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GCT保过班学员入学测试题答案1. 答 B分析 本题主要考查了奇偶数的运算性质及选择题的一种特殊解法排除法解法1 由于两支球队进行一场比赛后，两队的比赛场次数要各加1，所以 A，B，C，D，E五支篮球队的所有比赛场次之和一定是 2 的倍数，即为偶数已知A，B，C，D 四队的比赛场次之和为 4+3+2+1=10，所以 E 队的比赛场次只能是偶数，这样就排除了选项 A，C又因为 D 队只赛一场且已与 A 队赛完，所以 E 队的比赛场次不能是4，这样选项D也被排除故正确选项为B解法2本题也可以通过以下赛程表得到正确选项BABCDEA已赛已赛已赛已赛B已赛已赛已赛C已赛已赛D已赛E已赛已赛已知A队已赛过4场，这4场只能是A队分别与B，C，D，E四队进行比赛而B队已赛过3场，由于D队只赛一场且已与A队赛完，所以这3场只能是B队分别与A，C，E三队进行比赛至此，赛程表完成2. 答 A分析本题主要考查了分数的乘除运算因为所以故正确选项为A3. 答 A分析本题主要考查两个数的比的大小主动轴上的三个齿轮的齿数分别与从动轴(后轴)上的四个齿轮的齿数做比，得由于所以这种白行车可共获得12-4=8种不同的变速比故正确选项为A4.答 A分析 本题主要考查了分数的运算及简单的代数公式因为0.1+0.2+0.3+0.9=所以故正确选项为A5. 答 B分析 本题主要考查了简单植树问题的处理方法解法1 根据题意可知共需路灯的盏数为2；共需广告牌的面数为2故正确选项为 B.6. 答C分析本题与上面第2题类似，主要考查了虚数单位i的正整数幂的周期性规律和复数模的概念与计算因为i1=i，i2=-1l，i3=-i，i4=1，所以 z=i1+i2+i3+i4+i5+i6+i7=i+(-1)+(-i)+1+i+(-1)+(-i)=1从而 | z+i |=| -1+i |= 故正确选项为C7. 答 B分析本题主要考查了两数差的平方公式和简单的配方运算根据题中条件，如何将平方项及交叉乘积项与两数之差联系起来是求解本题的关键解法1 由于x-y=5, z-y=10, 所以z-x=5，从而x2+y2+z2-xy-yz-zx=(x-y)2+(z-y)2+(z-x)2=75故正确选项为B解法2 特殊值代入法取y=0，则x=5，z=10，所以x2+y2+z2-xy-yz-zx= 52+102-105=758. 答 C分析 本题主要考查了算术平均数与几何平均数的概念和一元二次方程的性质.解法1 根据题意可知,可知.设x2-14x+1=0 的两个实根分别为x1,x2，由于x1+x2=14，x1x2=1, 且x1,x2 非负，所以13.5maxx1,x214, 又是其中大于1的实根，所以与最接近的整数是14故正确选项为 C解法2 选项验证法根据题意可知所以当=14时，当=13时，当=15时，综上可知与最接近的整数是149. 答 B分析 本题主要考查了组合及组合数的概念与分类求和计数原理648支足球队等分为8组，每组共有6队，每组的比赛场数为C2=组的比赛总场数为158=120故正确选项为B10答 D分析本题主要考查了四边形对角线的概念与三角形的面积公式，画出定性图是处理此类问题的关键如图34，易知四边形ABCD的面积等于ABD与CBD的面积之和，其值为故正确选项为D11. 答 B分析 本题主要考查了三角形中线的概念及利用极限思想处理问题的方法如图312所示，当,且点D是BC的中点，所以AD一4，即类似地，可以说明 所以BC边上的中线长f(x)的变化范围是(1，4)故正确选项为B12. 答 A分析 本题主要考查锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值由条件可知tanCDEsin60,所以故正确选项为A13. 答 C分析 本题是解析几何与平面几何的简单综合题，考查了三角函数的同角关系式、圆的方程、圆心角的概念、等边三角形的性质因为 cos2110+sin2110=cos250+sin250=l，所以点A(cos110，sin110)，B(cos50，sin50)位于网心在原点O，半径为1的圆上，且圆心角AOB=60所以O到AB中点M的距离正好是边长为1的正三角形的高h(如图334所示)，即h=sin60=.14. 