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文档简介

一 矩阵秩的概念 5矩阵的秩 例1 解 例2 解 计算A的3阶子式 问题 经过初等变换矩阵的秩变吗 二 矩阵秩的求法 推论1可逆矩阵经过有限次初等变换仍为可逆矩阵 同样不可逆矩阵经过初等变换后仍为不可逆矩阵 特点 1 可划出一条阶梯线 线的下方全为零 2 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数 阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元 即非零行的第一个非零元 行最简形矩阵再经过初等列变换 可化成标准形 初等变换求矩阵秩的方法 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 例4 解 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 则这个子式便是的一个最高阶非零子式 设有线性方程组 若记 1 三 线性方程组与系数矩阵的秩 则上述方程组 1 可写成矩阵方程 问题 证 必要性 从而 这与原方程组有非零解相矛盾 充分性 任取一个自由未知量为 其余自由未知量为 证 必要性 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程 即可得方程组的一个解 充分性 证毕 其余个作为自由未知量 把这行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量 小结 齐次线性方程组 系数矩阵化成行最简形矩阵 便可写出其通解 非齐次线性方程组 增广矩阵化成行阶梯形矩阵 便可判断其是否有解 若有解 化成行最简形矩阵 便可写出其通解 例1求解齐次线性方程组 解 五 线性方程组的解法 即得与原方程组同解的方程组 由此即得 例 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B进行初等变换 故方程组无解 例 求解非齐次方程组的通解 解对增广矩阵B进行初等变换 故方程组有解 且有 所以方程组的通解为 三 小结 2 初等变换法 1 矩阵秩的概念 2 求矩阵秩的方法 1 利用定义 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 即寻找矩阵中非零子式的最高阶数 非齐次线性
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