第8章 矩阵位移法.ppt

第8章矩阵位移法 仅限于求解杆系结构在静荷载作用下的位移和内力 以位移法为基础 从有限单元法的角度讲解结构的静力分析 既适用于静定结构 也适用于超静定结构 易于编写通用的计算机程序 尤其对于大型复杂结构 该法具有很大的优越性 可大大减少手算的工作量 是面向计算机的计算方法 1 本章内容介绍 第1节位移法回顾第2节基本概念第3节单元刚度方程和单元刚度矩阵第4节坐标变换第5节用整体坐标表示单元刚度矩阵第6节结构刚度方程和总刚度矩阵第7节直接刚度法第8节荷载向量第9节支座条件的引进第10节刚度方程的求解第11节由结点位移求杆端力 习题训练 2 第一节位移法回顾 本章介绍的杆系结构静力计算是以位移法为基础的 基本未知量的确定及解题思路与位移法是一致的 在建立单元的刚度矩阵时 总要用到等截面直杆的刚度方程中的系数 理解该系数的物理意义是非常重要 3 位移法要点 位移法基本未知量 杆端节点位移 位移法基本方程 节点位移对应的平衡方程 以上方程即为结构的刚度方程 其中刚度系数kij为基本结构在位移 j 1作用下 在第i号附加约束上产生的反力 Fip为基本结构在荷载作用下 在第i号附加约束上产生的反力 由以上基本方程解得结点位移 再由每根杆的刚度方程求得各杆端内力 基本体系把结构分划为若干独立的超静定梁 靠基本方程把它们组合在一起 4 等截面直杆的刚度方程 刚度方程 杆端弯矩 剪力 杆端侧移均以绕杆端顺时针为正 关键掌握每个系数的数值及含义 在今后经常用到 写成矩阵的形式 适用于两端都是刚结点的杆 基本未知量为杆两端的转角和侧移 5 一端简支等截面直杆的刚度方程 杆端弯矩 剪力 杆端位移均以绕杆端顺时针为正 关键掌握每个系数的数值及含义 在今后经常用到 刚度方程 写成矩阵的形式 适用于一端刚结点另一端铰结点的杆 铰端转角任意 不再作为基本未知量 6 位移法的基本步骤 确定基本未知量及基本体系 利用基本体系建立位移法方程 根据各杆的刚度方程 分别求基本结构在荷载 1 1及 2 1作用下的各杆端内力 以计算方程中各系数 1 2 3 7 把各系数代入以上基本方程 解得位移 1 2 再由每根杆的刚度方程或叠加法求得各杆端内力 位移法的基本步骤 1 2 3 8 第二节基本概念 结构离散化 单元杆端力 单元杆端位移 坐标系等等 9 一 结构离散化 结构离散化结构静力计算首要工作 也是有限单元法的第一步 所谓结构离散化 把结构假想地划分成若干个相互分离的有限个单元 单元与单元之间用结点联结 用这样离散化的单元集合体来代替原结构 单元最基本的分析部件最简单的单元是等截面直杆杆单元的两个端分别为i端和j端结点杆件的转折点 汇交点 支撑点 截面突变点等直杆再划分单元 单元之间的连接点荷载只作用在结点上 如果实际结构中有荷载作用在单元上 则等效地移置到结点上 10 一 结构离散化 分析对象 原结构 11 二 杆端力和杆端位移 杆端力作用在单元两端的力就称为杆端力 在平面杆系结构中 一般情况下 单元每端一般有三个杆端力分量 即轴力 剪力 弯矩 统一用F e 来表示单元的杆端力向量 杆端位移单元在杆端力作用下会产生变形 该变形会使单元产生位移 单元两端点因此而产生位移就称为杆端位移 在平面杆系结构中 一般情况下 单元每端有三个位移分量 即轴向位移 竖向位移和转角 统一用单元杆端位移向量 e 来表示 12 三 坐标系 单元坐标系 局部坐标系 与单元联系在一起 在杆单元中 单元坐标系x轴与杆轴重合 y轴与杆横截面上的一个主轴重合 坐标原点放在单元i端点上 从i指向j的方向为x轴正向 自x轴逆时针旋转90度的方向为y轴正向 用符号xoy表示单元坐标系 用来描述单元的变形和杆端力 每个单元都有各自独立的坐标系 方向一般不同 