公交车到站人数数学模型分析难点.docx

已知30分钟T内的上车人数N为40（长期统计得到的均值），那么每间隔x分钟(x30)的上车人数m是多少？解题思路：寻找上车人数和间隔时间的对应关系，直接寻找或者依据某种分布规律，确定大概率值发生时的到站人次数，求出m。最直接的规律？感觉上认为m=N*x/T。（定为m1，方便后续比较）此处不管概率分布函数，直接寻找上车人数和间隔时间的函数关系，已知了间隔时间为T时，上车人数为N，同时有间隔时间为0时，上车人数也为0，因此依据两点做线，直接认为函数关系为：m=kx (k= N/T)这种处理和概率论上的均匀分布无关。说为上车人数沿间隔时间均匀分布，更多侧重的是一种形象描述。解释：此规律假设了单次到站一定发生的最短时间间隔，而且认为更长间隔时间内发生到站事件次数为最短间隔时间的累加。也可理解为一次到站事件发生需要的时间为N/T，那么x时间内可以发生多少次事件肯定为N/T的x倍。还可以理解为每隔x分钟的到站人数是固定的，T/x个x分钟的到站人数为N，那么也可反求出m。单次到站服从二点分布？X01Pp1-p如果是否有人到站，和丢一次硬币一样，那么p0.5。解释：人到站和丢一次硬币一样，都要一定的耗时。忽略这个耗时，认为时刻点和次数有比较好的对应关系，事件发生一次刚好在某个时刻点。但时刻点无法用来计算，只能取时间段。定义最小时间间隔为单位时间，取为1秒。一次事件和一个单位时间对应。到站人数服从超几何分布？依据单次到站服从二点分布的模型，我们可以重新描述题目为：T*60次事件中，有N次事件成功了，那么随机抽取x*60次事件检查，发现其中有m次事件是成功的概率是多少？我们知道该概率服从超几何分布，公式为：（N=T*60,M=N,n=x*60）依据大概率值一般不小于0.8的参考，可以确定P=0.8时对应的m值即为所求（定为m2，方便后续比较）。解释：可能出现所有的P都小于0.8的情况，那么可以取最大的P值来处理。超几何分布的最大概率值在m=N*x/T时取得，该结果和直觉一致。数学上不难证明，N趋于无穷时，为二项分布，在实际应用时，只要N10n，可用二项分布近似描述。到站人数服从二项分布？依据单次到站服从二点分布，可以认为到站人数服从二项分布。那么x分钟可以变成x*60个单位时间，依据单位时间对应一次事件，x分钟变成x*60次事件，题目所求变为x*60次事件中到站事件发生m次的概率与m之间的关系。即符合二项分布：（k=m, n= x*60, p=0.5）依据大概率值一般不小于0.8的参考，可以确定P=0.8时对应的k值即为所求m值（定为m3，方便后续比较）。解释：我们没有用样本数据就求出了m值，总觉得有点过于理想化，相当于无论高低峰，无论冬夏，无论世界上哪个地区，隔一定的秒数，我们就一定可以推算出相同的到站人数。这和现实情况不一致。我们理想化的地方有三个：一次事件和一个单位时间的对应，单次到站事件发生概率取0.5，大概率值取为0.8。这三条都是无法被推导和证明的。但是单次到站事件发生的概率可以不取0.5，而取一种与间隔时间的函数关系【1】，当然简便的方式是取为样本均值N/(T*60)，依据概率论中的大数定律，该改变是适合的。大概率值取为0.8，不一定恰当，有可能最大概率值小于0.8，那么我们取最大概率值对应点的k值，而最大概率值发生在np点。即m= N*x/30，和直觉结果一致。暂且搁置最大概率值不论，此时n比较大，p比较小，用二项分布不便计算，可以用泊松分布近似。到站人数服从泊松分布？泊松分布为描述和分析小概率事件的发生规律，以时间段内的事件发生次数的大数据量统计样本来计算等长时间段内事件发生指定次数的概率（时间段也可以换成空间段，或者一次操作，或者其它指标）。时间段内的事件发生次数均值是泊松分布所依赖的唯一参数。所有概率值有泊松分布表可查。泊松分布公式：n比较大，p比较小的二项分布也可以用泊松分布近似，此时=n*p= (x*60) * (N/(T*60)= N*x/T依据大概率值一般不小于0.8的参考，可以确定P=0.8时对应的k值即为所求m值（定为m4，方便后续比较）。解释：此处n比较大，p比较小为模糊性语言，这影响二项分布近似为泊松分布的误差大小。同时，泊松分布对处于0.1到10之间的概率是比较常用的，其它情况下泊松分布的准确性难以保证。这使得我们用该公式，必须要求N,x满足一定的条件。还有，泊松分布是对小概率事件，由泊松分布表，我们可以看到所有概率值都是比较小的，要使得概率值比较大，要求0.6。我们此处取0.8可以说已经超出了该模型的适用范围。我们可以不取0.8的概率值，而取泊松分布中的最大概率值点对应的发生次数。