解析解很难求得。所以我们考虑利用梁浩、黄克勤文中所提到的方法进行计算。即利用半椭球体的体积对球冠体体积进行近似。具体地说，设封头长半轴为，短半轴为，建立如图4所示坐标系。图4：截半椭球体图中是半椭面积，其长半轴，短半轴是，故： （11）半椭球被距离A点H且平行于XOZ平面的截面所截得两部分，截面与A点间载体的体积为： （12）其中：。定义截半椭球体体积函数，则有： （13） 在上述问题中，截半椭球体积。求两端的球冠体的体积时，将其近似看成半椭球，由球冠体的形状，可得表达式中的 、。3、计算总体积。根据（10）、（12）及（13）式，可得总体积为：+ （14）（二）模型求解表达式中含有变位参数，所以记作。确定变位参数时，根据第二部分的问题分析以及我们的建模思想，首先对求导，可得=，即为油高变化比。整理上述函数关系可得：= （15）可由附表2中的实测数据求出，对油高变化比与油位高度进行回归分析，采用最小二乘法进行计算，可以拟合出。 图5 油位高度与油高变化比的拟合曲线表3：Model Summary and Parameter Estimates EquationModel SummaryParameter Estimates R SquareFdf1df2Sig.Constantb1b2b3Cubic0.9231984.2883495.0005.081.031-1.14E-0056.20E-010通过曲线拟合，相关输出结果见表3和图5。我们发现，拟合优度在三次曲线下达到了0.923，总体拟合效果是非常不错的。但是，由于=的方程非常繁琐，因而在反解参数时不是很理想。但是由于表达式过于复杂，在利用估计模型所得参数反解和时遇到困难，所以我们尝试了第二种办法，即在一定的区间内（事实上过大的和是不可能的，也不具有现实意义）对使得罐油体积增量和油高增量达到附表2所列数据的可能和进行搜索，选取步长为0.1度。我们通过用Matlab编写程序（见附录2）来分别计算出在不同和值的情况下的理论值，并从中选择使得多组数据误差较小的和作为实际储油罐发生纵向倾斜和横向偏转的角度，最终我们得到的和值分别为： 度，度 （16）在此基础上，利用Matlab7.0计算了油位高度每间隔10cm对应的罐容表标定值，相关数据见表4。在此基础上，我们也利用剩余数据对模型及参数、的取值进行了检验。表4：罐体变位后油位高度间隔10cm的罐容表标定值油位高度/cm储油量/L油位高度/cm储油量/L油位高度/cm储油量/L10.0478.24110.021521.51210.048012.3720.01692.34120.024241.63220.051303.9530.03158.23130.026812.57230.053591.2540.05088.69140.029247.21240.055687.2950.06954.54150.032193.24250.057357.7660.08871.23160.035342.32260.059481.8170.011769.59170.037847.26270.060048.6280.014018.58180.040947.25280.060146.2190.016985.69190.042925.87290.060351.32100.018264.47200.046854.96300.060395.15七、误差分析及模型改进（一）误差分析对于问题（1）的结果之所以会与附表1中所给的实验数据之间存在差距，是由于对所要积分的截面面积计算过程中，我们运用的积分所求面积与理论面积之间存在误差。同时，在倾斜的油罐中，油面未达到油标之前的那部分罐油（有的文献称为“底油”）体积也影响了计算精度。对于问题（2）中，在积分计算体积的过程中，我们运用最佳平方逼近多项式得出储油体积是近似值，在利用总体积对油高的一阶导数求解后，由于计算式子的复杂性，这会对后面求出的倾斜角与偏转角带来一定误差。（二）模型改进对于问题（1），我们可以通过积分把油面达到油标之前的油罐中油的体积的计算出来。同时，在对截面进行积分时可以采用更为精确的求解方法，如利用扇形面积减去三角形面积得出弓形面积然后再进行积分，结果会更加精确。对于问题（2），我们在求解体积时，寻求一个更为直接的体积微元，不用对其进行分割求解，对于倾斜角与偏转角的求解可以尝试取一些比较接近的差值进行求解，求出的角度再计算平均值，应该可以达到更加精确的效果。参考文献【1】 孙宏达，关进波，用逼近法计算横截面为椭圆形（圆形）储油罐的储油体积，管件与设备，第三期：29-31,2001。【2】 李岳生，高友谦，数值逼近，北京：人民教育出版社，1978。【3】 高等数学，同济大学数学系编（第六版），北京：高等教育出版社，2007。【4】 梁浩，黄克勤，液化石油气半挂式汽车罐车旋转管式液位计设计，pp:329-332。【5】 郑永彦，契比小夫最佳逼近定理的扩充，郧阳师范高等专科学校，22卷第03期，2002年。附1：问题（1）第2步的计算程序调用Matlab命令对函数