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图形与证明一、选择题1如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【 】A B C D2如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于【 】A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm 3如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【 】A4个 B6个 C8个 D10个4如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DEAG于点E，BFDE，交AG于点F下列结论不一定成立的是【 】AAEDBFA BDEBF=EF CBGFDAE DDEBG=FG5如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.下列结论：DOC=90 , OC=OE， tanOCD = ， 中，正确的有【 】A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；依次作下去，则第n个正方形AnBnCnDn的边长是【 】（A） （B） （C） （D） 7已知O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与O的交点个数为【 】A0 B1 C2 D无法确定8一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为【 】A30cm2 B25cm2 C50cm2 D100cm29如图，在O中，弦ABCD，若ABC=40，则BOD=【 】A20 B40 C50 D8010如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种侧面展开图，那么在原正方体的表面上，与汉字“美”相对的面上的汉字是【 】A我 B爱 C枣D庄11如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是【 】A、 B、 C、 D、12如图，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得，在C点测得，又测得米，则小岛B到公路l的距离为【 】米BCADlA25BCD二、填空题13如图，ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成的第3个三角形，则第n个三角形的周长为 14如图，菱形ABCD的边长为8cm，A=60，DEAB于点E，DFBC于点F，则四边形BEDF的面积为 _cm2.15如图，在梯形ABCD中，ADBC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且ABAE若AB=5，AE=6，则梯形上下底之和为 16如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，BDDC，点E是BC的中点，且DEAB，则BCD的度数是 17已知：如图，在O中，C在圆周上，ACB=45，则AOB= 18如图，ABC的一边AB是O的直径，请你添加一个条件，使BC是O的切线，你所添加的条件为 19如图，O的半径为6cm，直线AB是O的切线，切点为点B，弦BCAO，若A=30，则劣弧的长为 cm20如图1，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1 S2（用“”、“”或“=”填空）.21如图，在RtABC中，B=90，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是 三、解答题22如图，AF=DC，BCEF，请只补充一个条件，使得ABCDEF，并说明理由23如图，已知ABCD，BC，AC和BD交于点O，E是AD的中点，连接OE(1)求证：AODDOC；(2)求AEO的度数24如图，ABC是边长为3的等边三角形，将ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到DCE，连接BD，交AC于F（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长25如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上（1）将ABC绕点O顺时针旋转90后，得到A1B1C1在网格中画出A1B1C1；（2）求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；（结果保留）（3）求BCC1的正切值26极具特色的“八卦楼”(又称“威镇阁”)是漳州的标志性建筑，它建立在一座平台上为了测量“八卦楼”的高度AB，小华在D处用高1.1米的测角仪CD，测得楼的顶端A的仰角为22o；再向前走63米到达F处，又测得楼的顶端A的仰角为39o(如图是他设计的平面示意图)已知平台的高度BH约为13米，请你求出“八卦楼”的高度约多少米?