第八章变换及分析PPT课件.ppt

第八章Z变换和离散系统的Z域分析 信号与系统 本章内容 z变换的基本概念和基本性质z变换与拉氏变换 傅氏变换的关系利用z变换解差分方程离散系统的系统函数离散系统的频响特性系统函数零极点分布与系统时域 频域特性及稳定性的关系 z变换与拉氏变换相对应 z变换的基本思想 许多性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处 当然 z变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异 8 1引言 一 定义 由拉氏变换引出Z变换 有抽样信号 单边拉氏变换 8 2Z变换的定义 典型序列的Z变换 8 3Z变换的收敛域 单边Z变换 则有 广义上 T 1 实质是复变量z 1的幂级数 系数就是序列值 从S平面到Z平面的映射 二 Z变换的收敛域 ROC Z变换存在着收敛的问题 1 并非任何信号的Z变换都存在 2 并非Z平面上的任何复数都能使收敛 Z平面上那些能使收敛的点的集合 就构成了的ROC 级数收敛 3 Z变换的ROC 一般是Z平面上以原点为中心的环形区域 级数收敛的判定 1 比值判别法 2 根值判别法 例 求的z变换的收敛域 解 三 典型序列的Z变换 1 单位样值序列 2 单位阶跃序列 3 斜变序列 3 指数序列 4 余弦序列 5 正弦序列 说明 四几类序列的收敛域 收敛域为除了0和的整个平面 1 有限长序列 在有限区间内 有非零的有限值的序列 另 思考 2 右边序列 只在区间内 有非零的有限值的序列 收敛半径 圆外为收敛域 3 左边序列 只在区间内 有非零的有限值的序列 收敛半径 圆内为收敛域 若则不包括z 0点 4 双边序列 在区间内 有非零的有限值的序列 圆内收敛 圆外收敛 时 没有收敛域 时 有环状收敛域 例 右边序列 例 左边序列 圆内为收敛域 若则不包括z 0点 包括在内 例 有限长序列 收敛域为 即除了0的整个平面 例 双边序列 小结 1 Z变换存在着收敛的问题 不是任何信号都存在Z变换 也不是任何复数Z都能使收敛 2 仅仅由的表达式不能唯一地确定一个信号 只有连同相应的ROC一道 才能与信号建立一一对应的关系 3 Z变换的ROC 一般是Z平面上以原点为中心的环形区域 4 如果 则其ROC是各个的ROC的公共区域 若没有公共区域则表明的Z变换不存在 5 当是有理函数时 其ROC的边界总是由的极点所在的圆周界定的 8 4逆Z变换 1 留数法 2 幂级数展开法 3 部分分式法 一 留数法 z平面上假设有一固定的围线C 它包围原点 上式两边乘以 然后沿着围线逆时针转一圈积分 得到 复变函数中的柯西积分公式 得逆变换 围线积分定理 留数定理 令 得 一阶极点 k阶极点 试用留数法进行反Z变换 这里的x n 为因果序列 解 先求被积函数X z zn 1的极点 例 设有Z变换式 其极点在z 1和z 0 5 例 解 是因果序列 二 幂级数展开法 长除法 由的定义 将其展开为幂级数 有 展开式中项的系数即为 当是有理函数时 可以通过长除法将其展开为幂级数 由于右边序列 因果 的展开式中应包含无数多个z的负幂项 所以要按降幂长除 由于左边序列 非因果 的展开式中应包含无数多个z的正幂项 所以要按升幂长除 双边序列要先将其分成分别对应信号的右边和左边的两部分 再分别按上述原则长除 例 求收敛域分别为 z 1和 z 1两种情况下的逆变换x n 解对收敛域 z 1 序列x n 是因果序列 这时X z 写成 进行长除 展开成级数 得到 对收敛域 z 1 与X z 相应的序列x n 是非因果序列 这时X z 写成进行长除 展开成级数 例 幂级数展开法的缺点是当较复杂 含多个极点时 难以得出的闭式 所以前式按降幂长除 后式按升幂长除 幂级数展开法适用于来求解非有理函数形式的逆变换 三 部分分式法 只有一阶极点 例 简单的可用公式或查下册第375页的附录五 右边序列 左边序列 双边序列 高阶极点 8 5Z变换的基本性质 自学61 73页 线性和位移特性序列线性加权 Z域微分 序列指数加权 Z域尺度变换 初值定理和终值定理时域卷积和Z域卷积定理帕斯瓦尔定理 参见下册的P 73表8 5 一 从S平面到Z平面的映射 8 6Z变换与拉氏变换的关系 多圈 二 拉氏变换与z变换的关系 信号x n 的Z变换是对该信号包络所构成的连续时间信号的理想抽样函数的拉氏变换 将变量s代换为的结果 连续信号的拉氏变换与Z变换的关系 