高考数学各地模拟汇编---数学柯西不等式与排序不等式.doc

2014年12月28日高中数学柯西不等式与排序不等式一解答题（共30小题）1（2014福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x2|的最小值为a（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r232（2014漳州三模）设函数f（x）=|x4|+|x3|，（）求f（x）的最小值m（）当a+2b+3c=m（a，b，cR）时，求a2+b2+c2的最小值3（2014福建模拟）已知关于x的不等式：|2xm|1的整数解有且仅有一个值为2（）求整数m的值；（）已知a，b，cR，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值4（2014泉州模拟）设函数f（x）=+的最大值为M（）求实数M的值；（）求关于x的不等式|x1|+|x+2|M的解集5（2014河南模拟）已知a，b，cR，a2+b2+c2=1（）求证：|a+b+c|；（）若不等式|x1|+|x+1|（ab+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围6（2014泉州模拟）已知不等式|t+3|t2|6mm2对任意tR恒成立（）求实数m的取值范围；（）若（）中实数m的最大值为，且3x+4y+5z=，其中x，y，zR，求x2+y2+z2的最小值7（2014福建模拟）已知ab0，且m=a+（）试利用基本不等式求m的最小值t；（）若实数x，y，z满足x+y+z=3且x2+4y2+z2=t，求证：|x+2y+z|38（2014徐州模拟）已知a，b，c均为正数，且a+2b+4c=3，求的最小值，并指出取得最小值时a，b，c的值9（2014南京三模）已知a，b，cR，a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最大值10（2014宿迁模拟）已知不等式|x+1|4的解集为A，记A中的最大元素为T，若正实数a，b，c满足a2+b2+c2=T，求a+2b+c的最大值11（2014宁德模拟）已知函数f（x）=|x4|（）若f（x）2，求x的取值范围；（）在（）的条件下，求g（x）=2+的最大值12（2014厦门二模）已知a，b，cR，且a+b+c=3，a2+b2+c2的最小值为M（）求M的值；（）解关于x的不等式|x+4|x1|M13（2014盐城三模）设x，y，zR，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，求证：x+y+z=14（2014徐州三模）已知x，y，zR，且x+2y+3z+8=0求证：（x1）2+（y+2）2+（z3）21415（2014福建模拟）若a，b，cR+，且满足a+b+c=2（）求abc的最大值；（）证明：+16（2014江苏模拟）选修45：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值17（2014泰州模拟）若不等式|a1|x+2y+2z对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围18（2014南通模拟）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求+的最大值19（2013福建一模）已知函数f（x）=2+（）求证：f（x）5，并说明等号成立的条件；（）若关于x的不等式f（x）|m2|恒成立，求实数m的取值范围20（2013厦门模拟）（）证明二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2（a，b，c，dR）；（）若实数x，y，z满足x2+y2+z2=3，求x+2y2z的取值范围21（2013徐州三模）不等式选讲：已知x，y，zR，且x2y3z=4，求x2+y2+z2的最小值22（2013江苏一模）（选修45：不等式选讲）已知a，b，c都是正数，且a+2b+3c=6，求的最大值23（2012焦作一模）已知|x2y|=5，求证：x2+y2524（2012盐城一模）已知x、y、z均为正数，求证：25（2012浙江模拟）已知函数f（x）的定义域为a，b，且f（a）=f（b），对于定义域内的任意实数x1，x2（x1x2）都有|f（x1）f（x2）|x1x2|（1）设S=（x+y3）2+（1x）2+（62yx）2，当且仅当x=a，y=b时，S取得最小值，求a，b的值；（2）在（1）的条件下，证明：对任意x1，x2a，b，有|f（x1）f（x2）|成立26（2012焦作模拟）选修45：不等式选讲已知|x2y|=5，求证：x2+y2527（2011辽宁二模）（选做题）已知x2+3y2+4z2=2，求证：|x+3y+4z|428（2010福建模拟）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，求a的取值范围29已知3x2+2y26，求2x+y的最大值30已知正实数a、b、c满足条件a+b+c=3，（） 