23-(教师1份)-位置与坐标直角坐标系---副本.docVIP

数学专用资料 第 23 讲 坐标确定位置 知识精讲：一、生活中确定物体位置的方法1、确定平面上的点的位置的方法很多，通常需要两个量来确定一个点的位置，这两个量可以都是数，也可以是一个角度、一个数。2、确定位置的方法主要有两种：（1）由距离和方位角确定；(2)建立平面直角坐标系由一对有序实数对确定。3、在平面上确定物体的位置，一般方式：用两个数据a和b记（a，b），a表示:排、行、经度、角度、距离b表示:号、列、纬度、距离、角度4、“方位角加距离”定位法（也叫极坐标定位法）5、方格纸定位法（横向格数，纵向格数）6、区域定位法是生活中常用的方法二、平面直角坐标系及相关概念1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。2、为了便于描述坐标平面内点的位置，坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分中，右上部分叫第一象限，其它三部分按逆时针方向依次叫第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。三、点的坐标的概念1、对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。3、在直角坐标系中如何根据点的坐标，找出这个点，方法是由P（a、b），在x轴上找到坐标为a的点A，过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P点。4、如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，一般没有明确的方法，但有以下几条常用的方法：以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；以已知线段中点为原点；以两直线交点为原点；利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。四、不同位置的点的坐标的特征3、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。五、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征六、坐标变化与图形变化的规律经典例题例1ABC在直角坐标系内的位置如图（1）分别写出A、B、C的坐标；（2）请在这个坐标系内画出A1B1C1，使A1B1C1与ABC关于y轴对称，并写出B1的坐标分析： （1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点B1的坐标解：（1）A（0，3），B（4，4），C（2，1）；（2）A1B1C1如图所示，B1（4，4）例2在平面直角坐标系中，如图，矩形OABC的OA=，AB=1，将矩形OABC沿OB对折，点A落在点A1上，求A1点坐标解：由OA=，AB=1可得tanAOB=那么AOB=30，所以A1OB=AOB=30，OA1=0A=，则A1OC=30，作A1Dy轴于点D，利用三角函数可得A1D=，DO=1.5，故A1的坐标为：（，）考点训练一、选择题1平面直角坐标系中点P（a，b）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则这样的点P共有（）A1个B2个C3个D4个分析：根据到x轴的距离是2可得|b|=2，到y轴的距离是3可得|a|=3，进而得到答案解：点P（a，b）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，|a|=3，|b|=2，a=3，b=2，这样的点P共有4个，故选：D点的坐标，关键是掌握到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值2已知点A（a+2，a1）在平面直角坐标系的第四象限内，则a的取值范围为（）A2a1B2a1C1a2D1a2分析：根据第四象限点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解解：点A（a+2，a1）第四象限内，由得，a2，由得，a1，所以，a的取值范围是2a1故选A3如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2013次相遇地点的坐标是（）A（2，0）B（1，1）C（2，1）D（1，1）分析先求出一次相遇的时间为4秒，再根据慢的物体甲确定出回到点A时的相遇次数为3，然后用2013除以3，再根据余数的情况确定第2013次相遇的地点的坐标即可解：矩形的周长为2（2+4）=12，所以，第一次相遇的时间为12（1+2）=4秒，此时，甲走过的路程为41=4，124=3，第3次相遇时在点A处，以后3的倍数次相遇都在点A处，20133=671，第2013次相遇地点是A，坐标为（2，0）故选：A4已知点A（1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）ABCD【分析】由点A（1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称，当x0时，y随x的增大而增大，继而求得答案解：点A（1，m），B（1，m），A与B关于y轴对称，故A，B错误；B（1，m），C（2，m+1），当x0时，y随x的增大而增大，故C正确，D错误故选C5如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（3，2）D（3，2）【分析】由题目中A点坐标特征推导得出平面直角坐标系y轴的位置，再通过C、D点坐标特征结合正五边形的轴对称性质就可以得出E点坐标了解：点A坐标为（0，a），点A在该平面直角坐标系的y轴上，点C、D的坐标为（b，m），（c，m），点C、D关于y轴对称，正五边形ABCDE是轴对称图形，该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴，点B、E也关于y轴对称，点B的坐标为（3，2），点E的坐标为（3，2）故选：C6平面直角坐标系中，点P（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（）A（-2，-3）B（2，-3）C（-3，2）D（3，-2）分析：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数，故选A7. （2016湖北武汉）已知点A(a，1)与点A(5，b)关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（ ）Aa5，b1 Ba5，b1Ca5，b1 Da5，b1【解】关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数点A(a，1)与点A(5，b)关于坐标原点对称，a5，b1，故选D8. （2016湖北武汉）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)若在坐标轴上取点C，使ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）A5B6C7D8【解】构造等腰三角形，分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；作AB的中垂线如图，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除。