高等数学定积分及其计算教学PPT课件.ppt

第五章定积分及其应用 第一节定积分及其计算 第二节定积分在几何上的应用 第三节定积分在物理上的应用 1 第一节定积分及其计算 一 定积分的概念与性质 二 微积分基本公式 本节主要内容 三 定积分的积分法 四 反常积分 2 一 积分的概念与性质 一 定积分问题举例 1 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 求其面积A 3 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边梯形面积 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 4 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 播幻灯片75放 5 解决步骤 1 分割 2 取近似 3 求和 4 取极限 6 解决步骤 1 分割 在区间 a b 中任意插入n 1个分点 用直线 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 2 取近似 在第i个窄曲边梯形上任取 作以 为底 为高的小矩形 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 7 3 求和 4 取极限 令 则曲边梯形面积 8 2 变速直线运动的路程 解决步骤 1 分割 2 取近似 3 求和 4 取极限 9 解决步骤 1 分割 将它分成 在每个小段上物体经 2 近似 得 n个小段 过的路程为 2 变速直线运动的路程 10 3 求和 4 取极限 11 上述两个问题的共性 12 二 定积分的概念 定义5 1 1设函数f x 在区间 a b 上有定义 分割 任取分点把区间 a b 分割成n个小区间 xi 1 xi 第i个小区间的长度为 记 近似 在每个小区间 xi 1 xi 上任取一点 i i 1 2 n 求和 作和式 13 取极限 当 0时 若极限存在 这个极限值与区间 a b 的分法及点 i的取法无关 则称函数f x 在 a b 上可积 并称这个极限为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 即 14 15 说明 1 闭区间上的连续函数是可积的 闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的 2 定积分是一个确定的常数 它取决于被积函数f x 和积分区间 a b 而与积分变量使用的字母的选取无关 即有 3 在定积分的定义中 有a b 为了今后计算方便 我们规定 16 三 定积分的几何意义 介于曲线f x x轴及两条直线x a x b之间的各部分面积的代数和 设A为曲边梯形面积 则 各部分面积的代数和 17 例1利用定积分的几何意义 证明 梯形是单位圆位于x轴上方的半圆 因为单位圆的面积 所以半圆的面积为 2 18 思考 19 四 定积分的性质 性质1 性质2 20 性质3 积分区间的可加性 对任意的点c 有 性质4如果被积函数f x C C为常数 则 21 性质5 积分的保序性 如果在区间 a b 上 恒有f x g x 则 例2比较定积分与的大小 22 性质6 积分估值定理 如果函数f x 在区间 a b 上有最大值M和最小值m 则 M b a y f x f x dx m b a 23 则f x 在 1 1 上的最小值为m 1 e 最大值为M 1 由定积分的估值性质 例3估计定积分的值 设 比较x 0及区间端点x 1的函数值 有 24 性质7 积分中值定理 如果函数f x 在闭区间 a b 上连续 则在积分区间 a b 上至少存在一个点x 使下式成立 25 exit 26 性质8 对称区间上奇偶函数的积分性质 设f x 在对称区间 a a 上连续 如果f x 为奇函数 则 如果f x 为偶函数 则 27 例如 28 exit 29 二 微积分基本公式 在变速直线运动中 已知位置函数s t 与 速度函数 之间有关系 考虑时间间隔 实际问题 变速直线运动中路程为 另一方面这段路程可表示为 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 30 一 积分上限函数 31 定理5 1 1如果函数f x 在区间 a b 上连续 则变上限积分函数在 a b 上可导 且它的导数是f x 即 32 33 34 例4计算 例5计算 例6计算 35 说明 1 解决了原函数的存在性问题 a b 上的连续函数一定存在原函数 且 x 是f x 的一个原函数这一基本结论 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据 36 二 微积分基本公式 牛顿 莱布尼兹公式 定理5 1 2设f x 在 a b 上连续 且F x 是f x 原函数 则 37 38 例7计算 例8计算 39 例9计算 40 例10设求 41 例11计算 42 练一练 43 三 定积分的积分法 一 定积分的换元积分法 定理5 1 2设函数f x 在区间 a b 上连续 并且满足下列条件 1 x t 其值域含于 a b 且a b 2 t 在区间 或 上有连续的导数 t 则有 44 说明 45 46 例12计算 法一设t cosx 则dt sinxdx 法二 47 例13计算 例14计算 设 则x t2 1 dx 2tdt 48 2020 3 20 49 例15计算 50 例16计算 51 例17计算 原式 52 例18设f x 在区间 a a 上连续 证明 1 如果f x 为奇函数 则 2 如果f x 为偶函数 则 53 54 例19设函数f x 在 0 1 上连续 证明 设 55 例20求下列定积分 1 56 例21求定积分 奇函数 原式 偶函数 单位圆的面积 57 练一练 58 二 分部积分法 定理5 1 4设函数u u x 和v v x 在区间 a b 上有连续的导数 则有 59 60 例22求 61 例23求 62 例24求 令则 63 例25求 64 例26求 65 例27证明 66 解得In的递推公式 继续使用递推公式知道I1和I0 得 67 例28求 例29求 68 定义5 1 2设函数f x 在区间 a 上连续 取b a 若极限存在 则称此极限为函数f x 在 a 上的广义积分 记作 即此时也称广义积分收敛 如果上述极限不存在 就称发散 69 类似可定义 只要有一个极限不存在 就称 发散 70 引入记号 则有类似N L公式的计算表达式 71 72 例30求 73 例31讨论的敛散性 74 例32求 75 例33求 76 二 无界函数的广义积分 瑕积分 定义5 1 3设函数f x 在区间 a b 上连续且 取A a 如果极限存在 则称此极限为函数f x 在 a b 上的广义积分 记作即此时也称广义积分收敛 否则就称广义积分发散 A称为瑕点 77 类似可定义 1 x b为f x 的无穷间断点时 2 无穷间断点x c位于区间 a b 内 78 若瑕点 的计算表达式 则也有类似牛 莱公式的 若b为瑕点 则 若a为瑕点 则 若a b都为瑕点 则 则 当上式右边两个广义积分都收敛 称广义积分收敛 79 例34求 所以广义积分发散 80 例35讨论的敛散性 81 内容小结 1 定积分的概念与性质 2 微积分基本公式 8个性质 82 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 3 83 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 13 84 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 23 85 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 33 86 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 43 87 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 53 88 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 63 89 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 73 90 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 83 91 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 93 92 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 103 93 观察下