（精选）材料力学 第5章 扭转.ppt

1 第五章扭转 2 5 1扭转的概念及实例 扭转试验 3 5 1扭转的概念及实例 Me Me 荷载特征 一对转向相反 位于垂直杆轴线的两平面内 横截面 的力偶 变形特征 杆件的任意两个横截面将绕杆轴线发生相对转动 而杆的轴线仍保持直线 扭转角 剪切角 4 扭转的实例 汽车的转向操纵杆 传动轴钥匙拧毛巾等 轴 以扭转变形为主的杆件 5 5 2 1外力偶矩的计算 每秒输入功 每秒Me作功 注意单位 对传动轴等扭转构件 通常已知输入功率P kW 和转速n rpm 要求扭矩 先要求出外力偶矩Me 6 5 2 2扭矩和扭矩图 1 扭矩的概念 扭转变形的杆往往称之为扭转轴 扭转轴的内力称为扭矩 2 扭矩的计算 截面法 Me T Me Me T 扭矩 单位 N m 7 5 2 2扭矩和扭矩图 3 扭矩正负号的规定 确定扭矩方向的右手螺旋法则 大拇指指向截面的外法线方向 4个手指的指向为该截面上扭矩的正方向 外法线方向 T 0 外法线方向 T 0 8 5 2 2扭矩和扭矩图 4 扭矩图 扭转变形的内力图 扭矩图的作图步骤 扭矩图的注意事项 先画基线 横坐标x轴 基线 轴线 画纵坐标 正在上 负在下 标注正负号 值的大小及图形名称 多力偶作用时要分段求解 一律先假定为正方向 基线 轴线 正在上 负在下 比例一致 封闭图形 正负号标注在图形内 图形上下方相应的地方只标注轴力值的大小 不带正负号 阴影线一定垂直于基线 阴影线可画可不画 9 例题 477 5N m 955N m 解 先计算外力偶矩 用直接法作扭矩图 Tmax 955N m 637N m 例5 1 已知A轮输入功率为50kW B C D轮输出功率分别为15 15 20kW 轴的转速为300r min 画出该轴扭矩图 T图 10 一 薄壁圆管扭转时的应力 1 实验 将一薄壁圆管表面用纵向平行线和圆周线划分 两端施以大小相等方向相反一对力偶矩 观察到 圆周线大小形状不变 各圆周线间距离不变 纵向平行线都倾斜了一个角度 变成螺旋线 仍保持相互平行 Me 5 3纯剪切 11 5 3纯剪切 1 圆筒任意两横截面之间相对转动的角位移 称为扭转角 用 表示 2 纵线倾斜的角度 即圆筒表面上每个格子的直角的改变量 称为剪应变 用 表示 Me Me 12 5 3纯剪切 取其中任意一个格子ABCD作为研究对象 Me Me 变形后 ABCD由原来的矩形变成了平行四边形A B C D C D 所以 横截面上有剪应力的存在 而无正应力存在 13 5 3纯剪切 1 横截面之间相对转动了一个角度 横截面上只有剪应力 没有正应力 结论 2 剪应力的方向垂直于半径 14 5 3纯剪切 采用截面法将圆筒截开 横截面上有扭矩T 由于壁很薄 可以假设剪应力沿壁厚均匀分布 从中取出一块微面积dA Me T T dA 设壁厚为t 平均半径为R 则 则微面积dA上的合力为 t 壁厚 R 平均半径 2 薄壁圆筒横截面剪应力的计算 15 5 3纯剪切 t 壁厚 R 平均半径 注意 T 1 薄壁圆管扭转时横截面上只有剪应力 没有正应力 2 剪应力沿壁厚均匀分布 与半径垂直 指向与扭矩的转向一致 3 注意此公式的前提是薄壁圆管的扭转剪应力公式 16 在单元体左 右面 杆的横截面 上只有剪应力 如图建立坐标系 剪应力方向与y轴平行 可知 两侧面的内力元素 xdydz大小相等 方向相反 将组成一个力偶 其矩为 由平衡方程 二 剪应力互等定理 xdydz dx 5 3纯剪切 17 5 3纯剪切 要满足平衡方程 在单元体上下两个截面上必然也有力的存在 并且组成一个力偶 其矩为 ydxdz dy 由平衡条件 有 xdydz dx ydxdz dy 18 5 3纯剪切 剪应力互等定理 单元体两个相互垂直的平面上 垂至于两平面交线的剪应力总是同时存在 且大小相等 都指相 或都背离 两平面的交线 纯剪应力状态 单元体平面上只有剪应力而无正应力 则称该单元体为纯剪应力状态 19 5 3纯剪切 当剪应力不超过材料的剪切弹性极限时 剪应力与剪应变之间成正比关系 这个关系称为剪切胡克定律 G称为剪切弹性模量 单位GPa 三 剪切胡克定律 在剪应力的作用下 单元体的直角将发生微小的改变 这个改变量 称为剪应变 时 20 思考题 指出下面图形的剪应变 21 5 4圆轴扭转时的应力和变形 t 壁厚 R 平均半径 前面推导得到 薄壁圆筒横截面剪应力与扭矩之间的关系 T 剪应力沿壁厚均匀分布 22 5 4圆轴扭转时的应力和变形 1 整个横截面上只有剪应力 没有正应力 1 实验 平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍为平面 形状和大小都不改变 Me Me 一 圆截面杆受扭时横截面上的应力 结论 2 剪应力的方向垂直于半径 23 Me Me 5 4圆轴扭转时的应力和变形 dx 2 剪应力的公式推导 分别从几何 物理和静力平衡三方面推导 a a b 1 dx b 3 2 4 2 3 从受扭圆杆内任取长为dx的微段 a b两个横截面相对转动了角度 横截面圆周上任一点1处的剪应变是 a b a b 24 5 4圆轴扭转时的应力和变形 再从该微段中取出微元1234O1O2作为研究对象 1 3 2 4 2 3 R 在离轴线任意距离 处的剪应变为 则 m m dx 25 5 4圆轴扭转时的应力和变形 1 3 2 4 2 3 R 离轴线任意距离 处的剪应变为 则说明 同一半径 圆周上各点剪应变 均相同 且其值与 成正比 m m dx 称为单位长度上的扭转角 扭率 在同一横截面上为常数 26 5 4圆轴扭转时的应力和变形 由剪切胡克定律 同一圆周上各点剪应力 均相同 且其值与 成正比 垂直与半径 1 3 2 4 2 3 R m dx 27 5 4圆轴扭转时的应力和变形 整个横截面上的内力元素 