整体坐标系 不随单元方向变化而变化的 用它来描述结构整体的变形和受力 如结构的结点位移和结点力等 在一个结构中 整体坐标系只有唯一的一个 用符号表示 13 三 坐标系 单元1 2 3 4局部坐标系xo1y xo2y xo3y xo4y 图示结构离散化后 有唯一的整体坐标系 14 单元坐标系表示的杆端力向量作用在单元上的杆端力 沿单元坐标方向分解得到的杆端力分量 杆端力向量中的其元素就是传统意义上的内力 即分别为单元i端截面的轴力 剪力 弯矩和j端截面的轴力 剪力 弯矩 只是正负号规定不尽相同 内力的符号规定 轴力以拉力为正 剪力和弯矩以绕杆端截面顺时针转为正 单元坐标表示的杆端力向量中的轴力 剪力以与单元坐标的方向一致为正 弯矩以绕杆端截面顺时针转为正 如上图示单元的杆端力向量如下 则内力图为 15 整体坐标系表示的杆端力向量单元杆端力 沿整体坐标方向分解得到的杆端力分量构成的向量 单元坐标系表示的杆端位移 整体坐标系表示的杆端位移 单元两端的杆端位移分别在单元坐标系和整体坐标系下分解 其位移分量就构成上面的杆端位移向量 与坐标轴的正方向一致者为正 返回目录 分别为单元i j两端沿整体坐标轴方向的力分量 轴方向的力分量 力矩分量 以与整体坐标的方向一致为正 16 作业1 已知单元的内力图 列出单元坐标下及整体坐标下的杆端力向量 x y 17 作业2 已知单元的杆端力如图 写出单元坐标及整体坐标表示的单元杆端力向量 并作出单元的内力图 18 例题 已知某单元的单元坐标下的杆端力 作出单元的内力图 i j 19 第三节单元刚度方程和单元刚度矩阵 单元的杆端力和杆端位移之间的关系是通过单元刚度方程反映出来的 本节重点掌握单元刚度矩阵中每个刚度系数的物理意义 由此求得不同杆单元的刚度矩阵 20 1 单元刚度方程 单元的刚度方程给出了单元的杆端位移 e 与杆端力F e 之间的关系 其中矩阵K e 称为单元刚度矩阵 单元刚度矩阵是一个方阵 它的阶数和内容视单元而定 如杆端位移 e 和杆端力F e 为6阶向量 则K e 为6X6方阵 单元的刚度方程 21 单元刚度矩阵物理意义利用矩阵乘法 展开可得 如 单元刚度矩阵中第i列的元素表示第i号位移为一单位值 ui 1 其它为0 时引起的六个杆端力 单元刚度矩阵中的每一个元素称为刚度系数 刚度系数表示一个力 矩阵中第r行s列的元素krs 表示第s号位移为一单位值时引起沿第r个杆端力 由反力互等定理可知krs ksr 所以单元刚度矩阵是一个对称矩阵 它的每一个元素的值都可由结构力学中位移法的刚度方程中获得 22 2 平面桁架单元 平面桁架单元只有轴向变形 杆端力也只有轴力 单元的杆端力向量可表示为 F e FNi0FNj0 T单元杆端位移向量可表示为 e uiviujvj T根据单元刚度矩阵的物理意义 由得单元的刚度方程为 则刚度矩阵 23 3 平面两端刚结点梁单元 平面两端刚节点梁单元在一般情况下单元上作用着杆端力 轴力 剪力和弯矩 单元的刚度方程为 根据单元的刚度矩阵的物理意义 由梁单元受力和变形及前面等截面直杆的刚度方程可以列出平面两端刚节点梁单元的单元刚度矩阵为 则 或 注意 杆端力与内力的符号规定不尽相同 24 vi 1 i 1 vj 1 j 1 平面梁单元的单元刚度矩阵 ui 1 uj 1 分别填写在ui 1 vi 1 i 1 uj 1 vj 1 j 1作用下 杆左右端截面的轴力 剪力 弯矩及右端截面的轴力 剪力 弯矩 由此可得单元的刚度方程 25 平面梁单元的单元的刚度方程为 26 平面两端刚节点梁单元的单元刚度矩阵为 单元刚度矩阵常用子块形式表示 其中每个都是3 3的方阵 子块K e ij表示杆端j作用一单位位移时 杆i端引起的杆端力 27 4 