答B分析 本题是解析几何与平面几何的简单综合题，考查了梯形的性质与抛物线的定义如图3.35所示，由于AB的中点M到准线的距离等于3，若设A，B到准线的距离分别为d1，d2，则d1+d2=23=6根据抛物线定义可知A，B到焦点的距离也分别是d1，d2，所以弦AB的长AB=AF+BF= d1+d2=6故正确选项为B15. 答 D分析 本题考查导数定义及复合函数求导法则解法1故正确选项为D解法2 特殊值代入法取f(x)=ex，则f(x)满足题设条件且lnf(x)=x，因此所以，不选A、B又也不选C由排除法得正确选项为D16. 答B分析本题考查求函数最大、最小值的一般方法f(x)20，即3x3+kx-320，亦即20x3-3x5k，函数g(x)=20x3-3x5在(0，+)内的最大值就是参数k的最小取值令g(x)=60x2-15x4=15x2(4-x2)=0，得x=2，易知x=2是是g(x)在(0，+)内的唯一极大值点，因此它是g(x)在(0，+)内的最大值点，最大值为g(2)=23(20-322)=64故正确选项为B17. 答 B分析 本题考查函数与其反函数的关系及定积分的几何意义解法1 若g(x)是f(x)的反函数，则曲线g(x)与f(x)关于y=x,对称，如图46(a)与(b)所示由y=f(x)在0，a内严格单调递增且f(0)=0 可得在0，a内f(x)0与g(x)0.由定积分的几何意义，等于图46(a)所示阴影部分曲边三角形的面积，等于图46(b)所示阴影部分曲边三角形的面积又图46(a)中曲边形OCO的面积等于图46(b)中曲边形OCO的面积从而等于图46(b)直角三角形OCO(或图46(a)直角三角形OCO面积的2倍，即故正确选项为B解法2特殊值代人法设，则f(x)满足题设条件，其反函数为g(x)=，因此18. 答C分析 本题考查牛顿莱布尼茨公式及微分法则解法1 设f(x)的一个原函数是F(x)，则 所以故正确选项为C解法2 特殊值代入法注意到取，则这时故正确选项为C19. 答 B分析 本题考查定积分的几何意义，定积分换元法及周期函数的定积分性质 先求g(T)的表达式，由图形可知，线性函数g(x)的斜率为因此g(x)=3x+1,g(x)=3.在中令g(x)=t，则当x=0时t=1；x=2时t=7，且g(x)dx=dt. 于是，由于函数f(x)是以2为周期的连续函数，所以它在每一个周期上的积分相等，因此根据定积分的几何意义，从而故正确选项为B20. 答 D分析本题考查利用导数求切线方程、利用定积分计算图形面积及利用洛必达法则计算极限如图49所示，过点(P，sinp)的切线方程为y=(x-p)cosp+sinp令x=0，得y=-pcosp+sinp因为S2=而S1+ S2是一个直边梯形的面积，其值为所以故正确选项为D21. 答 C 分析 本题考查矩阵的性质和运算由AQ+E=A2+Q得AQ-Q=A2-E，即(A-E)Q=(A-E)(A+E)由A=得A-E=，A+E=，显然A-E可逆故得Q=A+E=，因此Q的第一行的行向量是(2，0，1)故正确选项为C22. 答 A分析 本题考查齐次线性方程组有非零解的充要条件及齐次线性方程组解的结构。B0而 AB=0，所以，Ax=0 有非零解，从而一定有r(A)3.当，即x=-8时，r(A)=23此时Ax=0的基础解系中含3-2=1个解向量，B的列向量都是Ax=0的解，因此B的秩等于1故正确选项为A23.答 D分析 本题考查非齐次线性方程组有解的充要条件当a=2时，得这时，r(A)r(A)，方程组Ax=b无解故正确选项为D24.答 D分析本题考查特征向量的求法解法1 设A的对应于特征值2的一个特征向量是x=(x1,x2,x3)T，则有(A-2E)x=0，即而故正确选项为D25. 答 B 分析 本题考查特殊矩阵的特征值和简单矩阵特征值的求法和性质解法1 因为矩阵B是对角矩阵，所以它的特征值是其对角元素2，y，-1由于且由题设=-1是矩阵A的特征值，所以=-1满足(-x)-1=0，