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独立重复试验与二项分布 复习 A B两个事件 若P AB P A P B 则称A事件与B事件是相互独立的 n个事件A1 A2 An相互独立 n个事件同时发生的概率 P A1A2 An P A1 P A2 P An 问题 在相同的条件下做两次掷硬币试验 会出现的事件都有哪些 第一次正面向上 A1 第一次反面向上 A2 第二次正面向上 B1 第二次反面向上 B2 上面的事件中那些是相互独立的 A1B1A1B2A2B1A2B2第一次掷硬币试验的结果会影响第二次掷硬币试验的结果吗 第一次掷硬币试验和第二次掷硬币试验是不是独立的 问题 如何研究试验之间的独立性 通过两次试验中出现的事件的独立性来说明试验的独立性 一般的 在相同的条件下做试验 各次试验的结果不会受其他试验结果的影响 也就是说各次试验都是相互独立的 每次试验的条件相同试验中所有可能出现的基本事件相同 所有可能出现得基本事件的总数保持不变 各个基本事件出现的可能性 即发生的概率 保持不变 n次独立重复试验 一般地 在相同条件下重复做n次试验称为n次独立重复试验 independentandrepeatedtrials 从以前学过的的概率模型中举出n次独立重复试验例子 n次独立重复试验在我们在前面研究概率的时候就是通过做n次独立重复试验来发现规律的 因为随机事件的规律只有在大量的独立重复试验中才可以显现 n次掷一枚硬币试验 n次掷一枚骰子的试验 n次掷多枚骰子的试验 n次独立重复试验计算机随机模拟求概率都是通过在相同的条件下 分n次取随机数得到的 每次取的随机数不受其他次取随机数的影响 所以做的是n次独立重复的试验 用试验方法研究生物的遗传机理时 是在相同的条件下 做n次独立重复试验进行研究的 研究几何概型时 用圆转盘模拟的试验 也是在相同的条件下做的n次独立重复试验 由试验中出现的事件的独立性可以推出试验的独立性 那么知道在相同的条件n次重复试验是相互独立的 便也可以得到n次试验中各次出现的n个事件是相互独立的 用Ai表示第i次试验中出现的事件 i 1 2 3 n 由n个事件相互独立则满足 问题 试验的独立性能不能得出事件的独立性 最简单的n次独立重复试验 n次独立重复伯努利试验 伯努利分布 0 1分布或两点分布 随机变量X的分布列如图所示 那么X服从两点分布 P X 1 p为成功概率 伯努利试验 一次试验中只出现两个可能的结果的试验 所以一次伯努利试验中 随机变量X服从伯努利分布 产品抽样中检验是正品还是次品检验电子管的寿命是大于5000h还是小于5000h篮球明星投篮是否命中动物在某次大瘟疫中是否患病 伯努利试验在现实生活中出现的很广泛 很多现象为了研究方便也都先转换成伯努利试验再进行研究 伯努利试验的实例 例如 N件产品有M件废品 进行n次有放回的抽样检查 则每次抽样就是一次伯努利试验 有放回的抽取表示每次试验都是在相同的条件下进行的 则n次有放回抽样可以看做是一个n次独立重复的伯努利试验 在相同的条件下做n次伯努利试验就得到了n次独立重复的伯努利试验 如何确定抽得k k M 件废品的可能性大小呢 射击手射击时 射中九环的次数的概率 投掷硬币n次 k次正面朝上的概率 同时发射n枚炮弹 k枚发射成功的概率 在实际应用中n次独立重复的伯努利试验我们往往关心的特定事件出现特定次数的可能性大小 我们以第二节掷一枚图钉的随机试验中为例 随机变量X X 1表示针尖向上 X 0表示针尖向下 是服从伯努利分布的 设针尖向上的概率为p 则针尖向下的概率为q 1 p 现在连续掷一枚图钉三次 就是做三次独立重复的伯努利试验 求仅出现一次针尖向上的概率 如何求上述问题可能性的大小 问题 由于事件彼此互斥 由概率加法公式得 所以 连续掷一枚图钉3次 仅出现1次针尖向上的概率是 用表示第i次掷得针尖向上的事件 用表示 仅出现一次针尖向上 的事件 则 类似地 能不能得到连续掷3次图钉 恰好出现2次针尖向上的概率 恰好出现3次针尖向上的概率 能发现其中有什么规律吗 表示事件 连续掷一枚图钉三次 出现k次针尖向上 类似前面的讨论 可以得到 能不能猜想出连续投掷同样的图钉n次 