9（2016山东菏泽）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A2 B3 C4 D5【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，故a+b=2故选：A10.（2016海南）在平面直角坐标系中，将AOB绕原点O顺时针旋转180后得到A1OB1，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（）A（1，2） B（2，1） C（2，1） D（2，1）【分析】根据题意可得，点B和点B的对应点B1关于原点对称，据此求出B1的坐标即可【解：A1OB1是将AOB绕原点O顺时针旋转180后得到图形，点B和点B1关于原点对称，点B的坐标为（2，1），B1的坐标为（2，1）故选D二、填空题1（2016黑龙江龙东）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边ABC的顶点C的坐标为【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方，然后求出点A纵坐标，再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标，最后写出即可解：ABC是等边三角形AB=31=2，点C到x轴的距离为1+2=+1，横坐标为2，A（2， +1），第2016次变换后的三角形在x轴上方，点A的纵坐标为+1，横坐标为2-20161=-2014，所以，点A的对应点A的坐标是(-2014，+1)故答案为：(-2014，+1)2（2016湖北荆州）若点M（k1，k+1）关于y轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=（k1）x+k的图象不经过第一象限【分析】首先确定点M所处的象限，然后确定k的符号，从而确定一次函数所经过的象限，得到答案解：点M（k1，k+1）关于y轴的对称点在第四象限内，点M（k1，k+1）位于第三象限，k10且k+10，解得：k1，y=（k1）x+k经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故答案为：一3平面直角坐标系中有两点M（a，b），N（c，d），规定（a，b）（c，d）=（a+c，b+d），则称点Q（a+c，b+d）为M，N的“和点”若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”，现有点A（2，5），B（1，3），若以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐标是（1，8）【分析】先根据以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”，判断点C为点A、B的“和点”，再根据点A、B的坐标求得点C的坐标解：以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点四边形”点C的坐标为（21，5+3），即C（1，8）故答案为：（1，8）4点P（x2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是x2【分析】直接利用第一象限点的坐标特征得出x的取值范围即可解：点P（x2，x+3）在第一象限，解得：x2故答案为：x25已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限，对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB=2，若点A的坐标为（a，b），则点D的坐标为（2a，b）（2a，b）【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=2，根据已知条件得到B（2+a，b），或（a2，b），由于点D与点B关于原点对称，即可得到结论解：如图1，四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=2，A的坐标为（a，b），AB与x轴平行，B（2+a，b），点D与点B关于原点对称，D（2a，b）如图2，B（a2，b），点D与点B关于原点对称，D（2a，b），综上所述：D（2a，b），（2a，b）6（2016山西）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，-1），表示桃园路的点的坐标为（-1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 （3，0） 分析：根据双塔西街点的坐标为（0，-1），可知大南 门为坐标原点，从而求出太原火车站的点（正 好在网格点上）的坐标解：太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标（3，0）7如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，3），对OAB连续作旋转变换，依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4），那么第（7）个三角形的直角顶点的坐标是（24，0），第（2014）个三角形的直角顶点的坐标是（8052，0）分析:观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，第7个直角三角形的直角顶点与第6个直角三角形的直角顶点重合，然后求出一个循环组旋转过的距离，即可得解；用2014除以3，根据商和余数的情况确定出直角顶点的坐标即可解：由图可知，第4个三角形与第1个三角形的所处形状相同，即每三次旋转为一个循环组依次循环，一个循环组旋转过的长度为12，212=24，第7个直角三