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随机变量及其分布 第三章 1 第一讲随机变量的概念 一 随机变量概念的产生 在实际问题中 随机试验的结果可以用数量来表示 由此就产生了随机变量的概念 2 1 有些试验结果本身与数值有关 本身就是一个数 例如 掷一颗骰子面上出现的点数 七月份哈尔滨的最高温度 每天从哈尔滨下火车的人数 昆虫的产卵数 3 2 在有些试验中 试验结果看来与数值无关 但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果 也就是说 把试验结果数值化 4 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数 e X e R 这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗 5 1 它随试验结果的不同而取不同的值 因而在试验之前只知道它可能取值的范围 而不能预先肯定它将取哪个值 2 由于试验结果的出现具有一定的概率 于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率 称这种定义在样本空间上的实值函数为 随 量 机 变 简记为r v 6 随机变量定义 设E是随机试验 它的样本空间是S 如果对S中的每个基本事件e 都有唯一的实数值X e 与之对应 则称X e 为随机变量 简记为X 特点 1 随机变量X是基本事件e的函数 其定义域为S 值域为某个实数集合 2 随机变量X取某个值或某些值表示事件 7 随机变量通常用大写字母X Y Z或希腊字母 等表示 8 有了随机变量 随机试验中的各种事件 就可以通过随机变量的关系式表达出来 二 引入随机变量的意义 如 单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示 它是一个随机变量 事件 收到不少于1次呼叫 X1 没有收到呼叫 X 0 9 可见 随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内 也可以说 随机事件是从静态的观点来研究随机现象 而随机变量则是一种动态的观点 就象数学分析中常量与变量的区别那样 10 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件 引入随机变量后 对随机现象统计规律的研究 就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究 事件及事件概率 随机变量及其取值规律 11 三 随机变量的分类 通常分为两类 如 取到次品的个数 收到的呼叫数 等 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 所有取值可以逐个一一列举 例如 电视机的寿命 实际中常遇到的 测量误差 等 全部可能取值不仅无穷多 而且还不能一一列举 而是充满一个区间 12 分析 例1一报童卖报 每份0 15元 其成本为0 10元 报馆每天给报童1000份报 并规定他不得把卖不出的报纸退回 设X为报童每天卖出的报纸份数 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示 当0 15X 1000 0 1时 报童赔钱 故 报童赔钱 X666 解 13 第二讲离散型随机变量 若随机变量X只能取有限个值或可列无穷多个值 则称X为离散型随机变量 设X的所有可能取值为 为了描述随机变量X 我们不仅需要知道随机变量X的取值 而且还应知道X取每个值的概率 14 一 离散型随机变量概率分布列的定义 一般地 我们给出如下定义 其中 k 1 2 满足 2 用这两条性质判断一个函数是否是分布列 15 分布列的表示方法 1 公式法 2 列表法 k 1 2 16 这样 我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律 从中任取3个球 取到的白球数X是一个随机变量 X可能取的值是0 1 2 取每个值的概率为 例1 且 17 依据概率分布列的性质 a 0 从中解得 欲使上述函数为分布列 应有 解 18 例3 一汽车沿一街道行驶 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立 且红绿两种信号灯显示的时间相等 以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数 求X的概率分布 依题意 X可取值0 1 2 3 P X 0 P A1 1 2 解 19 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数 20 即 不难看到 X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数 21 例4 某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务 每出租一辆汽车 可从出租公司得到3元 因代营业务 每天加油站要多付给职工服务费60元 设每天出租汽车数X是一个随机变量 它的概率分布如下 求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率 22 分析 加油站代营每出租一辆车 可得3元 每天出租汽车数为X 因代营业务得到的收入为3X元 每天加油站要多付给职工服务费60元 即当天的额外支出费用 因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为 P 3X 60 即P X 20 23 注意到 也就是说 加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0 6 P X 20 P X 30 P X 40 0 6 24 二 下面介绍几种常见的分布列 一 0 1分布 伯努利Bernoulli分布 两点分布 或 则称X服从0 1分布 