我们关键是要找到发生概率和次数之间的关系，依据切比雪夫不等式，样本均值对应的概率最高，但也不一定为很高的值，反而很可能低于0.5，它的取值还和标准差相关，因此此处取最大概率值点也有一定的合理性。依据各种随机变量的分布模型，容易明白最大概率值点也就是均值点。也就是说取k时的概率最高，这就使得m= N*x/T，和直觉结果一致。到站人数服从几何分布？前面一直寻求从单次到站事件发生到多次到站事件发生之间的关联，我们也可以换一个角度，将发生k次到站事件当做一个事件。这样题目中的问题就变成要解决如下两个问题：已知单位时间段的到站人数均值，那么单位时间段内到站人数为k的概率p与k存在什么样的关系？在x个单位时间段内，上车人数为m的概率p与x和m存在什么关系？我们希望最多依赖得均值的样本，而不再有任何其它约束（比如必须为小概率事件，时间间隔最小值为1秒，单次事件必须服从两点分布或者均匀分布等等），因为任何约束都免不了增加假设，而这些假设都无法得到很好的符合事实的证明。最好是只依赖均值，其次依赖均值和标准差，再次用最少最简单的假设。第一个问题通常的做法是根据样本中各值出现的次数与样本总数的比值做为发生概率，据此拟合得到p与k的关系曲线。曲线拟合的方式则千差万别。第二个问题，一定要用到假设，就是要明确x个单位时间段和样本中单位时间段的关系。通常的做法是假设x个单位时间段中每个单位时间段内事件发生的环境完全一样，而且相互之间并无任何关联，样本中的单位时间段也要遵守此规则。这个假设的意义在于保证可以将事件发生k次做为一个事件Q。基于此，我们有两种模型来处理，一种是二项分布，一种是几何分布。二项分布：已知事件Q在单位事件段内发生概率为p，那么n个单位时间段内，Q发生k次的概率P服从二项分布，即为：此处，k2=m, n= T/x, p= x分钟内发生m次的概率,取为(N*x)/(T*m)。依据大概率值一般不小于0.8的参考，可以确定P=0.8时的m值为所求（定为m5，方便后续比较）。几何分布：已知事件Q在单位时间段内发生的概率为p，那么n个单位时间段内，Q第一次发生的概率P服从几何分布，即为：PX=x （1p）n-1 * p此处， n= T/x, p= x分钟内发生m次的概率,取为(N*x)/(T*m)。依据大概率值一般不小于0.8的参考，可以确定P=0.8时的m值为所求（定为m6，方便后续比较）。解释：我们利用概率分布公式来避免x个单位时间段内每个单位时间段中到站人数简单累加的处理方式。这个累加关系是否确立正是解题的难点所在，我们无法确定对或者错，我们也可以凭空想出一些其它的汇总方式【2】。我们也可以看出这两种处理方式有不当的地方，取x分钟内发生m次的概率为(N * x) / (T * m)和认为是累加关系一样的武断【3】。几种结果m值的比较所有的解题方案中，都是将单位时间分离看待的，就是将单位时间段当作一个很独立的量，互相之间不干扰，就像每个单位时间段都是从0开始，因此时间的跨单位累积效应体现不出来。由于累积效应不知道是按正比累积还是按指数累积，很难数字化处理。我们目前也未找到更好的方式。只能根据前面的分析，得到m值，在此基础上取平均，或者根据m值获取的曲线，拟合出一条新的曲线，由此得到m值。以x为横轴（最大值T），m为纵轴（最大值N），可以依据计算公式计算各个m值，我们也可以看到，各个计算公式中的概率都没有到0.8的，取最大概率值得到各个m的曲线如下：取均值的到的曲线如下：最终结论依据常理，间隔时间x越接近T，那么m应该越接近N。据此推断m6是不满足的；希望m随x变化，尽量连续，m5是不满足的；间隔时间x越接近T，那么m应该越接近m1，据此推断m2拟合情况不好。剩下m2，m3比较好，泊松分布比二项分布更容易计算，也就是可以说到站人数服从泊松分布。而以题目的求解来看，m1为最好的求法，计算简单，偏差也不大。补充说明【1】单次到站事件的发生概率与间隔时间的关系间隔时间为0，概率为0；间隔时间为，概率为1，满足此条件可以构造多种分布函数。在此分布函数的基础上，寻求多个间隔时间发生多次事件的概率，该方式将时间和事件发生分成两种维度。【2】多个间隔时间段的概率累加设单位时间内上车人数平均值为n，经过连续k个单位时间，每个新的单位时间依据某种概率分布关系得到大概率值对应的上车人数为ni，汇总的总上车人数N的部分可能取值有：N = i=1kniN = n15N = 15*n1N = 15*n15 Ni与n和i相关，N与ni和i相关。【3】设单位时间段为x分钟， x分钟内发生m次的概率设为p1； x分钟内发生N次的概率设为p2； x分钟内发生1