第六节振型叠加法.doc

第六节 模态分析法（振型叠加法）一、 模态分析法（振型叠加法）原理对于n个自由度系统，其在广义坐标系下的运动微分方程为 （6-61）设在t=0时，有初始条件： 和 通过求解特征值问题，可得系统的固有频率和振型向量和正则振型向量 以正则振型矩阵作为变换矩阵，令 （a）代入方程（6-61），并前乘以正则振型矩阵的转置，得 （b） 令 - 是正则坐标系下的激励。则方程（b）为 （c）展开后，得 （6-67）式中 ，为对应第i个正则坐标的激励。对于方程（6-67）是一组n个独立的方程，每个方程和单自由度系统的强迫振动相同，因此可按单自由度系统中的方法独立地求解每个方程。则由杜哈美积分得方程（6-67）的通解式中和 是第i个正则坐标的初始位移和初始速度。 （d）和 （e）用 前乘以式（d）两端，得 同理，有 写成分量形式最后，由方程（a），将正则坐标的解变换到原广义坐标，就得到方程（6-61）的解。注：（1）对于方程（6-61）的求解方法: 采用直接积分求其分析解或数值解的方法-直接积分法； 模态分析法（振型叠加法）。（2）在许多工程问题中系统的自由度很多，要想求出系统的所有固有频率和振型向量，计算成本很大，有时甚至是不可能的。由于激励的高频成分很微弱，或者由于系统的高频振动没有激发出来，总之系统的响应中只有较低的几阶振型分量。因此，使用振型叠加法可以使计算大大地简化。例如，若系统为n自由度，且只需考虑前p（pn）阶固有特性，即只需计算出系统前p阶固有频率和振型向量：则振型矩阵 是一个np的矩阵。作如下的线性变换代入方程（6-61），并前乘以正则振型矩阵的转置，得 （b） 展开后，得 则原广义坐标下的响应为这种处理方法称为振型截断法。二、振型叠加法计算步骤1. 建立广义坐标系下的运动微分方程 给出广义坐标系下初始条件：和 2. 计算固有频率和振型向量 计算主质量： 得正则振型向量： 3. 初始条件变换4. 激励变换5. 计算正则坐标系下的响应正则坐标系下运动微分方程利用杜哈美积分写出正则坐标系下的响应6. 写出原广义坐标系下的响应例题1：图示系统，已知：，。在质量作用一阶跃载荷 。试用振型叠加法计算系统的响应。解：（1）系统的振动微分方程为（2）计算系统的固有频率和振型向量由 ，可解得系统的三个固有频率振型向量为计算主质量同理则正则振型向量为（4）载荷变换正则坐标系下的激励为（5）正则坐标系下的响应系统在正则坐标系下的运动方程为由杜哈美积分得 （5）原广义坐标系下的响应例题2：图示系统，已知：，。在质量作用一阶跃载荷。试用振型叠加法计算系统的响应。设时，有。解：（1）系统的振动微分方程为（2）计算系统的固有频率和振型向量由 ，得特征方程解得系统的三个固有频率伴随矩阵的第一列为分别把、和代入，得振型向量将振型向量正则化，主质量则正则振型向量为（3）初始条件的变换 原广义坐标系下的初始位移 正则坐标系下的初始位移 正则坐标系下的初始速度为（4）载荷变换正则坐标系下的激励为（5）正则坐标系下的响应系统在正则坐标系下的运动方程为 （1） （2） （3）由系统在正则坐标系下的运动方程可见，三个方程有三种不同的形式，因此具有不同的解。方程（1）是刚体运动方程；方程（2）表示的是自由振动；方程（3）的是强迫振动。方程（3）的解由杜哈美积分确定，即根据杜哈美积分，则方程（2）的解为因为，所以不能用杜哈美积分解方程（