一端刚结点另一端铰结点的梁单元 铰支端一般只有两个位移需计算 铰结点的转角位移可认为它是不独立的而不予考虑 这样单元的杆端位移向量及杆端力向量都只有五阶 单元刚度矩阵为5 5 如梁右端为铰结点 则 或 根据单元的刚度矩阵的物理意义 由梁单元受力和变形可以列出该单元的单元刚度矩阵为 28 平面一端刚结点另一端铰结点梁单元的单元刚度矩阵 vi 1 i 1 vj 1 分别填写在ui 1 vi 1 i 1 uj 1 vj 1 作用下 杆左右端截面的轴力 剪力 弯矩及右端截面的轴力 剪力 由此可得单元的刚度方程 29 若单元i端为铰结点 j端为刚结点 同样可建立起单元刚度矩阵 若单元i端为刚结点 j端为铰结点 则单元刚度矩阵为 30 5 空间桁架单元 空间桁架单元每个节点具有x y z方向的三个位移分量 单元的杆端力向量可表示为 单元杆端位移向量可表示为 单元的刚度方程为 根据单元刚度矩阵的物理意义得 31 6 空间刚架单元 空间刚架单元每个节点具有应有6个自由度 即沿三个坐标轴方向的线位移及分别绕三个坐标轴的转角 杆端位移和杆端力向量均为12阶 单元的杆端力向量可表示为 单元杆端位移向量可表示为 单元的刚度方程为 则单元刚度矩阵为12 12阶 可根据单元刚度矩阵中的各系数的物理意义求得空间刚架单元的刚度矩阵 32 空间刚架单元刚度矩阵 返回目录 33 第四节坐标变换 在有限单元法中 总要用到两类坐标系 即单元坐标系和整体坐标系 在不同的坐标系中 单元的杆端力 杆端位移及刚度矩阵一般都不相同 要得到它们之间的关系 就要用到坐标坐标变换 首先来了解一下两类坐标之间的关系 34 坐标变换 在整体分析时 需要把不同单元的杆端力进行叠加 方向不一致的力是不能进行代数值相加的 这就需要将杆端力进行适当的坐标变换 通过坐标变换使所有单元的杆端力和杆端位移都换成共同的方向 即沿结构整体坐标的方向 在进行单元分析时 使用的是单元坐标系 各杆端力的方向与单元坐标系的方向是一致的 整个结构中各杆单元坐标系的方向并不完全一致 方向不同的单元的杆端力的方向也不一致 35 1 坐标变换矩阵 设一向量R在单元坐标系xoy上的投影分别为x和y 而在结构整体坐标上的投影为和 则它们投影之间的关系为 写成矩阵形式 称为坐标变换矩阵 且是一个正交矩阵 为 两坐标系之间的夹角 即结构整体坐标系逆时针转至与单元坐标系重合时所转过的角度 即 其中 因 即 则 a 36 2 平面桁架单元杆端力的坐标变换矩阵 把单元两端的杆端力统一表示 则 设已知杆端力沿整体坐标轴方向的分量为和 其沿单元坐标轴方向的分量为F1 F2和F3 F4 则 则平面桁架单元杆端力的坐标变换矩阵T 即 杆端位移和杆端力是一一对应的 所以杆端位移也可以用T矩阵来进行变换 即 37 3 平面刚架单元杆端力的坐标变换矩阵 则 整体坐标系与单元坐标系xoy之间的变换可视为坐标系绕z轴旋转a角 该变换不影响弯矩向量对z轴的投影 如把单元左端 i端 的三个杆端力分量用F1 F2 F3表示 右端 j端 用F4 F5 F6表示 故 即 则平面刚架单元杆端力的坐标变换矩阵T 且 则 杆端位移的变换 38 例2 1 平面桁架如图所示 各杆截面EA均为常数 已知P1 15kN P2 20kN 试计算桁架各杆轴力 1 对结点和单元编号如图示 2 列表表示各单元参数 3 列出各单元刚度矩阵 单元 2 的单元坐标与整体坐标不一致 要进行坐标变换 39 4 单元 2 的坐标变换矩阵 若已经求得节点2的位移如下 试计算各杆的内力 5 各单元的杆端位移 整体坐标表示 单元坐标表示 40 6 各单元的杆端内力 方法1 由内力与变形的关系计算 方法2 由单元的刚度方程计算 由各单元的杆端位移向量可得各单元的轴向变形 各杆的轴力 