或伯努利Bernoulli分布或两点分布 记为X B 1 p 25 解 26 二 二项分布 则称X服从参数为n p的二项分布 记为X B n p 27 在n重Bernoulli试验中 设成功发生的次数为X 则X B n p 性质 2 28 对于固定n及p 当k增加时 概率P X k 先是随之增加直至达到最大值 随后单调减少 当 n 1 p不为整数时 二项概率P X k 在k n 1 p 达到最大值 x 表示不超过x的最大整数 29 2020 3 20 30 对于固定n及p 当k增加时 概率P X k 先是随之增加直至达到最大值 随后单调减少 当 n 1 p为整数时 二项概率P X k 在k n 1 p和k n 1 p 1处达到最大值 课下请自行证明上述结论 31 例6 将一枚均匀骰子抛掷3次 令X表示3次中出现 4 点的次数 X的概率分布列是 不难求得 32 例7 已知100个产品中有5个次品 现从中有放回地取3次 每次任取1个 求在所取的3个中恰有2个次品的概率 因为这是有放回地取3次 因此这3次试验的条件完全相同且独立 它是贝努里试验 依题意 每次试验取到次品的概率为0 05 设X为所取的3个中的次品数 于是 所求概率为 解 33 注 若将本例中的 有放回 改为 无放回 那么各次试验条件就不同了 不是贝努里概型 此时 只能用古典概型求解 古典概型与贝努里概型不同 有何区别 请思考 34 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求 但有下述要求 1 每次试验条件相同 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 成功 次数X的概率分布 2 每次试验只考虑两个互逆结果A或 且P A p 3 各次试验相互独立 可以简单地说 35 例8 某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0 2 求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 X B 3 0 8 把观察一个灯泡的使用时数看作一次试验 使用到1000小时已坏 视为 成功 每次试验 成功 的概率为0 8 P X1 P X 0 P X 1 0 2 3 3 0 8 0 2 2 0 104 解 36 例9 为保证设备正常工作 需要配备适量的维修人员 设共有300台设备 每台的工作相互独立 发生故障的概率都是0 01 若在通常的情况下 一台设备的故障可由一人来处理 问至少应配备多少维修人员 才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0 01 我们先对题目进行分析 37 300台设备 独立工作 出故障概率都是0 01 一台设备故障一人来处理 问至少配备多少维修人员 才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0 01 设X为300台设备同时发生故障的台数 300台设备 独立工作 每台出故障概率p 0 01 可看作n 300的贝努里概型 X B n p n 300 p 0 01 可见 38 300台设备 独立工作 出故障概率都是0 01 一台设备故障一人来处理 问至少配备多少维修人员 才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0 01 39 设需配备N个维修人员 所求的是满足 P X N 0 01的最小的N P X N n大 p小 np 3 用 np 3的泊松近似 下面给出正式求解过程 解 40 即至少需配备8个维修人员 查书末的泊松分布表得 N 19 即N8 41 三 泊松分布 Possion分布 的定义及图形特点 则称X服从参数为 的泊松分布 记为X P 42 性质 1 P X k 0 k 0 1 2 2 43 44 历史上 泊松分布是作为二项分布的近似 于1837年由法国数学家泊松引入的 近数十年来 泊松分布日益显示其重要性 成为概率论中最重要的几个分布之一 在实际中 许多随机现象服从或近似服从泊松分布 二项分布与泊松分布 45 由泊松定理 n重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布 我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件 如地震 火山爆发 特大洪水 意外事故等等 46 在自然界和人们的现实生活中 经常要遇到在随机时刻出现的某种事件 我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列 叫做随机事件流 若事件流具有平稳性 无后效性 普通性 则称该事件流为泊松事件流 泊松流 泊松分布产生的一般条件 下面简要解释平稳性 无后效性 普通性 47 平稳性 在任意时间区间内 事件发生k次 k 0 的概率只依赖于区间长度而与区间端点无关 无后效性 普通性 在不相重叠的时间段内 事件的发生是相互独立的 如果时间区间充分小 事件出现两次或两次以上的概率可忽略不计 48 都可以看作泊松流 某电话交换台收到的电话呼叫数 到某机场降落的飞机数 一个售货员接待的顾客数 一台纺纱机的断头数 一放射性源放射出的粒子数 例如 49 对泊松流 在任意时间间隔 0 t 内 事件 如交通事故 出现的次数服从参数为t的泊松分布 称为泊松流的强度 50 例13 一家商店采用科学管理 由该商店过去的销售记录知道 某种商品每月的销售数可以用参数 5的泊松分布来描述 为了以95 以上的把握保证不脱销 问商店在月底至少应进某种商品多少件 解 设该商品每月的销售数为X 已知X服从参数 5的泊松分布 设商店在月底应进某种商品m件 进货数 销售数 51 查泊松分布表得 P X m 0 05 也即 于是得m 1 10 或 m 9件 52 四 超几何分布 二项分布用来描述有放回抽样 超几何分布用来描述不放回抽样 当总体N很大 抽样数n较小 可用二项分布来逼近超几何分布 53 在实际应用中 n 0 1N可用此近似公式 54 五 几何