Fourier变换与Laplae变换简介.doc

6.1 Fourier变换一、背景介绍1. 周期函数的Fourier级数展开一个以为周期的函数，如果在上满足Dirichlet条件，那么在上可以展成Fourier级数，即在的连续点处有三角形式表示 （1）其中，注：函数在上满足Dirichlet条件是指在上满足： 连续或只有有限个第一类间断点；只有有限个极值点。利用Euler公式把（1）式写成指数形式即把，代入（1）式，得 （2）式（2）中.2. 非周期函数的Fourier积分一个非周期的函数可以看成是某个以为周期的函数当时的极限,即有指数形式表示 （3）注意到所对应的点均匀地分布在整个数轴上，两相邻点的距离，从而记，则故式（3）化为 其中.Fourier积分定理：若函数在上满足下列条件：在任一有限区间上满足Dirichlet条件；在上绝对可积（即），则在的连续点处有 Fourier积分 （4）成立，左端的在它的间断点处，应以来代替.二、Fourier变换由（4）式，则1. 定义Fourier变换式： Fourier逆变换式： 称为的象函数，为的象原函数. 在谱分析中，也称为的频谱函数，其模称为的（振幅）频谱.例1 求指数衰减函数 的Fourier变换及其积分表达式.解：.注：.例2 求矩形单脉冲的Fourier变换.解：.特别地，取，有，.例3 求单位脉冲函数 (也称Dirac函数，满足且）的Fourier变换.注：可看成（满足）的弱极限. 它具有下面的筛选性质：如果无穷次可微，那么，.解：.例4 证明单位阶跃函数的Fourier变换为.证明：注：.例5 利用逆Fourier变换验证，.2. 性质1）线性性质如果函数和是象原函数，和是任意两个常数，则有如果函数和是象函数，则例6 求正弦函数的Fourier变换.解：由线性性质及例5类似可证 2）位移性质，事实上，例7 求单矩形脉冲的Fourier变换.解：记，则由例2知，故.3）微分性质象原函数的微分性质如果函数在上连续或只有有限个可去间断点，且当时，则.证明：一般地，若在上连续或只有有限个可去间断点，且当时，则有 .象函数的微分性质若，则.自证.例8 由例4，单位阶跃函数的Fourier变换为.即，由象函数的微分性质得故.4）积分性质如果函数当时，则.事实上，由象原函数的微分性质有下面等式例9 求解方程，其中为常数.解：记，在方程两边取Fourier变换，得到代数方程解得 再对上式求Fourier逆变换，即得.如常微分方程为例9中取的情形， ，由例1得.5）乘积定理如果，则此处为的共轭函数.证明：第二式可类似证明.6）能量积分若，则 Parseval等式其中称为能量谱密度，它可以决定函数的能量分布规律. 把对所有频率积分就得到的总能量.例10 求.解：由例2 ，.7）卷积定理如果函数和满足Fourier积分定理中的条件，且，则，其中是和的卷积.另外，.自证.例11 求函数的Fourier变换.解：由于(例6)，(例4)注意到利用以及卷积满足对加法的分配率且具有线性性质，得到类似可得 三、应用见课件Fourier变换简表指数衰减函数 矩形单脉冲 单位脉冲函数且单位阶跃函数 高斯分布 Fourier核 6.2 Laplace变换一、背景介绍Fourier变换的缺陷： 函数必须在整个数轴上有定义，而在物理、无线电等实际应用中许多以时间为自变量的函数往往在是无意义或不需要考虑；需在上满足绝对可积的条件，这一条件是比较强的，许多很简单的函数，如单位阶跃函数、正弦、余弦以及线性函数等都不满足这一条件.由于上述缺陷，Fourier变换的应用范围受到极大限制.由于单位阶跃函数乘以可以使积分区间由变成，而用求指数衰减函数乘以可以使其变得绝对可积，因而我们想到用来乘以，只要选择适当，函数的Fourier变换总是存在的，即其中，.二、Laplace变换1. 定义设函数是定义于0，上的实变量函数，如果含参变量s的无穷积分存在，则称函数为的拉普拉斯变换.并称为原函数,为象函数.通常用符号L来表示拉普拉斯变换：当变换L作用于时，便得到，即. 2存在定理 当函数满足下列两条件时，其拉普拉斯变换在半平面上一定存在 .1） 在的任一有限区间上分段连续；2） 当时，的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数， 使得 成立 .（其中为的增长指数）3. 反演定理 若是的拉普拉斯变换，则有, 称之为的拉普拉斯逆变换. . 即已知象函数，可以通过拉普拉斯逆变换求出原函数.例1 求函数的拉普拉斯变换 .解：.例2 求函数的拉普拉斯变换 （n是正整数）.解： 例3 求函数的拉普拉斯变换 .解： .4. 性质1) 线性性质如果函数和是原函数，和是任意两个常数，则有;例4 求函数 的拉普拉斯变换 .解： .2) 原函数的微分性质如果函数及其直到n阶导数都是原函数，则有 例如: 若记, 且 , 则有 3) 象函数的微分性质若，则例5 求函数的拉普拉斯变换 （n是正整数）.解： ，例6 求函数 的拉普拉斯变换 .解： 4) 位移性质 .例7 求函数 的拉普拉斯变换 .解：5) 卷积性质如果函数和都是原函数，则有其中是和的卷积.三、 应用先通过拉普拉斯变换把已知微分方程化成代数方程，求出代数方程的解，再通过拉普拉斯逆变换（查表），得到所求初值问题的解.例8 求方程 ； 的解.解：记，注意到 方程两端取拉普拉斯变换得由于 , 故所求解为 .例9 求方程 ；的解.解：记，方程两端取拉普拉斯变换得 由于 ,故所求解为 .例10 求方程 ； 的解.解：注意到 方程两端