2019届高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12.4离散型随机变量及其分布列课件理北师大版201805113105.ppt

12 4离散型随机变量及其分布列 第十二章概率 随机变量及其分布 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 离散型随机变量的分布列 1 将随机现象中试验 或观测 的每一个可能的结果都对应于一个数 这种对应称为一个随机变量 2 离散型随机变量 随机变量的取值能够 这样的随机变量称为离散型随机变量 3 设离散型随机变量X的取值为a1 a2 随机变量X取ai的概率为pi i 1 2 记作 P X ai pi i 1 2 知识梳理 一一列举出来 或把上式列表 称为离散型随机变量X的分布列 4 性质 pi0 i 1 2 p1 p2 1 2 超几何分布一般地 设有N件产品 其中有M M N 件次品 从中任取n n N 件产品 用X表示取出的n件产品中次品的件数 那么P X k 其中k为非负整数 如果一个随机变量的分布列由上式确定 则称X服从参数为N M n的超几何分布 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 抛掷均匀硬币一次 出现正面的次数是随机变量 2 离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象 3 从4名男演员和3名女演员中选出4名 其中女演员的人数X服从超几何分布 4 离散型随机变量的分布列中 随机变量取各个值的概率之和可以小于1 5 离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的 基础自测 1 2 3 4 5 6 7 题组二教材改编2 设随机变量X的分布列如下 答案 解析 则p为 1 2 3 4 5 6 7 3 有一批产品共12件 其中次品3件 每次从中任取一件 在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是 答案 解析 0 1 2 3 解析因为次品共有3件 所以在取到合格品之前取到次品数为0 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 P X 3 1 P X 2 P X 4 解析 答案 4 设随机变量X的分布列为 则P X 3 1 1 2 3 4 5 6 7 题组三易错自纠5 袋中有3个白球 5个黑球 从中任取2个 可以作为随机变量的是A 至少取到1个白球B 至多取到1个白球C 取到白球的个数D 取到的球的个数 解析 答案 解析选项A B表述的都是随机事件 选项D是确定的值2 并不随机 选项C是随机变量 可能取值为0 1 2 1 2 3 4 5 6 7 6 随机变量X等可能取值1 2 3 n 如果P X 4 0 3 则n 解析 答案 得n 10 10 1 2 3 4 5 6 7 7 一盒中有12个乒乓球 其中9个新的 3个旧的 从盒中任取3个球来用 用完后装回盒中 此时盒中旧球个数X是一个随机变量 则P X 4 的值为 解析由题意知取出的3个球必为2个旧球 1个新球 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 题型分类深度剖析 解析 答案 题型一离散型随机变量的分布列的性质 自主演练 解答 2 设离散型随机变量X的分布列为 求2X 1的分布列 解由分布列的性质知 0 2 0 1 0 1 0 3 m 1 得m 0 3 列表为 从而2X 1的分布列为 1 若题2中条件不变 求随机变量 X 1 的分布列 解由题2知m 0 3 列表为 P 1 P X 0 P X 2 0 2 0 1 0 3 P 0 P X 1 0 1 P 2 P X 3 0 3 P 3 P X 4 0 3 故 X 1 的分布列为 解答 2 若题2中条件不变 求随机变量 X2的分布列 解答 解依题意知 的值为0 1 4 9 16 列表为 从而 X2的分布列为 1 利用分布列中各概率之和为1可求参数的值 此时要注意检验 以保证每个概率值均为非负数 2 求随机变量在某个范围内的概率时 根据分布列 将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可 其依据是互斥事件的概率加法公式 命题点1与排列 组合有关的分布列的求法典例 2017 山东改编 在心理学研究中 常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响 具体方法如下 将参加试验的志愿者随机分成两组 一组接受甲种心理暗示 另一组接受乙种心理暗示 通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用 现有6名男志愿者A1 A2 A3 A4 A5 A6和4名女志愿者B1 B2 B3 B4 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示 另5人接受乙种心理暗示 1 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率 题型二离散型随机变量的分布列的求法 多维探究 解答 解记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M 2 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数 求X的分布列 解答 解由题意知 X可取的值为0 1 2 3 4 则 因此X的分布列为 命题点2与互斥事件有关的分布列的求法典例已知2件次品和3件正品混放在一起 现需要通过检测将其区分 每次随机检测一件产品 检测后不放回 直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束 1 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 解答 2 已知每检测一件产品需要费用100元 设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用 单位 元 求X的分布列 解答 解X的可能取值为200 300 400 故X的分布列为 命题点3与独立事件 或独立重复试验 有关的分布列的求法典例设某人有5发子弹 他向某一目标射击时 每发子弹命中目标的概率为 若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击 否则将子弹打完 1 求他前两发子弹只命中一发的概率 解答 方法一他前两发子弹只命中一发的概率为 2 求他所耗用的子弹数X的分布列 解答 解X的所有可能值为2 3 4 5 故X的分布列为 求离散型随机变量X的分布列的步骤 1 理解X的意义 写出X可能取的全部值 2 求X取每个值的概率 3 写出X的分布列 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率 在求解时 要注意应用计数原理 古典概型等知识 解设 连续抛掷3次骰子 和为6 为事件A 则它包含事件A1 A2 A3 其中A1 三次恰好均为2 A2 三次中恰好为1 2 3各一次 A3 三次中有两次均为1 一次为4 A1 A2 A3为互斥事件 则 跟踪训练 2017 湖北部分重点中学联考 连续抛掷同一颗均匀的骰子 令第i次得到的点数为ai 若存在正整数k 使a1 a2 ak 6 则称k为你的幸运数字 1 求你的幸运数字为3的概率 解答 解由已知得 的可能取值为6 4 2 0 2 若k 1 则你的得分为6分 若k 2 则你的得分为4分 若k 3 则你的得分为2分 若抛掷三次还没找到你的幸运数字 则记0分 求得分 的分布列 解答 故 的分布列为 题型三超几何分布 师生共研 典例 2018 济南模拟 某外语学校的一个社团中有7名同学 其中2人只会法语 2人只会英语 3人既会法语又会英语 现选派3人到法国的学校交流访问 求 1 在选派的3人中恰有2人会法语的概率 解设事件A 选派的3人中恰有2人会法语 解答 2 在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列 解依题意知 X服从超几何分布 X的可能取值为0 1 2 3 解答 X的分布列为 1 超几何分布的两个特点 超几何分布是不放回抽样问题 随机变量为抽到的某类个体的个数 2 超几何分布的应用条件 两类不同的物品 或人 事 已知各类对象的个数 从中抽取若干个个体 跟踪训练PM2 