数学人教版九年级下册一图一课之反比例函数与一次函数的综合问题.docx

教学设计一图一课之反比例函数与一次函数的综合问题李玥（广东省珠海市第四中学）数学复习课是一种重要课型，它的有效性直接影响学生复习的效果，如何更好地践行课程标准的核心理念？如何在课堂上避免就题论题，避免“题海战术”的低效教学？张奠宙教授曾对复习课研究提出一些指导意见.笔者认为，复习课授课方式的选择，内容的精心设计，是关键的环节。从近两年一些期刊的刊载文章来看，展示出教师们对复习课型的最新思考和教学实践，笔者也收益其中.适逢国家“一师一优课，一课一名师”的活动，笔者也构思了一节“一图一课”，本文记录了该课的教学设计与教学反思，与更多的同行分享与研讨.一、教学内容分析1 内容分析反比例函数与一次函数是初中数学函数部分的核心知识，是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型，其中数形结合、变化与对应等重要思想有着重要的体现，也是学生今后进一步在高中学习函数和解析几何曲线方程的基础，近年来，将反比例函数、一次函数与几何图形结合来编制中考综合解答题一直是常见的题型，所以在复习课中安排反比例函数与一次函数的综合问题是十分必要的.2 学情分析从知识储备来看，学生在之前的学习中，已经系统学习了反比例函数与一次函数的解析式、图像与性质，并能运用函数知识来解决一些实际问题，但大多数学生对这些知识的认知还是零散的，机械的，没有形成完整的知识网络结构，更没有深刻理解其本质与关联.从学习过程来看，以上内容分散在不同的章节中，学生易割裂相关内容之间的联系，导致思维定式，问题解决方法单一.从思维水平来看，九年级学生已具备基本的分析问题、解决问题的能力，但综合问题的深刻性、抽象性对于大多数学生来说还有一定的难度，本班学生不太擅长表达，思维敏捷的同学不多.因此这就要求教师在做教学设计时必须立足于学生的现状，通过设计有效的课堂活动，让学生都能参与进来，在不断解决困惑的过程中获得成功的体验，提高学习的兴趣和自信心.3 教学目标知识与技能：通过一图一课，让学生进一步熟练掌握反比例函数与一次函数的核心知识，能够进一步理解代数与几何之间的关联和培养学生利用综合知识解决求线段长度、比例关系、三角形面积等问题的能力.过程与方法：培养学生的问题意识，从一个基本图形出发，通过“多维度递进式问题串”的设计，培养学生从多角度、多层面去提出问题、解决问题，体会转化、数形结合、函数方程的数学思想.情感、态度、价值观：通过问题的不断深入拓展，增强学生思维的深刻性与灵活性，培养学生的反思意识、自主归纳能力以及严谨细致的学习态度和勇于实践的科学精神.4 教学重点培养学生的问题意识和感受知识之间的关联，真正帮助学生提高运用转化、数形结合、函数与方程等思想方法解决问题的能力.5 教学难点如何在代数与几何的结合点上找到解题思路，如何运用数学思想解决抽象综合问题，提升思维的灵活性与深刻性.6 教学辅助 多媒体课件、微课、三角板等.二、教学设计（一）基本图形，简约自然呈现问题1：如图1，已知反比例函数y1 = kx（k0）与一次函数y2mx+n（m0)的图像交于点 A（1,4）,B（4,t）.观察此图像，你能提出哪些问题或者能得到什么结论？教学预设问题：（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；（2）求一次函数的解析式；（3）若y1y2，指出x的取值范围；（4）可求水平（铅垂）线段的长度，斜线段的长度.课堂生成及解读：学生在教师创设的轻松、和谐的氛围下，提出并解决了6个问题，覆盖了教师课前预设的所有问题，从课堂生成来看，学生能从不同角度、不同层面思考问题，不同层次的学生都参与到教学活动中来，教师结合学生所提出的问题，适时地提炼基本的数学思想方法,构建起数学基础知识，数学思想、数学方法的内在联系.图1设计意图：从一个基本图形出发，创设一个简单、开放的问题情景，从多角度、多层次思考问题，能满足不同层次学生的需要，从而激发学生进一步探究的兴趣，潜移默化中复习待定系数法求函数表达式；由函数值的大小，求自变量的取值范围；求点的坐标，斜线段的长度的方法，注重数形结合、转化的思想方法的渗透，让学生初步感受知识之间的关联与转化，初步体现思维的多样性、深刻性，为后面的探究奠定良好的基础.（二）问题拓展，促成动态生成问题2：如图2，连接OA、OB，观察此图像，则你又能提出哪些问题？与同伴交流并尝试解决.教学预设问题：（1）可求三角形的周长；（2）判断三角形的形状；（3）可求三角形的面积.图2追问：AOB的面积如何求？分小组讨论交流，并展示你的做法.