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XX丰台一模理科定稿答案 丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第1页共6页丰台区xx年高三年级第二学期数学统一练习（一）数学（理科）参考答案 一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案B DC A B CA D 二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分95410311611121223，3313614注第12题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分 三、解答题本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15解（）（法1）因为sin cos cos aB bC cB?，由正弦定理可得sin sin sin cos sin cosA BB CC B?即sin sin sin coscossin A BC BC B?，?2分所以sin()sinsinC BA B?4分因为在ABC中，A BC?，所以sinsinsinAAB?又sin0A?，?5分所以sin1B?，2B?所以ABC为2B?的直角三角形?6分（法2）因为sin coscos aB bC cB?，由余弦定理可得222222sin22a bc ac baB bcab ac?，?4分即sin aB a?因为0a?，所以sin1B?5分所以在ABC中，2B?所以ABC为2B?的直角三角形?6分（）因为121()cos2cos232f x x x?22coscos3x x?8分=211(cos)39x?10分所以211()(cos)39f AA?因为ABC是2B?的直角三角形，丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第2页共6页所以02A?，且0cos1A?，?11分所以当1cos3A?时，()f A有最小值是19?12分所以()f A的取值范围是11,)93?13分16证明（）取AD中点O，连结OP，OB，BD因为PA=PD，所以POAD?1分因为菱形ABCD中，BCD=60?，所以AB=BD，所以BOAD?2分因为BOPO=O，?3分所以AD平面POB?4分所以ADPB?5分（）由（）知BOAD，POAD因为侧面PAD底面ABCD，且平面PAD底面ABCD=AD，所以PO底面ABCD?6分以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O xyz?7分则(1,0,0)D?，(1,3,0)E?，(0,0,1)P，(2,3,0)C?，因为Q为PC中点，所以31(1,)22Q?8分所以(0,3,0)DE?，31(0,)22DQ?，所以平面DEQ的法向量为1(1,0,0)n?因为(1,3,0)DC?，31(0,)22DQ?，设平面DQC的法向量为2(,)n x y z?，则220,0DC nDQn?30,310.22x yy z?令3x?，则1y?，3z?，即2(3,1,3)n?9分OABCDEEDCBAQPOzyx丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第3页共6页12121221cos,7|n nn nn n?由图可知，二面角E-DQ-C为锐角，所以余弦值为217?10分（）因为PC?，所以 PC?，由（）知(2,3,1)PC?，(1,0,1)PA?，若设(,)Q x y z，则(,1) x y z?，由 PC?，得231xyz?，在平面DEQ中，(0,3,0)DE?，(1,)(12,3,1)DQ xyz?，所以平面DEQ法向量为1(1,0,21)n?，?12分又因为PA/平面DEQ，所以10PA n?，?13分即 (1) (1) (21)0?，得23?所以，当23?时，PA/平面DEQ?14分17解()根据频率分布直方图中的数据，可得1(0.0050.00750.02250.035)100.10.070.0310a?，所以0.03a?2分（）学生成绩在50,60)内的共有400.05=2人，在60,70)内的共有400.225=9人，成绩在50,70)内的学生共有11人?4分设“从成绩在50,70)的学生中随机选3名，且他们的成绩都在60,70)内”为事件A，?5分则3931128()55CP AC?7分所以选取的3名学生成绩都在60,70)内的概率为2855（）依题意，X的可能取值是1，2，3?8分丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第4页共6页21293113 (1)55C CP XC?；122931124 (2)55C CPXC?；28 (3)()55PXP A?10分所以X的分布列为?123P35524552855?11分324282712355555511E?13分18解（）当1a?时，2()3ln f x x x x?，1()23f x xx?1分因为 (1)0f?， (1)2f?，?2分所以切线方程为2y?3分（）函数2() (2)ln f x ax a xx?的定义域为(0,)?当a0时，212 (2)1()2 (2)ax axf x ax ax x? (0)x?，?4分令()0f x?，即22 (2)1 (21) (1)()0axaxx axf xxx?，所以12x?或1xa?5分当101a?，即1a?时，()f x在1,e上单调递增，所以()f x在1,e上的最小值是 (1)2f?；?6分当11ea?时，()f x在1,e上的最小值是1() (1)2f fa?，不合题意；当1ea?时，()f x在(1,)e上单调递减，所以()f x在1,e上的最小值是() (1)2f ef?，不合题意?7分综上可得1a?8分（）设()()2g xf xx?，则2()ln g xax ax x?，?9分只要()g x在(0,)?上单调递增即可而2121()2ax axg xaxaxx?，?10分丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第5页共6页当0a?时，1()0g xx?，此时()gx在(0,)?单调递增；?11分当0a?时，只需()0gx?在(0,)?恒成立，因为(0,)x?，只要22+10axax?，则需要0a?，对于函数22+1y axax?，过定点(0,1)，对称轴104x?，只需280a a?，即08a?12分综上可得08a?13分19解（）依题意2a?，22ca?，所以2c?2分因为222a bc?，所以2b?3分椭圆方程为22142xy?5分（）2224x yy kx m?消y得222 (21)4240k x k m x m?，0?6分因为11(,)A xy，22(,)B xy，所以122421kmx xk?，21222421mx xk?7分设直线MA11 (2)2yy xx?，则1162Pyyx?；同理2262Qyyx?9分因为121111P Qy y yy?，所以12121222666666x xyyyy?，即121244066x xyy?10分所以1221 (4) (4)0xyxy?，所以1221 (4)() (4)()0x kx m xkxm?，1212122()4()80kx xmxxkxxm?，222224442()4()80212121m km kmk mk mk kk?，丰台区高三数学第二学期统一练习（一）（理科）第6页共6页所以288021k mk?，得mk?13分则ykxk?，故l过定点(1,0)?14分20解（）因为2()fxxx?，所以()21fxx?所以121n naa?，所以112 (1)n naa?，且11112a?，所以数列1na?是首项为2，公比为2的等比数列所以11222n nna?，即21nna?4分（）（）假设存在实数b，使数列nb为等差数列，则必有2132b b b?，且1b b?，221()b f b b b?，22232()()()b f b b b b b?所以22222()()()b b b b b b b?，解得0b?或2b?当0b?时，10b?，1()0n nbf b?，所以数列nb为等差数列；当2b?时，12b?，22b?，36b?，442b?，显然不是等差数列所以，当0b?时，数列nb为等差数列?9分（）10b b?，1()n nbfb?，则21()n n n nbfb