等比数列第二课时.doc

等比数列通项公式（二）【读一读学习要求，目标更明确】1灵活应用等比数列的定义及通项公式2熟悉等比数列的有关性质,能运用等比数列的通项公式和有关性质解决问题3系统了解判断是否成等比数列的方法【看一看学法指导，学习更灵活】1等差数列与等比数列联系十分紧密，既有诸多相似之处，又有不同的地方，充分准确地把握它们之间的联系，会为我们解题带来诸多便利2等比数列的通项公式是研究等比数列各种性质的关键所在【课前预习】1如果一个数列从 起，每一项与它前一项的 等于 ，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示。2如果三个数成等比数列，那么叫做 。根据定义得，只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们是 ，这一点与等差数列不同。3.等比数列的通项公式：4.思考课本至页第5，6，7，8，9，10题，并探究以下问题：【情境创设】我们知道在等差数列中,若有m+n=p+q ,则有.那么在等比数列中是否会有相类似的性质你能举例说明吗?你能证明它吗?【合作探究】探究点一 等比数列的性质【例1】在等比数列an中,已知a3=20, a6=160,求a9. 处理建议让学生应用等比数列通项公式进行计算,其中体现了方程的思想.规范板书解设等比数列an的公比为q,由题意得解得所以an=a1qn-1=52n-1,则a9=528=1280.题后反思 利用等比数列的首项和公比(一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等比数列的基本运算方式; 知道了等比数列的首项和公比可以求出数列的任意一项; 知道了等比数列的任意两项,可以确定该数列的任意一项; an=a1qn-1=52n-1是一个常数与指数式的乘积.从图象上看(如图1),表示这个数列的各点(n, an)均在函数y=52x-1的图象上.(图1)变式1从上面的求解过程可以看到:a3是a1的q2倍;a6是a1的q5倍,是a3的q3倍;a9是a1的q8倍,是a6的q3倍.能不能不需要求出a1,也能求出a9呢?处理建议引导学生从项与项的关系进行思考.规范板书解因为a3=20, a6=160,而a6=a3q3,所以q=2.所以a9=a3q6=1280(或a9=a6q3=1280).题后反思通过等比数列中任意两项的关系,可以获得更具一般性的等比数列的通项公式:若(m, nN*, mn),则=qn-m,所以an=amqn-m.变式2例1中的a3,a6,a9之间又是什么关系呢?你能用另外一种方法求a9吗?处理建议引导学生从等比数列的定义上进行思考.规范板书解显然有,即a3, a6, a9构成新的等比数列.因此, ,所以. 讨论 已知数列是无穷等比数列，公比为q在数列中，由项数相差为10的项按原来的顺序组成 一 个新的数列，则这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少 B ？探究 设新数列首项为 （m为常数mN*）由题意,新数列为， (nN*)因为数列是等比数列，所以=，=所以（常数）所以新数列是等比数列，公比为归纳小结在等比数列中，每隔k(kN*)项取出一项，按原来顺序排列，所得数列仍为等比数列且公比为类似有：.数列是公比为q的等比数列，则数列是公比为的等比数列数列是公比为的等比数列. 数列是公比为q的等比数列，数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列【例2】在243和3中间插入3个数,使这5个数成等比数列. 处理建议引导学生从等比数列的定义上进行思考.规范板书解设插入的3个数分别为a2, a3, a4,由题意得243, a2, a3, a4, 3成等比数列,设公比为q,则3=243q5-1,解得q=13.所以所求的3个数分别为81, 27, 9或-81, 27, -9.题后反思对于插入数字类型的题目,可以直接根据定义进行操作.【例3】在等比数列an中,若a1a9=64,a4=4,求a6, a5. 处理建议 先由学生讨论,利用基本量解方程组,进而进行求解,投影学生的处理过程,纠正可能出现的错误. 引导学生观察所给项的下标,通过它们与a1,q的关系,找出项的积之间的关系式.规范板书解因为a1a9=a12q8=64,所以a4a6=a12q8=64,所以a6=16.而a5=a1q4,所以a5=8.题后反思 在处理等比数列的计算时,有时候可以运用整体的思想来解题. 已知等比数列an中,首项为a1,公比为q.若m, n, s, t, pN*,且m+n=s+t=2p,则有aman=asat=.(证明:aman=(a1qm-1)(a1qn-1)= qm+n-2, asat=(a1qs-1)(a1qt-1)=qs+t-2, (ap)2=(a1qp-1)2=a12q2p-2,因为m+n=s+t=2p,所以aman=asat=)温馨提示在记忆和使用等比数列性质时，一定要类比等差数列的性质要搞明白性质的证明思路，以便记忆跟踪训练已知an为等比数列(1)若an0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5；(2)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值解(1)因为an是等比数列,所以a2a4+2a3a5+a4a6=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=25,又an0,所以a3+a5=5.(2) (2)根据等比数列的性质a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79.log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a9a10)log3955log3910.探究点二等比数列的单调性问题观察下面几个等比数列中项的变化趋势：1,2,4,8,16，1，9,3,1，1，2，4，8，16，1，通过上面的例子，可以得出下列结论：当q0时，等比数列既不是递增数列，也不是递减数列，而是 数列；当a10，q1时，等比数列是 数列；当a10,0q1时，等比数列是 数列；当a10，q1时，等比数列是 数列；当a10,0q1时，等比数列是 数列综上所述，等比数列单调递增 ；等比数列单调递减 .探究点三等比数列的判断方法问题1判断或证明一个数列是等比数列的常用方法有哪些？(1)定义法：q(常数)；(2)等比中项法：aanan2(an0，nN*)；(3)通项法：ana1qn-1(a1q0，nN*)例4已知数列an满足a11，an12an1，(1)求证：数列an1是等比数列；(2)求an的通项公式(1)证明an12an1，an112(an1)，2，且a112.an1是以2为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)知an1是等比数列公比为2，首项为2.an12n.an2n1.小结利用等比数列的定义q(q0)是判定一个数列是等比数列的基本方法要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如aa1a3.【随堂小练】1. 已知等比数列中,a2=18,a4=162,则首项a1= ,公比q= 提示a4a2=q2=9,解得q=3,所以a1=6. 2. 在等比数列an中,若a1=, an=, q=,则项数n=.提示由题意得13=9823n-1,解得n=4. 3. 在等比数列中,若a3=3,a9=75,则a10= 提示由题意得q6=25,解得q=35,所以a10=a9q=7535. 4. 在等比数列中,若a1, a10是方程3x2-2x-6=0的两个根,则a4a7=.提示a4a7=a1a10=-2.【小结与反思】 1. 等比数列的通项公式:an=a1qn-1,