第5章 特征值与特征向量.ppt

第5章特征值与特征向量 5 1矩阵特征值与特征向量 5 2相似矩阵 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 考研园地 下页 5 1矩阵特征值与特征向量 1 矩阵的特征值与特征向量的定义 2 矩阵的特征值与特征向量的性质 本章 上页 下页 5 1矩阵特征值与特征向量 1 矩阵的特征值与特征向量的定义 定义1 设A为n阶方阵 是一个数 若存在非零列向量x 使得 则称 是A的一个特征值 非零列向量x称为A的对应于特征值 的特征向量 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 它有非零解的充分必要条件是系数行列式 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 是一个关于 的n次多项式 记作f 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 定义2 是一个未知量 则矩阵 E A称为A的 特征矩阵 其行列式 称为A的特征多项式 称为的特征方程 其根即为A的特征值 又称为特征根 设n阶矩阵A特征方程 的n个特征根为 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 定义3 是阶方阵 则 A的迹 记作tr A 为方阵的一个特征值 则由方程 可求得非零解 特征向量 上页 下页 本节 例1 求矩阵 解 5 1矩阵特征值与特征向量 的特征值与特征向量 对应的全部特征向量为 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 对应的全部特征向量为 上页 下页 本节 例2 求矩阵 解 5 1矩阵特征值与特征向量 的特征值与特征向量 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 对应的全部特征向量为 对应的全部特征向量为 上页 下页 本节 例3 求矩阵 解 5 1矩阵特征值与特征向量 的特征值与特征向量 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 对应的全部特征向量为 对应的全部特征向量为 上页 下页 本节 例4 求n阶数量矩阵 解 5 1矩阵特征值与特征向量 的特征值与特征向量 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 因此任意个线性无关的向量都是它的基础解系 取单位坐标向量 作为基础解系 则矩阵A的全部特征向量为 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 2 矩阵的特征值与特征向量的性质 性质1 设A是n阶方阵 则A与A 有相同的特征值 证 A与A 有相同的特征多项式 因而有相同的特征值 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 性质2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是的任意一个特征值 证 若A可逆 则 若A的任意一个特征值都不等于零 即 都不等于零 设n阶方阵A的n个特征根为 从而A可逆 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 性质3 设A是n阶可逆阵 是A的特征值 则 证 A可逆 是方阵A的特征值 存在非零向量x 使 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 性质4 设A是n阶可逆阵 是A的特征值 则 证 是方阵A的特征值 存在非零向量x 使 其中k是一个非负整数 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 性质5 设 证 是阶矩阵 若 有一个成立 则矩阵的所有特征值 的模小于1 即 设 为A的任意一个特征值 其对应的特征向量为x 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 对矩阵A 的所有特征值 定理成立 A与A 有相同的特征值 对A的所有特征值 定理成立 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 性质6 设 证 是方阵A的s个互不相同的特征值 依次是与之对应的特征向量 则 线性无关 用数学归纳法证明 特征向量不为零 因此定理成立 设s 1时 定理成立 即方阵A的s 1个不相同的特征值 对应的特征向量 线性无关 下面证对于A的s个不相同的特征值 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 对应的特征向量 线性无关 1 2 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 线性无关 线性无关 上页 下页 本节 5 1矩阵特征值与特征向量 性质7 设 是方阵A的s个互不相同的特征值 A的对应于 i的线性无关的特征向量为 则向量组 线性无关 上页 下页 本节 例5 设 1和 2是矩阵A的两个不同的特征值 对应的特征向 解 5 1矩阵特征值与特征向量 量依次为 证明 不是A的特征向量 反证法 是A的特征向量 则应存在数 使 矛盾 上页 下页 本节 5 2相似矩阵 定义1 设A B为n阶矩阵 若存在n阶可逆矩阵P 使得 则称矩阵A与B相似 记作 相似变换矩阵 本章 上页 下页 例1 设 5 2相似矩阵 则P可逆 且有 本章 上页 下页 5 2相似矩阵 相似具有以下性质 1 反身性 设A是n阶方阵 则 证 2 对称性 3 传递性 本章 上页 下页 5 2相似矩阵 定理1 设为n阶矩阵A与B相似 则 1 A与B有相同的特征多项式 从而有相同的特征值 2 A与B有相同的迹 3 A与B有相同的行列式 4 A与B的秩相等 本章 上页 下页 5 2相似矩阵 1 存在n阶可逆矩阵P 使得 证 故A与B有相同的特征多项式 从而有相同的特征值 A与B有相同的特征值 2 一个方阵的迹等于它的所有特征值的和 A与B有相同的迹 3 取行列式 本章 上页 下页 例如 5 2相似矩阵 本章 上页 下页 5 2相似矩阵 定理2 设为n阶矩阵A与B相似 则 1 A与B有相同的可逆性 2 若A与B可逆 则 3 若m为正整数 则 本章 上页 下页 5 2相似矩阵 1 证 同时为零或不为零 2 即A与B或都可逆 或都不可逆 且都可逆 则存在可逆矩阵P 使得 定理1 本章 上页 下页 例2 设 5 2相似矩阵 则P Q都可逆 且 本章 上页 下页 5 2相似矩阵 本章 上页 下页 5 2相似矩阵 定理3 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 