福建省厦门市2020届高三毕业班3月线上质量检查（一）数学（理） 含答案.pdf

B A1 B1 C1 O C A x y z 厦门市 2020 届高中毕业班 3 月线上质量检查 数数学学 理科理科 试题 试题参考答案参考答案 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分分 1 5 DBCBC 6 10 AABAB 11 12 DC 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分分 13 27 14 40 15 12 16 2 2 三 解答题 三 解答题 本大题共本大题共 6 小题 共小题 共 70 分分 17 本题主要考查正弦定理 余弦定理和解三角形等知识 考查运算求解能力 考查数形结合 函数与 方程 化归与转化等数学思想 本题满分 12 分 解 1 因为 coscos cosbAcBcaB 所以sin cossincos sinsin cosBACBCAB 2 分 所以sincossincos2sincosBAABCB 即sin 2sincosABCB 3 分 因为在ABC 中 ABC 0 C 所以sin2sincosCCB 且sin0C 4 分 所以 1 cos 2 B 5 分 因为 0 B 所以 3 B 6 分 2 因为22BDDC 所以1BD 2CD 3BC 因为ABC 的面积为3 3 所以 1 3 sin3 3 23 c 解得4c 8 分 由余弦定理得 2222 1 2cos422422 3 32 ADABBDAB BD 9 分 所以 22222 2 2 3 16ADBDAB 即ADBD 10 分 所以 22 13ACADBD 11 分 所以 13 sin 13 CD CAD AC 12 分 18 本题主要考查直线与平面位置关系 利用空间向量法求二面角 考查空间想象能力 推理论证能力 和运算求解能力 考查数形结合思想 转化与化归思想 本题满分 12 分 1 证明 因为AO 平面 11 BBCC 所以 1 AOBC 1 分 因为 1 BCBB 所以四边形 11 BBCC是菱形 所以 11 BCBC 2 分 因为 1 AOBCO 所以 1 BC 平面 1 ABC 4 分 所以 1 BCAB 5 分 2 因为 11 AB与平面 11 BBCC所成的角为30 11 ABAB 所以AB与平面 11 BBCC所成的角为30 因为AO 平面 11 BBCC 所以AB与平面 11 BBCC所成的角为ABO 所以 30ABO 令2BC 则 1 2 3 1BCBOOA 以O为坐标原点 分别以 1 OB OB OA为 x y z轴建立如图空间直角坐标系 6 分 则 0 0 0 O 3 0 0 B 1 0 1 0 B 0 0 1 A 1 3 0 0 C BC A D 因为 111 0 0 1 3 1 0 3 1 1 OAOAAAOABB 所以 1 3 1 1 A 平面 11 BC B的一个法向量为 0 0 1 OA 8 分 设平面 111 BC A的一个法向量为 xzny 则 1 1 11 11 0 0 nAB C Bn 即 30 30 xz xy 令1x 则3y 3z 1 3 3 n 10 分 所以 21 cos 7 n OA n OA nOA 所以二面角 111 ABCB 的余弦值为 21 7 12 分 19 本题考查茎叶图与直方图的应用 考查22 列联表及离散型随机变量的分布列及数学期望等知识 考查数据处理能力 求解运算能力 考查样本估计总体思想 本题满分 12 分 解 1 由题知 女生样本数据中 安全通 为 6 人 非 安全通 为 14 人 男生样本中 安全通 人数为 122010 025 0035 0 人 非 安全通 的人数为 8 人 列出 22 列联表如下 2 分 假设 0 H 安全通 与性别无关 所以 2 K 的观测值为841 3636 3 22182020 141286 40 2 k 4 分 所以没有 95 的把握认为 安全通 与性别有关 5 分 2 由题知 随机选 1 女生为 安全通 的概率为3 0 选 1 男生为 安全通 的概率为6 0 6 分 X的可能取值为 0 1 2 3 4 0784 0 6 01 3 01 0 22 XP 3024 0 6 01 6 0 3 01 6 01 3 01 3 0 1 1 2 221 2 CCXP 221122 22 2 0 3 10 6 0 3 10 3 0 6 10 6 10 3 0 60 3924P XCC 1944 0 6 01 6 03 06 0 3 01 3 0 3 1 2 221 2 CCXP 0324 06 03 0 4 22 XP 9 分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0 0784 0 3024 0 3924 0 1944 0 0324 10 分 所以 0 0 07841 0 30242 0 39243 0 19444 0 03241 8E X 12 分 20 本题主要考查轨迹方程的求法 直线与椭圆的位置关系等知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查数形结合 化归转化思想 本题满分 12 分 解 1 设 P x y 因为点P在线段AB上 且 2 BPPA 