(参考数据：sin22o，tan220，sin39o，tan39o) 27如图，在梯形ABCD中，ADBC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积28如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D为O上一点，ODAC，垂足为E，连接BD. (1)求证：BD平分ABC；(2) 当ODB=30时，求证：BC=OD.29如图，已知AD为O的直径，B为AD延长线上一点，BC与O切于C点，A=30求证：（1）BD=CD；（2）AOCCDB30如图，PB为O的切线，B为切点，直线PO交于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O于点A，延长AO与O交于点C，连接BC，AF（1）求证：直线PA为O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tanF=，求cosACB的值和线段PE的长参考答案1B。【解析】过点E作EMBC于M，交BF于N。四边形ABCD是矩形，A=ABC=90，AD=BC，EMB=90，四边形ABME是矩形。AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，EGN=A=90，EG=BM。ENG=BNM，ENGBNM（AAS）。NG=NM。E是AD的中点，CM=DE，AE=ED=BM=CM。EMCD，BN：NF=BM：CM。BN=NF。NM=CF=。NG=。BG=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=3。BF=2BN=5。故选B。2A。【解析】菱形ABCD的周长为24cm，边长AB=244=6cm。对角线AC、BD相交于O点，BO=DO。又E是AD的中点，OE是ABD的中位线。OE=AB=6=3（cm）。故选A。3C。【解析】正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=BC=CD=AD，OA=OB=OC=OD，四个角都是直角，ACBD。图中的等腰直角三角形有AOB、AOD、COD、BOC、ABC、BCD、ACD、BDA八个。故选C。4D【解析】四边形ABCD是正方形，AB=AD，ADBC，DEAG，BFDE，BFAG。AED=DEF=BFE=90。BAF+DAE=90，DAE+ADE=90，BAF=ADE。AEDBFA（AAS）。故结论A正确。DE=AF，AE=BF，DEBF=AFAE=EF。故结论B正确。ADBC，DAE=BGF。DEAG，BFAG，AED=GFB=90。BGFDAE。故结论C正确。由ABFAGB得，即。由勾股定理得，。（只有当BAG=300时才相等，由于G是的任意一点，BAG=300不一定），不一定等于，即DEBG=FG不一定成立。故结论D不正确。故选D。5C。【解析】正方形ABCD的边长为4，BC=CD=4，B=DCF=90。AE=BF=1，BE=CF=41=3。在EBC和FCD中，BC=CD，B=DCF，BE=CF，EBCFCD（SAS）。CFD=BEC。BCE+BEC=BCE+CFD=90。DOC=90。故正确。如图，若OC=OE，DFEC，CD=DE。CD=ADDE（矛盾），故错误。OCD+CDF=90，CDF+DFC=90，OCD=DFC。tanOCD=tanDFC=。故正确。EBCFCD，SEBC=SFCD。SEBCSFOC=SFCDS，即SODC=S四边形BEOF。故正确。故选C。6B。【解析】寻找规律：等腰直角三角形OAB中，A=B=450，AA1C1和BB1D1都是等腰直角三角形。AC1=A1C1，BD1=B1D1。又正方形A1B1C1D1中，A1C1=C1D1=B1D1=A1B1，AC1=C1D1=D1B。又AB=1，C1D1=，即正方形A1B1C1D1的边长为。同理，正方形A2B2C2D2的边长为，正方形A3B3C3D3的边长为，正方形AnBnCnDn的边长为。故选B。7C。【解析】首先求得该圆的半径，再根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析判断若dr，则直线与圆相交，直线与圆相交有两个交点；若d=r，则直线于圆相切，直线与圆相交有一个交点；若dr，则直线与圆相离，直线与圆相交没有交点：根据题意，得该圆的半径是6cm，即大于圆心到直线的距离5cm，则直线和圆相交，故直线l与O的交点个数为2。故选C。8B。【解析】根据主视图与左视图可以得到：圆锥的底面直径是10cm，利用圆的面积公式即可求解：根据主视图与左视图可以得到：圆锥的底面直径是10cm，则底面半径是5cm。则此圆锥的底面积为：52=25cm2。故选B。9D。【解析】弦ABCD，ABC=BCD（两直线平行，内错角相等）又ABC=40，BOD=2ABC=240=80（同圆所对圆周角是圆心角的一半）。故选D。10C。