5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2 5微米的可入肺颗粒物 根据现行国家标准GB3095 2012 PM2 5日均值在35微克 立方米以下空气质量为一级 在35微克 立方米 75微克 立方米之间空气质量为二级 在75微克 立方米以上空气质量为超标 从某自然保护区2017年全年每天的PM2 5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本 监测值频数如下表所示 1 从这10天的PM2 5日均值监测数据中 随机抽出3天 求恰有一天空气质量达到一级的概率 解记 从10天的PM2 5日均值监测数据中 随机抽出3天 恰有一天空气质量达到一级 为事件A 解答 2 从这10天的数据中任取3天数据 记 表示抽到PM2 5监测数据超标的天数 求 的分布列 解答 解依据条件知 服从超几何分布 其中N 10 M 3 n 3 且随机变量 的可能取值为0 1 2 3 故 的分布列为 典例某射手有5发子弹 射击一次命中的概率为0 9 如果命中就停止射击 否则一直到子弹用尽 求耗用子弹数 的分布列 离散型随机变量的分布列 现场纠错 纠错心得 现场纠错 错解展示 错解展示 现场纠错解由题意知 的取值为1 2 3 4 5 P 1 0 9 P 2 0 1 0 9 0 09 P 3 0 1 0 1 0 9 0 009 P 4 0 13 0 9 0 0009 P 5 0 14 0 0001 的分布列为 纠错心得 1 随机变量的分布列 要弄清变量的取值 还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率 2 验证随机变量的概率和是否为1 课时作业 1 2017 武汉江夏区模拟 若随机变量 的分布列如下 基础保分练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则当P x 0 8时 实数x的取值范围是A x 2B 1 x 2C 1 x 2D 1 x 2 解析由离散型随机变量的分布列知P 1 0 1 P 0 0 3 P 1 0 5 P 2 0 8 则当P x 0 8时 实数x的取值范围是1 x 2 2 2017 邯郸模拟 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛 设随机变量 表示所选3人中女生的人数 则P 1 等于 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 设X是一个离散型随机变量 其分布列为 4 一只袋内装有m个白球 n m个黑球 连续不放回地从袋中取球 直到取出黑球为止 设此时取出了X个白球 下列概率等于的是A P X 3 B P X 2 C P X 3 D P X 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 从装有3个白球 4个红球的箱子中 随机取出了3个球 恰好是2个白球 1个红球的概率是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 某班级在2017年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目 共有6名选手依次演讲 则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为 解析 答案 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 口袋中有5只球 编号为1 2 3 4 5 从中任取3只球 以X表示取出的球的最大号码 则X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析X的取值为3 4 5 所以X的分布列为 8 袋中有4只红球 3只黑球 从袋中任取4只球 取到1只红球得1分 取到1只黑球得3分 设得分为随机变量 则P 6 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 随机变量X的分布列如下 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 其中a b c成等差数列 则P X 1 公差d的取值范围是 解析 a b c成等差数列 2b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 在一个口袋中装有黑 白两个球 从中随机取一球 记下它的颜色 然后放回 再取一球 又记下它的颜色 则这两次取出白球数 的分布列为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 的所有可能值为0 1 2 的分布列为 11 为推动乒乓球运动的发展 某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加 现有来自甲协会的运动员3名 其中种子选手2名 乙协会的运动员5名 其中种子选手3名 从这8名运动员中随机选择4人参加比赛 1 设A为事件 选出的4人中恰有2名种子选手 且这2名种子选手来自同一个协会 求事件A发生的概率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 2 设X为选出的4人中种子选手的人数 求随机变量X的分布列 解答 解随机变量X服从超几何分布 X的所有可能取值为1 2 3 4 所以 随机变量X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 2017 成都诊断 某高校一专业在一次自主招生中 对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试 结果如下表 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于部分数据丢失 只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人 抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 1 从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名 求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解用A表示 从这20名参加测试的学生中随机抽取一人 抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生 语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有 6 n 名 2 从参加测试的20名学生中任意抽取2名 设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X 求随机变量X的分布列 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解随机变量X服从超几何分布 X的可能取值为0 1 2 在20名学生中 语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有8名 X的分布列为 13 2017 石家庄调研 为检测某产品的质量 现抽取5件产品 测量产品中微量元素x y的含量 单位 毫克 测量数据如下 技能提升练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如果产品中的微量元素x y满足x 175且y 75时 该产品为优等品 现从上述5件产品中随机抽取2件 则抽取的2件产品中优等品数X的分布列为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析5件抽测品中有2件优等品 则X的可能取值为0 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 优等品数X的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 14 2017 长春模拟 某校校庆 各届校友纷至沓来 某班共来了n位校友 n 8 且n N 其中女校友6位 组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单 现随机从中选出2位校友代表 若选出的2位校友是一男一女 则称为 最佳组合 1 若随机选出的2位校友代表为 最佳组合 的概率不小于 求n