课堂生成及解读：学生在自主思考、合作交流下，呈现了多种精彩的解法，其中一位学生在自己提出的解法（）中，指出利用SAOF=SBOE ，可以得到SAOB=S梯形AFEB，非常精彩，这样的自然生成无形中复习了“k”的几何意义.师生一起对多种解法进行比较、归纳，渗透了解决问题策略的优化思想.（）（）（）（）设计意图：通过添加条件，层层递进，引导学生可从几何问题研究的一般角度提出问题、解决问题，梳理研究问题的方法和思路：可以从三角形的形状、周长、面积等角度思考并提出问题，重点研究三角形面积求法，注重问题本质的揭示和方法的提炼（割补法的本质是将三角形面积转化为水平线（铅垂线）的长度），进一步培养学生思维的发散性、深刻性，为后续的深化探究做好思维铺垫与知识储备.（三）深化探究，提升思维能力问题3：如图3，双曲线y=kx（k0）经过RtODC斜边OD的中点A,与另一直角边交于点B,则你能提出哪些问题？先想一想，然后与同伴交流.教学预设问题：（1）求CBCD的值；图3（2）若SAOB=152，求k的值.课堂生成及解读：教师在教学设计中既要重视数学基础知识和基本技能的落实和运用，也要注重数学能力的提高，增强思维的深刻性.面对代数与几何的综合问题，大多数学生无法在结合点上找到解题思路，只有少数的学生能熟练运用函数与方程的数学思想解决问题，其中，发言的两名学生思路清晰、表达流畅，都能将条件与结论有效地联系，自如地运用数学思想方法解决这个问题，当学生和教师分析问题后，教师通过追问：“刚才做题时哪里觉得有困难？”，让学生在反思中“悟”出真知，体会数学思想方法在解决问题中的重要性，从而提升学生的思维能力.遗憾地是，由于时间的限制，未能提出用几何方法解决这个问题.设计意图：此题在原有的基础上增加了难度，从原来已知点的坐标的显性关系，到两个点的隐形关系，从原来已知k的值求三角形的面积，到已知三角形的面积，逆向思维求k的值，是一种思维不断提升的过程，具有一定的难度，教师预设两个问题，引导学生深入思考，培养学生运用函数与方程、数形结合的思想方法解决问题的能力，更进一步培养思维的深刻性，努力提升学生的思维品质.（四）课后延伸，优化认知结构（微课视频）问题4：如图4，双曲线y=kx（k0）经过RtODC斜边OD上的点A，与另一直角边交于点B,若OAOD=t,则：（1）求CBCD的值；图4（2）求SAOB的面积.拓展问题（微课）：类似地，若双曲线y=kx与矩形、等边三角形等几何图形的边相交时，你能发现图形中蕴含着双曲线的一些优美性质吗？设计意图：由特殊到一般、具体到抽象，自然、简约地引出新的课后思考问题，启发学生注重数学本质问题的研究，发现双曲线的若干优美性质，优化认知结构，掌握研究问题的一般方法，提升学生数学素养.（五）总结梳理，渗透思想方法问题5：通过本节课的学习，你有哪些收获与体会？（请用思维导图加以说明）设计意图：利用思维导图进行知识方法的梳理，能清晰再现本课的学习内容，帮助学生进一步理解所学知识，巩固方法，提升思维能力.三、教学设计说明本节复习课通过“一图一课”进行设计即从一个图形衍生出本节课的全部内容，形成了自然、简约、开放的张力，也充分体现了知识间的关联与思维的广度和深度.具体表现为从一个反比例函数与一次函数的图像出发，用5个衔接紧密的问题进行有效串联，由浅及深、层层递进，自然生成本课的全部内容，既符合学生的学习心理，也兼顾了不同层次学生的复习要求，体现了简约自然、开放的风格；同时感悟解决问题的思想方法，归纳共性，提炼本质.四、教学反思1.“一图一课”让复习环节、知识方法走向关联当前，不少复习课仍存在以大量习题训练代替复习课教学设计的现象，导致学生无法对知识方法形成有效的知识网络，更加无法达到融会贯通、举一反三的效果.而“一图一课”的教学方式可以让复习环节、知识方法走向关联，将不同的复习内容放置在一个大的情景问题的背景之下，使学生由一个问题、一个图形出发，以点带面，层层递进、由浅及深，使诸多内容获得一个主线，形成一个完整的体系.2.“一图一课”注重问题变式、关注学生的思维能力教师在教学设计上要注重问题变式设计，知识的迁移与拓展，培养学生从多角度、多层面去观察、分析、理解几何图形及其性质，对相关知识进行有效的拓展与迁移.本节课通过对题干的精心设计，引导学生自由提出问题并加以解决，增强了问题的开放性和探索性，兼顾了不同层次学生的学习需求，同时注重培养学生的思维深刻性，增强学生的创新意识.3.“一图一课”体现简约、自然、变化的数学之美在教学设计中，教师从一道题（课本、课本改编、中考典型题目等）、一个图形入手，开放性地设计问题，鼓励学生从多角度提出问题、解决问题，创设一个轻松、和谐的学习氛围，随着问题的层层深入，引领学生不断