若只含一阶极点 则 已知 为经均匀抽样构成的序列 作业1 8 1 选做4题 8 28 48 5 2 8 128 13 选做1题 8 17 选做1题 8 7用单边Z变换解差分方程 解差分方程的方法 1 时域经典法 2 Z变换解法 一 复习Z变换的位移性质 位移性质表示序列位移后的Z变换与原序列Z变换的关系 位移有左移和右移之分 变换有双边和单边之分 1 双边序列的双边Z变换 若 则 2 双边序列左移的单边Z变换 若 则 3 双边序列右移的单边Z变换 若 则 4 对于因果序列x n 二 用单边Z变换解差分方程的步骤和思路 x n r y n k 均为右移序列 两边取单边Z变换得 初始状态 若因果信号则此项为零 求得 从而得方程的解 例 已知 完全解 解 8 8离散系统的系统函数 1系统零状态响应的Z变换与激励的Z变换之比 一 定义 若x n 是因果序列 且系统在零状态下 请注意与解差分方程有何不同 因果 零状态 系统函数 2H z 是系统单位样值响应h n 的Z变换 因为系统零状态响应是激励与单位样值响应的卷积 即 由卷积定理得 设 1由极点分布决定系统单位样值响应h n 因果 一般为复数它在平面的分布位置决定系统特性 二 H z 的零 极点分布对系统特性的影响 极点分布对h n 的影响 Z平面上极点位置与时间序列的关系示意图 LTI系统的稳定性和因果性可以由描述 因而也可以由连同ROC来表征 2由极点分布决定系统稳定性和因果性 因果性 如果LTI系统是因果的 则时 利用系统函数判断系统因果性 给定 若其ROC是的所有极点中以最外面极点到原点距离所画圆为界的外部 并且包括 则是因果系统 Z域 利用系统函数H z 判断系统的稳定性 稳定系统H z 的收敛域应包含单位圆 时域 若LTI系统是稳定的 则 稳定性 1 因果系统 若系统H z 的收敛域包含单位圆 则所有极点都在单位圆内 即 因果系统H z 全部极点位于单位圆内 系统稳定 2 非因果系统 收敛域包括单位圆 系统稳定 非因果系统也可以稳定 为双边序列 若收敛域包括单位圆 则极点分成两个部分 即 因果系统有极点在单位圆外不稳定 例 已知系统函数如下 试说明分别在下面两种情况下系统的稳定性 1 2 解 1 因果系统 发散 收敛域 2 非因果系统 该非因果系统是稳定的 收敛域 临界稳定 例 已知因果系统的系统函数如下 试说明该系统是否稳定 解 8 9离散时间傅立叶变换 DTFT 序列的傅立叶变换 一 定义 二 连续信号和离散序列的傅立叶变换的比较 连续 离散 一 常用信号的离散时间傅立叶变换 1 通常是复函数 用它的模和相位表示 离散时间傅立叶变换 DTFT 补充内容 2 3 矩形脉冲 与对应的连续时间信号比较 如图所示 如图所示 4 二周期信号的DTFT 结论 可以见得与连续时间傅立叶变换中相应的形式是完全一致的 离散时间傅立叶变换 DTFT 补充结束 三离散时间傅立叶变换的性质 主要 1周期性 比较 这是与连续时间傅立叶变换不同的 2卷积特性 说明 该特性提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础 可以见得 信号在时域的特性和在频域的特性之间存在以下对应关系 1 系统频率响应 系统单位样值响应的傅立叶变换 8 10离散时间系统的频率响应特性 一 频率响应的定义 当h n 已知时 下列表达式表示系统频率响应函数 物理意义 表示以h n 为加权系数 对各次谐波进行加权或改变 系统的激励是 因为它的频谱覆盖了频率的范围 且幅值为常数 于是系统的单位样值响应可以看成是对各次谐波滤波的效果 反映了系统对信号在整个频带的滤波作用 2 系统频率响应 正弦序列作用下系统的稳态响应的傅立叶变换与正弦序列的傅立叶变换之比 因为是周期的 所以也是周期的 其周期为重复频率 物理意义 把系统看成滤波器 则滤波器的频率响应特性为 其中幅频特性是 且对信号有相移作用 离散系统的各种频率响应特性 理想 二 系统的频率响应的几何确定 系统的频率响应的几何确定法 1 z 0处的零极点对幅频特性没有影响 只对相位有影响 2 当旋转到某个极点附近时 例如在同一半径上时 较短 则在该点应当出现一个峰值 越短 附近越尖锐 3 若落在单位圆上 则 则处的峰值趋于无穷大 零点的作用与极点的作用正好相反 由几何法可以看出 低通 高通 带通 带阻 全通 靠近单位圆周的极点附近有尖峰 例 解 1 讨论了对离散时间信号和LTI系统进行Z变换分析的方法 小结