线性代数基和维数.ppt

4 5基和维数 将向量组的极大无关组和秩的概念放在的子空间H上来考察 的非零子空间包含无穷多个向量 在处理有关子空间的问题时 利用该子空间的生成集会更加方便 子空间的生成集不唯一 但不是所有的生成集都同样有效 例如 令和是的两个生成集 u对于张成是冗余的 事实上 注意到是线性相关的 例4 5 1设其中 事实上 若则 证 反之 中的任意向量 可以看出 线性相关的生成集包含了冗余信息 即如果是子空间H的线性相关生成集 则至少有一个向量可以写成其余p 1个向量的线性组合 从而可以从S中去除 得到一个较小的生成集 另一方面 如果是H的线性无关生成集 则B中任一向量都不能由其余r 1个向量线性表出 因此从B中去除一个向量后得到的B的子集一定不是H的生成集 去除的向量不能由剩余向量线性表出 在这个意义下 线性无关生成集是子空间的最小生成集 是描述子空间结构的更有效的方式 例4 5 2可逆n阶方阵的n个列向量构成的基 证明 设可逆方阵其列向量组线性无关 对中的任意向量 由性质4 2 5 线性相关 由例4 2 7知 可由线性表出 因此是的基 定义4 5 1的非零子空间H的线性无关生成集称为H的基 basis 特殊地 n阶单位阵的列向量组称为的标准基 证明 1 不妨设是的线性组合 H中的任意向量可以表为 2 如果则必有S的某个子集是H的基 定理4 5 1设 1 如果S中的某个向量是S中其余向量的线性组合 则从S中去掉后剩余向量构成的集合仍然是H的生成集 代入上式 容易验证是的线性组合 因此是H的生成集 2 如果初始集合S线性无关 则S是H的基 否则 S中某个向量可表成其余向量的线性组合 由 1 可以从S中删除该向量后得到H的更小的生成集 只要生成集包含至少两个向量 则这个过程可以持续到生成集线性无关为止 从而得到H的一组基 如果生成集最终只包含一个向量 则由可知该向量为非零向量 线性无关 因而是H的基 定理说明 基可以通过从生成集中去除冗余向量构造出来 且的非零子空间一定存在基 下面考虑A的零空间和列空间的基 一般解的参数向量形式为 例4 5 3求NulA的一组基 解 利用初等行变换可化A为行最简形 取为自由变量 则解为 以上例子说明将Ax 0的解写成参数形式的过程同时可以确定NulA的一组基 上式说明 同时 的构造方式保证其线性无关性 因此 是NulA的基 例4 5 4求行最简形矩阵的列空间的基 即是主元列的线性组合 任取ColB中向量 解 令有 是的线性组合 因此是ColB的生成集 同时 是4阶单位阵的不同列 线性无关 因此B的主元列构成B的列空间的一组基 对于矩阵A A的列之间的线性关系可以表成Ax 0 其中x为相应的组合系数构成的列向量 如果A的某列在某个关系式中不出现 则相应的系数为零 定理4 5 2矩阵的初等行变换不改变矩阵的列之间的线性关系 A经初等行变换化为B后 B的列一般与A的列完全不同 但Ax 0和Bx 0两个方程组同解 这意味着 A的列与B的相应列之间有完全相同的线性关系 因而有以下结果 例4 5 5 解 验证可知 对A进行初等行变换后得到的行最简形矩阵是上例中的B 因此A的主元列是由定理4 5 2和上例的结果 有 求ColA的基 类似于上例 可证是ColA的生成集 同时 由的线性无关性和定理4 5 2 知线性无关 因此是ColA的基 定理4 5 3A的主元列构成ColA的一组基 证明 证明方法类似于上例中的讨论 注意 是A自身的主元列 而不是行阶梯形矩阵B的主元列 构成了ColA的基 令B是A的行最简形矩阵 B的主元列线性无关 而A行等价于B 由定理4 5 2可知 A的主元列线性无关 这样 A的主元列构成了ColA的基 B的非主元列可表成B的主元列的线性组合 则A的非主元列也可表成A的主元列的线性组合 因而可以从ColA的生成集中删除 定理4 5 4令H是的子空间 是H的生成集 若m p 则H中任意m个向量必线性相关 子空间的基是不唯一的 下面 我们讨论基中所含向量的个数 定理4 5 5若子空间H有一组基包含p个向量 则H的任一组基都恰含有p个向量 S是H的生成集 由定理4 5 5 H中任意多于r个向量必线性相关 而B是H的线性无关子集 所以 同理因此有 证明 令是H的包含p个向量的一组基 是H的任一组基 定理4 5 5说明子空间H的每一组基含有相同个数的向量 因此有以下定义 空间的维数是n 定义4 5 2的非零子空间H的维数dimH定义为H的任一组基中所含向量的个数 零空间 0 的维数规定为0 注意 向量空间的维数与向量的维数的区别 例4 5 6的子空间可以按照维数进行分类 0维子空间 1维子空间 由一个非零向量生成 几何上是过原点的直线 2维子空间 由两个线性无关向量生成 几何上是过原点的平面 3维子空间 例4 5 7NulA的维数是方程组Ax 0中自由变量的个数 ColA的维数是A的主元列的数目 定理4 5 6若H是的子空间 则 1 H中任意p个线性无关的向量构成H的一组基 2 如果H中p个向量构成H的生成集 则这p个向量也构成H的一组基 子空间H的基相对于生成集的另一个优点是 H中的每个向量仅能用一种方式写成基向量的线性组合 即表出是唯一的 证明 因为是H的生成集 H中任一向量必可表为的线性组合 定理4 5 8若是子空间H的基 则H中的任一向量能且仅能用一种方式表为的线性组合 如果能用两种方式表成的线性组合 即 两式相减 有 由的线性无关性 所以的两种表出方式一致 即表出方式唯一 定义4 5 3设是子空间H的基 H中的向量x若可表成称系数为x相对于基B的坐标 记为 基向量组可以建立一个H中的坐标系统 例4 5 8 是的一组基 的坐标为 则 例4 5 10 在中 求向量在基 下的坐标 解 设在基下的坐标为 则 或 对增广矩阵作初等行变换 其解为 所求坐标为 子空间的基不唯一 且同一向量在不同基下的坐标是不同的 下面研究随着基的改变 向量坐标的变化规律 或 则称是由基到基的过渡矩阵 其中A的第列是在基 I 下的坐标 定理4 5 9 设 I 与 II 是n维向量空间的两组基 且 若在基 I 和基 II 下的坐标分别为X Y 则 1 过渡矩阵是可逆矩阵 且 证 基 I 可由基 II 线性表出 设为 由条件 有 由坐标的唯一性 故AB E 于是A可逆 且 而 例4 5 11考虑