所以 3 0 0 3 2 x ABy 2 分 男生 女生 合计 安全通 12 6 18 非安全通 8 14 22 合计 20 20 40 因为 3AB 所以 22 3 3 9 2 x y 即 2 2 1 4 x y 所以点P的轨迹 的方程为 2 2 1 4 x y 5 分 2 设 1122 M x yN xy 当l的斜率存在时 设 l ykxm 由 2 2 1 4 x y ykxm 得 222 41 8440kxkmxm 6 分 所以 222 8 4 41 44 0kmkm 即 22 410km 2 1212 22 844 4141 kmm xxx x kk 7 分 因为直线 QM QN的斜率之和为 2 所以 12 12 11 2 yy xx 所以 12 12 1 22 mxx k x x 即 2 1 2 22 1 mkm k m 所以1mk 9 分 当1mk 时 满足 22 410km 即0 符合题意 此时 1l ykxk 恒过定点 1 1 10 分 当l的斜率不存在时 12 xx 12 yy 因为直线 QM QN的斜率之和为 2 所以 1222 12222 11112 2 yyyy xxxxx 所以 2 1x 此时 1l x 恒过定点 1 1 综上 直线l恒过定点 1 1 12 分 21 本题考查函数的导数与函数的单调性 最值等知识 考查推理论证能力 运算求解能力 考查分类 讨论 函数与方程 化归与转化 数形结合思想 本题满分 12 分 解 1 e2e 2 xx fxaa 2 e 2 e2 e xx x aa 2 分 e2 e1 e xx x a 3 分 当0a 时 0fx f x在R上单调递减 4 分 当0a 时 由 0fx 得 2 lnx a 所以 f x在 2 ln a 上单调递减 5 分 由 0fx 得 2 lnx a 所以 f x在 2 ln a 上单调递增 6 分 综上 当0a 时 f x在R上单调递减 当0a 时 f x在 2 ln a 上单调递减 在 2 ln a 上单调递增 2 解法一 当 2 x 时 22 e2e 2 0 22 faa 即 2 2 2 e 0 2 e a 所以0a 7 分 令 2 cose2e 2 2 cos xx g xf xaxaaxax 则 e2e 2 2 sin xx g xaaax 2 e2 2 2 sin e x x a aax 8 分 若2a 则当 0 x 时 0g x 所以 g x在 0 上单调递增 当 x 时 e2e 2 2 sine2e 2 2 xxxx g xaaaxaaa 2 e2e4440 4 aa 所以当 0 x 时 g x单调递增 所以 0 0g xg 10 分 若02a 则 0 2 2 0ga e2e 2 2 sine2e 2 2 e2e4 xxxxxx g xaaaxaaaa 由e2e40 xx a 得 242 ln0 a x a 所以 242 ln 0 a g a 所以 0 242 0 ln a x a 使得 0 0g x 且当 0 0 xx 时 0g x 所以 g x在 0 0 xx 上单调递减 所以当 0 0 xx 时 0 0g xg 不合题意 综上 a的取值范围为2a 12 分 解法二 当 2 x 时 22 e2e 2 0 22 faa 即 2 2 2 e 0 2 e a 所以0a 7 分 若2a 由 1 知 f x在 2 ln x a 上单调递增 因为2a 所以 2 ln0 a 所以 f x在 0 x 上单调递增 所以当 0 x 时 0 2 2 cosf xfaax 9 分 若02a 令 2 cose2e 2 2 cos xx g xf xaxaaxax 则 e2e 2 2 sin xx g xaaax 2 e2 2 2 sin e x x a aax 10 分 所以 0 2 2 0ga e2e 2 2 sine2e 2 2 e2e4 xxxxxx g xaaaxaaaa 由e2e40 xx a 得 242 ln0 a x a 所以 242 ln 0 a g a 所以 0 242 0 ln a x a 使得 0 0g x 且当 0 0 xx 时 0g x 所以 g x在 0 0 xx 上单调递减 所以当 0 0 xx 时 0 0g xg 不合题意 综上 a的取值范围为2a 12 分 22 本题考查曲线的普通方程 参数方程 极坐标方程等知识 考查运算求解能力 考查数形结合 函 数与方程思想 满分 10 分 1 22cos 2sin x y 为参数 曲线 1 C的普通方程为 2 2 24xy 即 22 40 xyx 2 分 cosx siny 2 4cos0 曲线 1 C的极坐标方程为4cos 5 分 2 依题意设 1 A 2 B 由 4cos 得 1 4cos 由 4sin 得 2 4sin 0 4 12 12 4cos4sinABOAOB 7 分 OM是圆 1 C的直径 2 OAM 在直角OAMr中 4sinAM 8 分 在直角BAMr中 4 AMB ABAM 即4cos4sin4sin 9 分 4cos8sin 即 1 tan 2 10 分 23 本题考查绝对值不等式的性质 解法 基本不等式等知识 考查推理论证能力 运算求解能力 考查化归与转化 分类与整合思想 满分 10 分 解 1 6 2 f 2316aa 即314aa 1 分 当3a 时 不等式化为 314 3 aa a 4a 2 分 当