由此知各单元的轴力 41 4 空间桁架单元杆端力的坐标变换矩阵 设一空间向量F 它在整体坐标系上的投影为 它在单元坐标系上的投影为XYZ 用向量投影定理 表示坐标轴x与之间夹角的余弦 其余类推 令 空间向量坐标变换矩阵 则 写成矩阵的形式 42 4 空间桁架单元杆端力的坐标变换矩阵 空间桁架单元杆端力只有轴力 且方向也与坐标轴x重合 杆端力在单元坐标轴y z轴的投影总是为零的 即 空间向量坐标变换矩阵 令 表示杆端力在整体坐标轴上的投影 可写成 则 43 5 空间桁架单元杆端力的坐标变换矩阵 考虑空间桁架单元两端的杆端力 则有 相对于单元坐标系的杆端力向量 空间桁架杆端力坐标变换矩阵 其中相对于整体坐标系的杆端力向量 即 返回目录 44 得单元 2 整体坐标表示的单元刚度矩阵 返回目录 45 第五节用整体坐标表示单元刚度矩阵 在装配结构总刚度矩阵时 必须把单元坐标表示的单元刚度矩阵变换到整体坐标下 本节将给出二者之间的关系 46 1 公式推导 单元坐标下的杆端力 杆端位移 整体坐标表示的单元刚度方程 单元刚度方程 中的杆端位移向量和杆端力向量均应进行坐标变换 换成按整体坐标表示 单元坐标下的刚度方程化为 上式两边分别左乘 且由 得整体坐标表示的单元刚度矩阵 47 2 平面桁架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵 由前面求得的平面桁架单元的刚度矩阵和坐标变换矩阵 令 Cx cos Cy sin 且把上式代入得 上式即为平面桁架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵 48 例2 1 平面桁架如图所示 各杆截面EA均为常数 已知P1 15kN P2 20kN 试桁架各杆轴力 1 对结点和单元编号如图示 2 列表表示各单元参数 3 列出各单元刚度矩阵 49 4 列出整体坐标表示的各单元刚度矩阵 第一种方法 直接代入公式 单元 1 的单元坐标和整体坐标一致 所以 单元 2 的单元坐标和整体坐标不一致 必须经过以下变换 50 第二种方法 利用坐标变换公式 以上代入公式 51 3 平面刚架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵 由前面求得的平面刚架单元的刚度矩阵和坐标变换矩阵 单元刚度矩阵和坐标变换矩阵是单元的固有属性 仅有单元的E I l a有关 利用下式即可计算出整体坐标表示的单元刚度矩阵 52 3 平面刚架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵 上式即为平面刚架整体坐标表示的单元刚度矩阵 一般不需专门记忆 只要记住单元坐标表示的单元刚度矩阵和二者之间的关系 令 Cx cos Cy sin 且把上式代入得 53 平面刚架整体坐标表示的单元刚度矩阵程序设计 voidchange double ke double T inti j m doublek 6 6 for i 0 i 6 i for j 0 j 6 j k i j 0 for m 0 m 6 m k i j T m 6 i ke m i j for i 0 i 6 i for j 0 j 6 j ke i 6 j 0 for m 0 m 6 m ke i 6 j k i m T m 6 j 54 例2 3 平面刚架如图所示 各杆截面相同 E 1 107kN m2 A 0 24m2 I 0 0072m4 求各杆端力 并画出内力图 解 1 对应结点及各单元编号如图所示 2 列出单元参数表 55 3 列出单元坐标表示的单元刚度矩阵 将以上参数代入公式 56 3 列出整体坐标表示的单元刚度矩阵 