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2 1行列式的定义 1 概念的引入 引例 用1 2 3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数 解 123 百位 3种放法 十位 1 3 1 个位 1 3 2种放法 1种放法 种放法 共有 1 3 2 一 排列及其逆序数 问题 个不同的元素的所有排列的种数 通常用表示 3 在一个排列中 若数则称这两个数组成一个逆序 例如排列32514中 定义 我们规定各元素之间有一个标准次序 n个不同的自然数 规定由小到大的排列为自然顺序 排列的逆序数 32514 4 定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数字个数之和 即算出排列中每个元素的逆序数 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数 方法 计算排列逆序数的方法 5 例1求排列32514的逆序数 2的前面比2大的数只有一个3 故逆序数为1 32514 5的前面没有比5大的数 其逆序数为0 1的前面比1大的数有3个 故逆序数为3 4的前面比4大的数有1个 故逆序数为1 6 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 排列的奇偶性 于是排列32514的逆序数为 例如排列32514就是个奇排列 7 例2计算下列排列的逆序数 并讨论它们的奇偶性 解 此排列为偶排列 8 解 当时为偶排列 当时为奇排列 9 二 n阶行列式的定义 定义 10 当为偶排列时 带有正号 当 为奇排列时 带有负号 11 12 说明 1 行列式是一种特定的算式 它是根据求解方程个数和未知量个数相等的一次方程组的需要而定义的 它是一个与方阵相关的数或表达式 2 阶行列式是项的代数和 3 阶行列式的每项都是位于不同行 不同列个元素的乘积 4 一阶行列式不要与绝对值记号相混淆 5 的符号为 13 例1计算对角行列式 分析 展开式中乘积项的一般形式是 从而这个项为零 所以只能等于 同理可得 解 14 即行列式中不为零的项为 例2计算上三角行列式 15 分析 展开式中乘积项的一般形式是 即不为零的项只有 解 16 例3 17 同理可得下三角行列式 18 例4证明对角行列式 19 证明 第一式是显然的 下面证第二式 若记 则依行列式定义 证毕 20 例5用行列式的定义计算 21 解 22 4 行列式是一个特定的算式 它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的 它是一个与方阵相关的数或表达式 5 阶行列式共有项 每项都是位于不同行 不同列的个元素的乘积 正负号由下标排列的逆序数决定 三 小结 2 排列具有奇偶性 3 掌握计算排列逆序数的常用方法 1 个不同的元素的所有排列种数为 23 思考题 2 已知 1 求排列16352487的逆序数 24 思考题解答 1
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