最后冲刺-数列(教师).doc

最后冲刺数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。关数列的试题经常是综合题，浙江文科每年必考，而浙江理科数学来看，各种渠道的消息表明2011年的理科数学很有可能考数列大题。数列出来必要的公式之外，经常会把数列知识和二次函数、指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把求解类等差数列和类等比数列（注：可以转化成等比等差数列的数列）作为重点。在数列解答题中，还蕴含着丰富的数学思想，着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）类等比等差数列的求通项和求和。（3）一个数列中an与Sn之间的互化问题。一、知识整合1在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决类等比等差的有关问题；2在解决综合题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力3培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法二、方法技巧1判断和证明数列是等差（等比）数列常方法都用定义法，也可以用中项公式法：验证中项公式成立。2. 在等差数列中,有关的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当0,d0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当0时，满足的项数m使得取最小值。（注意m不一定一解）在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法：公式法、分组（拆项）求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。（注意各自对应不同的数列通项形式） 4注意与之间关系的转化。如：= ， n=1情况一定要注意。 三、例题解析一基本计算求和求通项，公式记准确，计算小心多检查，最后验证n1及2的情况例1在等差数列中，,.()求数列的通项；()令，证明：数列为等比数列；（）求数列的前项和.【解】()由，得方程组，解得 检验下()由()得，是首项是4，公比的等比数列。() 由 得： 相减可得：（在草稿上检验下n1.n2的情况是否正确，这个是必须的步骤）二数列的通项与前n项和之间的关系与应用例2已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=32当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2说明：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用三根据常见的几种不同的递推公式求数列的通项公式例3、(1)已知满足an满足an1=3nan，且a1=1，求an (2) 数列an中，a1=1，an+1=an+2n，求an(3) 数列an满足an1=2an3，a1=1,求an(4) 数列an满足an1=2an3n+1，a1=1,求an(5) 数列an满足a1=1,a2=, an+2=an+1an (n=1,2,-)，求an(6) 数列an满足a1=1, an=an1an an1 (n=2,3，-)，求an答：(1)迭乘法 (2)迭加法 (3)待定系数法 （4）同除指数 （5）待定系数法（5）同除乘积，倒数成等差四根据常见的几种不同的通项公式求数列前n项的和例4、数列中，且满足 求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意，为等差数列，设公差为，由题意得，.（2）若，时，故 （3）若对任意成立，即对任意成立，的最小值是，的最大整数值是7。即存在最大整数使对任意，均有五数列与其它知识点（如解析几何，不等式等）的综合试题例5在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列。求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式。解：（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：把代入上式，得，的方程为：。，=（3），T中最大数.设公差为，则，由此得说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差。四、强化训练1、已知等差数列的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，则a2= （B ）A 4 B 6 C 8 D 10 2、等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（C ） A 130 B 170 C 210 D 2603、设an是公比为q的等比数列， Sn是an的前n项和,若Sn是等差数列，则q=_1_4、设数列an的前项的和Sn= （对于所有n1），且a4=54,则a1=_2_5、已知等差数列an满足a1+a2+a3+a101=0,则有（C ） A a1+a1010 B a2+a1000,Sn是an的前n项和，Sn取得最大值，则n=_9_.9、已知数列an中an=2n-7,(nN+),+-+=_153_ 10、（设函数，数列满足，则数列的通项等于 11、已知数列an满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+-+(n-1)an-1 (n1),则an的通项an=_a1=1;an=n2 12、设是定义在上的单调可导函数.已知对于任意正数，都有，且.（）求，并求的值；（）令，证明数列是等差数列；（）设是曲线在点处的切线的斜率（），数列的前项和为，求证：.思路启迪：根据已知条件求出函数的关系式，求出的递推关系式然后可求解题中要求解答过程：（）取；再取，则，或1（舍去）.（）设，则，再令，即或，又，则，由，所以是等差数列. （3）由（2）得则所以；又当时，则，故. 13、已知数列求证：为等差数列；求的前n项和；若，求数列中的最大值.【解】为等差数列，首项为，公差d=1由得 Sn=121222323(n1)2n1n2n2Sn=122223323(n1)2nn2n+1两式相减得：Sn=2122232nn2n+1 =Sn=22n+1n2n+1=(n1)2n+12 又2(2n2n1)(2n2n)=2n2n2当n1时，2n2n20 2(2n2n1)2n2n0即bn1bn bn为递减数列 数列bn中的最大值为b1=0.514、在数列an中，已知a12，an1（）证明数列1为等比数列，并求数列an的通项公式；（）求证：ai(ai1)3）解：由a12，an1得，对nN*，an0从而由an1两边取倒数得，即1(1)，a12，1数列1是首项为，公比为的等比数列1 1an故数列an