【解析】根据正方体及其表面展开图的特点，让“美”字面不动，分别把各个面围绕该面折成正方体，其中面“美”与面“枣”相对，面“爱”与面“丽”相对，面“我”与面“庄”相对。故选C。11B。【解析】将A、B、C、D分别展开，能和原图相对应的即为正确答案：A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；B、展开得到，能和原图相对，故本选项正确；C、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；D、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误。故选B。12B【解析】解：过点B作BEAD于E设BE=xBCD=60，tanBCE，在直角ABE中，AE=，AC=50米，则，解得即小岛B到公路l的距离为，故选B。13。【解析】寻找规律：由已知ABC的周长是32，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，根据三角形中位线定理，第2个三角形的周长为32；同理，第3个三角形的周长为32=32；第4个三角形的周长为32=32；第n个三角形的周长为=32。14。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【解析】如图，连接BD，根据菱形四边相等和对角相等的性质，得AB=AD=CB=CD，C=A=60，ABD和BCD是等边三角形。由DEAB，DFBC，根据等边三角形三线合一的性质，得AE=BE=BF=CF。ADE、BDE、BDF和CDF全等。四边形BEDF的面积=ABD的面积。由A=60，菱形ABCD的边长为8cm，得DE=4cm。四边形BEDF的面积=ABD的面积=（cm2）。1513。【解析】在梯形ABCD中，ADBC，F=DAE，ECF=D。E是CD的中点，DE=CE。在ADE和FCE中，DAE=F，D=ECF，DE=CE，ADEFCE（AAS）。CF=AD，EF=AE=6。AF=AE+EF=12。ABAE，BAF=90。AB=5，。1660。【解析】BDAC，点E是BC的中点，DE是RtBDC的中线，DE=BE=EC=BC.DEAB，ADBC，四边形ABED是菱形。AB=DE。四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD。DE =EC= CD。DEC是等边三角形。BCD=60。1790。【解析】由在O中，C在圆周上，ACB=45，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得AOB的度数：在O中，C在圆周上，ACB=45，AOB=2ACB=245=90。18ABC=90（答案不唯一）。【解析】根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，从而得出答案即可： 当ABC为直角三角形时，即ABC=90时，BC与圆相切。故添加的条件可以是ABC=90，或ABBC等，答案不唯一。19。【解析】根据切线的性质可得出OBAB，从而求出BOA的度数，利用弦BCAO，及OB=OC可得出BOC的度数，代入弧长公式即可得出答案：直线AB是O的切线，OBAB（切线的性质）。又A=30，BOA=60（直角三角形两锐角互余）。弦BCAO，CBO=BOA=60（两直线平行，内错角相等）。又OB=OC，OBC是等边三角形（等边三角形的判定）。BOC=60（等边三角形的每个内角等于60）。又O的半径为6cm，劣弧的长=（cm）。20。【解析】结合图形发现：图1阴影部分的面积等于等于矩形ACDF的面积，图2每个阴影部分正好是它所在的圆的四分之一，则阴影部分的面积大圆面积的四分之一。计算出结果后再比较S1与S2的大小即可：正方形OCDE的边长为1，根据勾股定理得OD=， AO=。AC=AOCO= 1。大圆面积=r2=。 ，S1S2。2148。【解析】取AC的中点O，过点O作MNEF，PQEH，四边形EFGH是矩形，EHPQFG，EFMNGH，E=H=90。PQEF，PQGH，MNEH，MNFG。ABEF，BCFG，ABMNGH，BCPQFG。AL=BL，BK=CK。OL=BC=8=4，OK=AB=6=3，矩形EFGH的各边分别与半圆相切，PL=AB=6=3，KN=BC=8=4。在RtABC中，OM=OQ=AC=5。EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，矩形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48。22补充条件：EF=BC，可使得ABCDEF，理由见解析【解析】解：补充条件：EF=BC，可使得ABCDEF。理由如下：AF=DC，AF+FC=DC+FC，即：AC=DF。BCEF，EFD=BCA。在EFD和BCA中， BC = EF，BCAD=EF，AC = DF，ABCDEF（SAS）首先由AF=DC可得AC=DF，再由BCEF根据两直线平行，内错角相等可得EFD=BCA，再加上条件EF=BC即可利用SAS证明ABCDEF；再加上条件A=D或B=E即可利用AAS证明ABCDEF。