第一种方法 直接代入公式 单元 1 3 的单元坐标和整体坐标一致 所以 单元 2 的单元坐标和整体坐标不一致 必须经过以下变换 57 第二种方法 利用坐标变换公式 以上代入公式 58 得单元 2 整体坐标表示的单元刚度矩阵 返回目录 59 第六节结构刚度方程和总刚度矩阵 一 基本概念 60 1 结构的结点位移向量 结构各结点的位移 包括支座结点的位移 按顺序排成一列所组成结构的结点位移向量 如图1 结构的结点位移向量为 如图2 结构的结点位移向量为 61 2 结构的结点力向量P 作用在结点上的力 包括支座反力 按结点顺序排成一列就组成结构的结点力向量P 如图1 结构的结点力向量为 如图2 结构的结点力向量为 当单元上作用非结点荷载时 如分布荷载 温度变化等 则需将非结点荷载移置到结点上去 变成等效结点荷载 62 3 结构的刚度方程 结构刚度方程是反映结点力向量P与结点位移向量 之间的变换关系 即 P K 其中 K为结构的总刚度矩阵 如果结构的结点位移向量 和结点力向量P的阶数为n 则K为n n 结点位移和结点力向量是按结点顺序排列的 总刚度矩阵K应按结点顺序排列且包含所有的结点的刚度贡献 以上所有的量都要用整体坐标表示 关键问题是 如何建立这一方程式以及如何推导出总刚度矩阵中的具体内容 63 二 用最小势能原理推导结构刚度方程 结构总应变能 单元应变能等于杆端力F e 在杆端位移 e 上做功 即 代入单元的刚度方程得 结构总应变能 把杆端位移向量 单元刚度矩阵经过坐标变换统一到整体坐标下 则 结构荷载势能 结构总势能 最小势能原理 当体系既满足平衡条件又满足变形条件时体系总势能取得最小值 即总势能的驻值应为零 即 64 二 用最小势能原理推导结构刚度方程 以上为结构刚度方程 体现了原结构各结点位移与结点力之间和实际关系 三 总刚度矩阵的构成 结点位移和结点力向量是按结点顺序排列的 总刚度矩阵K应按结点顺序且包含所有的结点的刚度贡献 如果结构有n个结点 则结点位移和结点力向量可分为n个子块 总刚度矩阵可分为nxn个子块 返回目录 总刚度矩阵是由各单元刚度矩阵之和构成的 但总刚度矩阵的阶数与单元刚度矩阵的阶数并不同相 不能直接进行简单的相加 必须把单元的刚度矩阵扩展后再叠加 65 第七节直接刚度法 直接刚度法 直接由单元刚度矩阵扩展成贡献矩阵 然后将贡献矩阵迭加成结构总刚度矩阵 具体做法 把整体坐标下的单元刚度矩阵根据单元两端结点的编号把各子块送到总刚度矩阵K对应的位置中去 整个扩展迭加的过程 就是 子块搬家 对号入座 整体坐标下单元的刚度矩阵可划分为子块 如果单元结点i j的整体编号为g h 则单元刚度矩阵的各子块在总刚中的编号 位置 分别为 66 123ghn 123ghn 总刚度矩阵的集成 每个单元的刚度矩阵都经过如上扩展和对号入座后 总刚度矩阵的各个子块经过简单的叠加即可得到最终的总刚度矩阵 子块搬家 对号入座 67 如 图示平面刚架的总刚度矩阵的集成 各结点编号如图 用矩阵可记为 如果已经列出各单元按整体坐标表示的单元刚度矩阵 123456 123456 根据结点编号把各单元的子块搬入总刚度矩阵K中的相应位置 同一位置上各子块的对应元素相加 空位补0 68 如果修改各结点编号如图 则用矩阵 123456 123456 把各单元的子块搬入总刚度矩阵K中的相应位置 单元的子块搬入总刚度矩阵中的位置 完全取决于结构结点编号 对同一结构 如果改变了结点的编号 则总刚度矩阵完全不同 69 总刚度矩阵的特点 总刚度矩阵是一个对称矩阵 即处于与矩阵主对角线对称位置的两个元素是相等的 即kij kji 总刚度矩阵是一个稀疏的矩阵 大片的区域都是零元素 它的非零元素只分布在主对角线两侧的带状区域内 最大半带宽d C 1 