的合力必等于零 并组成一个力偶 这就是横截面上的扭矩 极惯性矩 令 28 5 4圆轴扭转时的应力和变形 离轴线任意距离 处的剪应变为 极惯性矩 圆截面杆受扭时横截面上的剪应力 29 5 4圆轴扭转时的应力和变形 T为横截面上的扭矩 为求应力的点到圆心的距离 T T 剪应力垂直于半径 指向与T的转向一致 剪应力沿直径呈直线分布 横截面周边各点处剪应力达到最大值 圆心处剪应力为零 令 Wt 扭转截面系数 单位m3 注意 此公式及分布规律对于实心和空心圆截面杆均适用 30 5 4圆轴扭转时的应力和变形 2 当内径与外径之比d D 0 9时 空心圆截面杆的剪应力计算可采用薄壁圆管的应力公式 圆截面杆受扭时横截面上的应力 注意 1 扭转变形时横截面上只有剪应力 没有正应力 t 壁厚 R 平均半径 求应力点的半径 极惯性矩 31 5 4圆轴扭转时的应力和变形 抗扭刚度 扭率 扭率 单位长度上的扭转角 描述了扭转变形的程度 扭转角 单位 rad 二 扭转变形 当在杆两截面之间的扭矩T不变 且两截面间为等截面的 当在杆长L内扭率分段为常数时 用求和公式 32 5 4圆轴扭转时的应力和变形 例5 2传动轴AB传递的功率P 7 5kW 转速n 360rpm 轴的AC段为实心圆截面 CB段为空心圆截面 已知D 30mm d 20mm 计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面外边缘和内边缘处的剪应力 33 5 4圆轴扭转时的应力和变形 解 1 计算扭矩 2 计算极惯性矩 3 计算剪应力 计算扭矩先计算外力偶矩 34 5 4圆轴扭转时的应力和变形 例5 3传动轴如图 作用在轴上的外力偶矩m1 1000N m m2 700N m m3 300N m 轴的直径d 50mm l1 l2 1 5m 材料的剪切弹性模量G 80GPa 求截面B相对于截面A的扭转角 35 5 4圆轴扭转时的应力和变形 解 1 计算扭矩 2 计算相对扭转角 截面B相对于截面A的扭转角为 当扭矩不一样时 画出扭矩图 36 5 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 对于等截面杆 扭转轴内最大剪应力发生在扭矩最大的截面的圆周上 1 校核强度 2 设计截面 3 确定荷载 先求许用扭矩 再由扭矩和荷载之间的关系确定荷载 37 5 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 以度每米为单位时 以弧度每米为单位时 当在杆两截面之间的扭矩T不变 且两截面间为等截面的扭转角 38 5 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 刚度条件的应用 3 确定荷载 1 校核刚度 2 设计截面 39 5 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 例 内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴 受扭矩T 1kN m作用 计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力 解 40 5 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 例 某牌号汽车主传动轴 传递最大扭矩m 1 5kN m 传动轴用外径D 90mm 壁厚t 2 5mm 材料为45号钢 钢管做成 60MPa 试求 1 校核此轴的强度 2 若采用实心圆轴 并使其与钢管的强度相同 设计其直径 41 5 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 解 1 计算抗扭截面模量 2 强度校核 3 要使强度相同 即满足最大剪应力相同 若两轴长度相等 材料相同 则两轴的重量之比 42 5 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 例 已知A轮输入功率为48kW B C D轮输出功率分别为18 15 15kW 轴的转速为300r min G 80GPa 60MPa 0 85 度 m 试设计该轴直径 43 5 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 解 1 先计算外力偶矩 2 采用截面法作出扭矩图 由扭矩图可知 危险截面是AC段中的任意一个截面 44 5 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 3 设计轴的直径 由强度条件 由刚度条件 为了同时满足强度和刚度条件 选定 可见此传动轴的控制因素为刚度条件 45 5 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 例 实心圆轴受扭 若将轴的直径减小一半时 横截面的最大剪应力是原来的倍 圆轴的扭转角是原来的倍 8 16 46 5 5圆轴扭转时的强度和刚度计算 例 在强度相同的条件下 用d D 0 5的空心圆轴取代实心圆轴 可节省材料的百分比为多少 解 设实心轴的直径为d1 由 得 0 8 0 8 1 192 0 8 0 512 47 5 6扭转静不定问题 已知 AB阶梯轴两端固定 C处作用外力偶矩m AC抗扭刚度为G1Ip1 CB抗扭刚度为G2Ip2 求 轴的扭矩 解 1静力学关系 2变形几何关系 扭转静不定问题 48 5 6扭转静不定问题 3物理关系 解出 49 作业 本章习题 5 75 115 135 16 50 课堂练习 2 钢质实心轴和铝质空心轴 内外径比值 0 6 的长度及横截面面积相等 钢质实心