还可加上条件ABED等。答案不唯一。23（1）证明见解析(2) AEO=90【解析】解：（1）证明：在AOB和COD中，BC，AOB=DOC，AB=DC， AOBCOD（AAS）。（2）AOBCOD，AO=DO。E是AD的中点，OEAD。AEO=90。（1）由已知可以利用AAS来判定其全等；（2）根据全等三角形对应边相等的性质得AO=DO，再根据等腰三角形三线合一的性质即可求得AEO=90。24（1）ACBD，证明见解析（2）【解析】解：（1）ACBD。证明如下：DCE由ABC平移而成，DCEABC。又ABC是等边三角形，BC=CD=CE=DE，E=ACB=60。DBC=BDC=30。BDE=90。BDDE，E=ACB=60，ACDE。BDAC。（2）在RtBED中，BE=6，DE=3，。（1）由平移的性质可知DCEABC。故可得出BDDE，由E=ACB=60可知ACDE，故可得出结论。（2）在RtBDE中利用勾股定理即可得出BD的长。25（1）见解析（2）（3）【解析】解：（1）画图如下：（2）由勾股定理得， 线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，为圆心角的扇形，。答：线段OA在旋转过程中扫过的图形面积为（3）在Rt中，。 答：BCC1的正切值是。（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可。（2）先根据勾股定理求出OA的长，再根据线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，AOA1为圆心角的扇形，利用扇形的面积公式得出结论即可。（3）直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论。2638.5米【解析】解：在RtACG中，tan22=，CG=AG。 在RtACG中tan39=，EG=AG。 CGEG=CEAGAG=63。AG=50.4。 GH=CD=1.1，BH=13，BG=131.1=11.9。AB=AGBG=50.411.9=38.5（米）。 答：“八卦楼”的高度约为38.5米。先根据锐角三角函数的定义用AG表示出CG及EG的长，再根据CGEG=CE，求出AG的长，再由GH=CD=1.1，BH=13可求出BG的长，由AB=AGBG即可得出结论。 27（1）证明见解析（2）当ABAC时，四边形AECD是菱形，理由见解析【解析】解：（1）证明：ADBC，DEC=EDA，BEA=EAD。又EA=ED，EAD=EDA。DEC=AEB。又EB=EC，DECAEB（SAS）。AB=CD。梯形ABCD是等腰梯形。（2）当ABAC时，四边形AECD是菱形。理由如下：E为BC的中点，BC=2AD，BE=EC=AD。又ADBC，四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形。AB=ED。ABAC，AE=BE=EC。四边形AECD是菱形。过A作AGBE于点G，AE=BE=AB=2，ABE是等边三角形。AEB=60，AG=。S菱形AECD=ECAG=2=2。（1）由ADBC，由平行线的性质，可证得DEC=EDA，BEA=EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得EAD=EDA，则可得DEC=AEB，从而证得DECAEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形。（2）由ADBC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由ABAC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形。过A作AGBE于点G，易得ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，从而求得菱形AECD的面积。28证明见解析【解析】证明：（1）ODAC OD为半径，。CBD=ABD。 BD平分ABC。（2）OB=OD，ODB=30，OBD=ODB=30。AOD=OBD+ODB=30+30=60。又ODAC于E，OEA=90。A=180OEAAOD=1809060=30。又AB为O的直径，ACB90。在RtACB中，BC=AB 。OD=AB，BC=OD。（1）由ODAC OD为半径，根据垂径定理，即可得 ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分ABC。（2）由OB=OD，根据等腰三角形等边对等角的性质，求得AOD的度数；由ODAC于E，可求得A的度数，然后由AB是O的直径，根据圆周角定理，可得ACB=90，从而根据含300角直角三角形中300角所对直角边是斜边一半的性质，可证得BC=OD。29证明见解析【解析】证明：（1）AD为O的直径，ACD=90。又A=30，OA=OC=OD，ACO=30，ODC=OCD=60。又BC与O切于C，OCB=90，BCD=30。B=30。BCD=B。BD=CD。 （2）A=ACO=BCD=B=30，AC=BC。在AO