m 其中 c 各单元两端结点号的差值的最大者 m 每个结点的自由度数 总刚度矩阵是一个奇异矩阵 当没有引进支座条件的情况下 总刚度矩阵不存在逆矩阵 返回目录 70 第八节荷载向量 作用在结点上的力 包括支座反力 按结点顺序排成一列就组成结构的结点力向量 不考虑约束反力 只由外荷载引起的结点力排成的向量则称为荷载向量 如图1 结构的结点力向量为 结构的荷载向量为 荷载向量P的构成 直接结点荷载Pd等效结点荷载PE 单元上的非结点荷载 如分布荷载 温荷载 惯性力等 等效移置到结点上得到的 71 直接结点荷载向量 等效移置的方法 首先取位移法的基本结构 然后求出各非结点荷载引起的固端内力 最后将各固端内力反向作用到结点上去 即为该结点的等效结点荷载 等效结点荷载向量 荷载向量 2 3 1 2 72 习题1 计算图示结构的荷载向量 1 73 习题2 计算图示结构的荷载向量 返回目录 74 习题3 计算图示结构的荷载向量 返回目录 75 第九节支座条件的引进 总刚度矩阵是一个奇异矩阵 刚度方程P K 没有唯一解 因为方程中 包含任意大小的刚体位移 为了能算出因变形而产生的结点位移 引进约束条件 消除刚体位移 结构自由结点和约束结点之间作用力和位移之间的关系 自由结点 位移未知 上的作用力 荷载 是已知的 而约束结点 位移已知 为零 上的作用力 约束反力 是未知的 如图 2 4 6结点为自由结点 荷载已知但位移未知 基本未知量 1 3 5结点为约束结点 位移为0但约束反力未知 76 结构刚度方程表示为 77 Px未知节点力 支座反力 P1已知节点力 节点荷载 1已知节点位移 支座位移 x未知节点位移求解的未知量 Kx1 Kxx K11 K1x 78 对总刚度方程P K 初等变换 行列交换 将方程式展开得 未知节点位移求解的未知量 已知节点位移 支座位移 已知节点力 节点荷载 未知节点力 支座反力 对于刚性支座 79 支座条件的引进 引进约束条件方法 后处理法 先集成总刚度矩阵 然后再引进约束条件 先处理法 先引进支座条件 然后集成总刚度矩阵 80 后处理法 主元素置1法若编号为i的位移因约束为零 保证从刚度方程解得 i 0 将总刚度矩阵K中第i行的主元素 第i行的主对角线元素 改为1 即令K i i 1 将第i行第i列的所有副元素都改为零 即令K i j 0 K j i 0 i j 将荷载向量中与此位移对应的元素改为零 即令荷载向量中Pi 0 经过这三步改动后 便可实现 i 0的目标 81 图示刚架引进支座条件后的总刚度方程 根据约束结点的位移修改刚度矩阵 根据约束结点的位移修改荷载向量 82 图示刚架引进支座条件后的总刚度方程 如改变单元结点的编号 如图 引入边界条件后的总刚方程为 83 x y 例2 1 平面桁架如图所示 各杆截面EA均为常数 已知P1 15kN P2 20kN 试桁架各杆轴力 1 对结点和单元编号如图示 2 列表表示各单元参数 3 列出各单元刚度矩阵 4 列出整体坐标表示的各单元刚度矩阵 单元的编号数组 84 以上代入公式 85 5 列出结构的刚度矩阵 单元的编号数组 6 列出结构的荷载向量 K EA 86 7 引入约束条件 修改结构刚度方程 8 解刚度方程的结构的结点位移 87 先处理法 将约束已经消除的结点位移排除在刚度方程之外 采取的措施是对每一个不为零的位移编号 凡是约束对应的位移则编为零号 先处理法大大地减少了未知数的数目 缩小了总刚度矩阵的体积 减少了计算工作量 适合于手算 88 先处理法 如果将约束所对应的行和列去掉 即约束所对应的位移在总刚度矩阵中根本不体现 则总刚度矩阵将紧缩 89 先处理法的具体做法 形成结点位移编号数组C 结点位移编号数组中的最后一个数就表示了该结构未知数