角形的直角顶点与第6个直角三角形的直角顶点重合，为（24，0）；20133=6711，第（2014）的直角顶点为第671循环后第一个直角三角形的直角顶点，12671=8052，第（2014）的直角顶点的坐标是（8052，0）故答案为：（24，0）；（8052，0）8如图：在直角坐标系中，第一次将AOB变换成OA1B1，第二次将三角形变换成OA2B2，第三次将OA2B2，变换成OA3B3，已知A（1，3），A1（3，3），A2（5，3），A3（7，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将OA3B3变换成OA4B4，则A4的坐标是（9，3），B4的坐标是（32，0）（2）若按（1）找到的规律将OAB进行了n次变换，得到OAnBn，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测An的坐标是（2n+1，3），Bn的坐标是（2n+1，0）分析：对于A1，A2，An坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现An的横坐标为2n+1，而纵坐标都是3，同理B1，B2，Bn也一样找规律解：（1）已知A（1，3），A1（3，3），A2（5，3），A3（7，3）；对于A1，A2，An坐标找规律比较从而发现An的横坐标为2n+1，而纵坐标都是3；同理B1，B2，Bn也一样找规律，规律为Bn的横坐标为2n+1，纵坐标为0由上规律可知：（1）A4的坐标是（9，3），B4的坐标是（32，0）；（2）An的坐标是（2n+1，3），Bn的坐标是（2n+1，0）9已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x=4或2【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出x的值解：根据题意画图如下：以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则C（4，1）或（2，1），则x=4或2；故答案为：4或210以下是甲、乙、丙三人看地图时对四个坐标的描述：甲：从学校向北直走500米，再向东直走100米可到图书馆乙：从学校向西直走300米，再向北直走200米可到邮局丙：邮局在火车站西200米处根据三人的描述，若从图书馆出发，判断下列哪一种走法，其终点是火车站（ ）A.向南直走300米，再向西直走200米B.向南直走300米，再向西直走100米C.向南直走700米，再向西直走200米D.向南直走700米，再向西直走600米【解】根据题意，画出如图的示意图，可知A正确三、解答题1在直角坐标系xOy中，已知（5，2+b）在x轴上，N（3a，7+a）在y轴上，求b和ON的值分析:根据x轴上点的纵坐标为0列式求出b，再根据y轴上点的横坐标为0列式求出a，然后求出ON即可解：（5，2+b）在x轴上，2+b=0，解得b=2；N（3a，7+a）在y轴上，3a=0，解得a=3，点N（0，10），ON=10点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0 2当m为何值时，点A（m+1，3m5）到x轴的距离是到y轴距离的两倍？分析：根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度列出方程，然后求解即可解：由题意得，|3m5|=2|m+1|，所以，3m5=2（m+1）或3m5=2（m+1），解得m=7或m=3在平面直角坐标系中，已知点B（a，b），线段BAx轴于A点，线段BCy轴于C点，且（ab+2）2+|2ab2|=0（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若点D是AB的中点，点E是OD的中点，求AEC的面积；（3）在（2）的条件下，若已知点P（2，a），且SAEP=SAEC，求a的值分析：（1）根据非负数的性质得ab+2=0，2ab2=0，解得a=4，b=6，则B点坐标为（4，6），由于线段BAx轴于A点，线段BCy轴于C点，易得A点坐标为（4，0），C点坐标为（0，6）；（2）利用线段中点坐标公式得到点D的坐标为（4，3），点E的坐标为（2，），再根据三角形面积公式和SAEC=SAOCSAOESCOE进行计算；（3）由于点P（2，a），点E的坐标为（2，），则PE=|a|，由于SAEP=SAEC，根据三角形面积公式2|a|=3，然后去绝对值可计算出a的值解：（1）（ab+2）2+|2ab2|=0，ab+2=0，2ab2=0，a=4，b=6，B点坐标为（4，6），线段BAx轴于A点，线段BCy轴于C点，A点坐标为（4，0），C点坐标为（0，6）；（2）点D是AB的中点，点D的坐标为（4，3），点E是OD的中点，点E的坐标为（2，），SAEC=SAOCSAOESCOE=64462=3；（3）点P（2，a），点E的坐标为（2，），PE=|a|，SAEP=SAEC，2|a|=3，a=或四、综合分析题1.已知:在平面直角坐标系中,四边形ABCD是长方形, A=B=C=D=90ABCD,AB=CD=8cm，AD=BC=6cm，D点与原点重合，坐标为(0,0).（1）写出点B的坐标.（2）动点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动, 动点Q从点C出发以每秒4个单位长度的速度I沿射线CD方向匀速运动,若P,Q两点同时出发,设运动时间为t秒,当t为何值时,PQBC?（3）在Q的运动过程中,当Q运动到什么位置时,使ADQ的面积为9? 求出此时Q点的坐标.【解析】（1）根据点的特点可以直接写出坐标；2在直角坐标系中，长方形ABCD的边AB可表示为（2，y）（1y2），边AD可表示为（x，2）（2x4）。求：（1）长方形各顶点的坐标；（2）长方形ABCD的周长.【解析】1）根据边AB、AD的公共点为A，首先求出点A的坐标，从而得到点B、D的坐标，再根据点B的纵坐标与点D的横坐标求出点C的坐标即可；（2）根据x、y的取值范围求出AB、AD的长度，再根据长方形的周长公式列式进行计算即可得解解：（1）边AB可表示为（2，y），边AD可表示为（x，2），点A的坐标为（2，2），1y2，点B的坐标为（2，1），2x4，点D的坐标为（4，2），四边形ABCD是长方形，点C的坐标为（4，1）；（2）A（2，2），B（2，1），D（4，2），AB=2（1）=2+1=3，AD=4（2）=4+2=6，长方形ABCD的周长=2（3+6）=183.如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=_时，PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=_时