相似的充分必要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量 必要性 证 若n阶矩阵A与阶对角矩阵 相似 则存在可逆矩阵P使 本章 上页 下页 5 2相似矩阵 是P的列向量组 则 都是非零向量 都是A的特征向量 且这n个特征向量线性无关 本章 上页 下页 5 2相似矩阵 充分性 是A的n个线性无关的特征向量 它们所对应 的特征值依次为 线性无关 可逆 且 本章 上页 下页 5 2相似矩阵 推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值 则A与对角矩阵 相似 本章 上页 下页 5 2相似矩阵 注意 A有n个相异特征值只是A与对角矩阵相似的充分条件 而非必要条件 定义2 若n阶方阵A与对角矩阵相似 则称矩阵A可以对角化 例3 则P可逆 且 本章 上页 下页 例4 5 2相似矩阵 对应的特征向量为 则P可逆 且 本章 上页 下页 5 2相似矩阵 定理4 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每 例如 因此 矩阵A不能对角化 本章 上页 下页 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 1 向量的内积 2 正交向量组 3 正交矩阵 本章 上页 下页 4 实对称矩阵的特征值与特征向量 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 1 向量的内积 的夹角的余弦为 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 定义1 称为向量 的内积 记作 都是列向量时 有 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 内积有下列性质 1 对称性 2 线性性 3 非负性 上页 下页 本节 对于 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 定理1 柯西 许瓦茨不等式 中的任意两个向量 证 其中等号成立 当且仅当 先证不等式成立 定理显然成立 对任意实数t 有 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 再证等号成立 当且仅当 存在k 使得 即对任意实数k 反之 若 矛盾 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 定义2 向量的长度具有下列性质 1 非负性 2 齐次性 3 三角不等式 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 证 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 长度为1的向量称为单位向量 单位化 定义3 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 2 正交向量组 定义4 记作 零向量与任意一个向量都正交 上页 下页 本节 例1 中求与这两个向量都正交 解 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 的单位向量 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 定义5 则称该组向量为正交向量组 则称该组向量为正交单位向量组 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 定理2 证 同理可证 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 定义6 V的一个标准正交基 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 坐标的计算公式 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 施密特 Schimidt 正交化方法 正交化 单位化 上页 下页 本节 例2 解 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 设线性无关的向量组 试将这组向量标准正交化 施密特正交化方法 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 3 正交矩阵 定义7 则称为正交矩阵 简称正交阵 正交矩阵具有下述性质 1 若Q为正交矩阵 则其行列式的值为1或 1 即 2 若Q为正交矩阵 则Q可逆 且 3 若P Q都是正交矩阵 则PQ也是正交矩阵 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 定理3 证 其列 行 向量组是正交单位向量组 设Q为n阶实矩阵 则Q为正交矩阵的充分必要条件是 Q为正交矩阵 上页 下页 本节 例3 解 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 验证下面的矩阵是正交矩阵 Q的每个列向量都是单位向量 且两两正交 所以Q是正交矩阵 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 4 实对称矩阵的特征值与特征向量 定理4 实对称矩阵的特征值为实数 设A是n阶实对称矩阵 是A的特征值 x是A对应于 证 的特征向量 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 定理5 设A是n阶实对称矩阵 是A的两个不同的特征值 分别是对应的特征向量 证 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 定理6 设A是n阶实对称矩阵 则存在正交矩阵Q 使 为对角矩阵 例4 设实对称矩阵 求一个正交矩阵Q 使 为对角矩阵 解 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 正交化 令 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 上页 下页 本节 例5 解 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 A为实对称矩阵 A可对角化 即存在可逆矩阵Q及对角矩阵 使 上页 下页 本节 5 3实对称矩阵的特征值和特征向量 上页 下页 本节 特征值与特征向量问题 例1 解 考研园地 设A是n阶实对称矩阵 P是n阶可逆矩阵 已知n维列向量 向量是 A为实对称矩阵 本章 上页 下页 例2 设n阶矩阵 1 求A的特征值和特征向量 2