所表示的事件 连续掷一枚图钉n次 出现k次针尖向上 的概率 那么如何来证明这个结论呢 问题 n 3时 P X k 问题 证明 证明 一般地 在n次独立重复伯努利试验中 设事件A发生的次数为X 在每次试验中事件A发生的概率为p 那么在n次独立重复试验中 事件A恰好发生k次的概率为 此时称随机变量X服从二项分布 binomialdistribution 记作X B n p 并称p为成功概率 如果随机变量X表示n次独立重复伯努利试验中某一特定事件A发生的次数 则X服从二项分布 X B n p I 共进行了n次试验II 每次试验仅仅只有两种试验结果 即每次试验都是伯努利试验 III 事件A在每次试验中出现的概率p保持不变 即是在相同的条件下进行的 IV 各次试验相互独立 即一次试验的结果不对其他试验的结果构成影响 问题 具有什么特点的随机变量X是服从二项分布 下列事件是不是符合二项分布 投掷三枚骰子n次 三枚骰子的点数加起来是奇数的次数X 某篮球明星连续投篮n次命中的次数X 用计算器取0 1之间的随机数100次 取得的随机数大于1 3次数X 某地区居民中四种血型的百分比是固定的 那么从此地居民中抽n次 抽出O型血的人次数X 某射击运动员每次射击集中目标的概率恒定 他射击了20次 第4次击中目标发生在第X次 随机变量为X 抛掷两个骰子 当至少有一个5点或一个6点出现时 就说试验成功 则在54次试验中成功次数X 如果随机变量X满足以上条件则服从二项分布 则X的概率分布列可由以下式子得到 k 0 1 2 n 思考一 大家观察这个公式和二项式定理有什么联系 思考二 二项分布和两点分布有何关系 p a 1 p b 则二项分布的概率公式就是二项式定理中二项展开式的通项 可以很方便的检验分布列的性质 两点分布式特殊的二项分布 即是n 1的二项分布 即X B 1 p 用二项分布解决一些实际的问题了 例一 某射手每次射击击中目标的概率是0 8 求这名射手在10次射击中 1 恰有8次击中目标的概率 2 至少有8次击中目标的概率 结果保留两个有效数字 解 设X为击中目标的次数 则X B 10 0 8 1 在十次射击中 恰有8次击中目标的概率为 2 在十次射击中 至少有8次击中目标的概率为 总结 1 判断一次试验是否是伯努利试验 2 每次是否相同的条件下进行 3 随机变量是否表示的是某种特定事件A发生的次数 1 全部成活的概率为 2 全部死亡的概率为 3 至少成活4棵的概率 练习 种植某种树苗 成活率为0 9 现在种植这种树苗5棵 试求 例2 刘备手下有个9名谋士组成的智囊团 假定对某事进行决策时 每名谋士贡献正确意见的概率为0 7 诸葛亮贡献正确决策的概率为0 9 现对某事决策 有两种方案 一 征求谋士意见 按多数人的意见做决策 二 采纳诸葛亮的意见 则应按哪种方案做决策 解 按照第二种方案得到正确而决策的概率为0 9按照第一中方案要得到正确的决策 将每个谋士决策一次 能不能看成一次伯努利试验 每个谋士的到正确决策的概率是否相同 那么9个谋士做决策就可以看成是在相同的条件下 做n次相同的伯努利试验 要少数服从多数 意思就是9次独立重复的伯努利试验中做出正确决策的的次数大于五次 我们设随机变量X做出正确决策的次数 那么随机变量X服从二项分布 第一种方案做出正确决策的的概率为 例三 人在一年365日中的某一日出生的概率相同 那么一个班69个人有两个以上的人生日是今天的概率是多少 分析题意 目的是求生日是今天的人数大于等于二的概率 每个人的生日在今天的概率都为1 365 从班里随机抽一个人出来 判断他的生日 是今天 不是今天 就是一个伯努利试验 判断全班人的生日是今天 不是今天 就是一个69次的独立重复伯努利试验 解 用随机变量X表示生日是今天的人数 则X服从二项分布 思考 那么一个班69人中 存在两个人生日相同的概率 再看课本上的例四 随机变量X为击中目标的次数 是服从二项分布的 X B 10 0 8 于是我们根据二项分布的概率公式可以得到随机变量X的分布列 在计算分布列的过程运算量比较大 这里我们可以EXCEL来简化计算 得到分布列 练习 某宽带主机有20个终端 这些终端被各个部门独立操作 使用率各为0 7 求有十个或更多个终端同时