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第二讲留数及留数的计算规则 1 留数的定义 2 留数的计算法则 3 留数定理 4 思考与练习 2020年3月20日3时7分 1 留数的定义 注 由连续变形原理 留数与C的选取无关 2020年3月20日3时7分 由洛朗展式定理 所以 从而 注 上式表明求一点处的留数只需将函数在该点去心邻域内展成洛朗级数 那么该级数负一次幂的系数即为函数在该点留数值 2020年3月20日3时7分 解 由洛朗展式 知 由洛朗展式 知 2020年3月20日3时7分 由洛朗展式 知 若我们能先知道奇点的类型 对求留数更为有利 2020年3月20日3时7分 2 留数的计算法则 那么由洛朗展式定理 2020年3月20日3时7分 由此我们得 特别时 2020年3月20日3时7分 那么在 因为 所以 根据规则II 2020年3月20日3时7分 由 得 从而有下述 2020年3月20日3时7分 解 为3级极点 所以 所以 1 2 2020年3月20日3时7分 解 从而原式 2020年3月20日3时7分 所以 后面将是一个复杂的求导求极限过程 对本题来说 这不是一种好方法 对照方法一 方法二简单的多 2020年3月20日3时7分 取m 6 则 总之 求函数一点的留数一定要根据实际情况选择适当方法灵活处理 2020年3月20日3时7分 3 留数定理 证明 2020年3月20日3时7分 即 2020年3月20日3时7分 注 我们也可以用规则III来求留数 这比用规则II要简单些 2020年3月20日3时7分 解 由规则III 故 2020年3月20日3时7分 2020年3月20日3时7分 解 为1级极点
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