求证：；（）若c=ab，求c的最大值参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2014福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x2|的最小值为a（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r23考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法菁优网版权所有专题：计算题；证明题；不等式的解法及应用分析：（1）由绝对值不等式|a|+|b|ab|，当且仅当ab0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）（ad+be+cf）2，即可证得解答：（1）解：|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|=3，当且仅当1x2时，等号成立，f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）（p1+q1+r1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r23点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想2（2014漳州三模）设函数f（x）=|x4|+|x3|，（）求f（x）的最小值m（）当a+2b+3c=m（a，b，cR）时，求a2+b2+c2的最小值考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法菁优网版权所有专题：选作题；不等式选讲分析：（）法1：f（x）=|x4|+|x3|（x4）（x3）|=1，可得函数f（x）的最小值；法2：写出分段函数，可得函数f（x）的最小值；（）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）（a+2b+3c）2=1解答：解：（）法1：f（x）=|x4|+|x3|（x4）（x3）|=1，故函数f（x）的最小值为1m=1（4分）法2：（1分）x4时，f（x）1；x3时，f（x）1，3x4时，f（x）=1，（3分）故函数f（x）的最小值为1m=1（4分）（）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）（a+2b+3c）2=1（5分）故a2+b2+c2（6分）当且仅当时取等号（7分）点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查二维形式的柯西不等式，属于中档题3（2014福建模拟）已知关于x的不等式：|2xm|1的整数解有且仅有一个值为2（）求整数m的值；（）已知a，b，cR，若4a4+4b4+4c4=m，求a2+b2+c2的最大值考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：（I）由条件可得 ，求得3m5根据不等式仅有一个整数解2，可得整数m的值（2）根据a4+b4+c4=1，利用柯西不等式求得（a2+b2+c2）23，从而求得a2+b2+c2的最大值解答：解：（I）由|2xm|1，得 不等式的整数解为2，3m5又不等式仅有一个整数解2，m=4（2）由（1）知，m=4，故a4+b4+c4=1，由柯西不等式可知；（a2+b2+c2）2（12+12+12）（a2）2+（b2）2+（c2）2所以（a2+b2+c2）23，即，当且仅当时取等号，最大值为点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题4（2014泉州模拟）设函数f（x）=+的最大值为M（）求实数M的值；（）求关于x的不等式|x1|+|x+2|M的解集考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：（）根据函数f（x）=+=+=3，求得实数M的值（）关于x的不等式即|x1|+|x+2|3，由绝对值三角不等式可得|x1|+|x+2|3，可得|x1|+|x+2|=3根据绝对值的意义可得x的范围解答：解：（）函数f（x）=+=+=3，当且仅当=，即 x=4时，取等号，故实数M=3（）关于x的不等式|x1|+|x+2|M，即|x1|+|x+2|3由绝对值三角不等式可得|x1|+|x+2|（x1）（x+2）|=3，|x1|+|x+2|=3根据绝对值的意义可得，当且仅当2x1时，|x1|+|x+2|=3，故不等式的解集为2，1点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题5（2014河南模拟）已知a，b，cR，a2+b2+c2=1（）求证：|a+b+c|；（）若不等式|x1|+|x+1|（ab+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围考点：二维形式的柯西不等式；函数恒成立问题菁优网版权所有专题：选作题；不等式选讲分析：（）利用柯西不等式得，（a+b+c）2（12+12+12）（a2+b2+c2）=3；（）同理，（ab+c）212+（1）2+12（a2+b2+c2）=3，问题等价于|x1|+|x+1|3解答：解：（）由柯西不等式得，（a+b+c）2（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以a+b+c所以：|a+b+c|； （5分）（）同理，（ab+c）212+（1）2+12（a2+b2+c2）=3 （7分）若不等式|x1|+|x+1|（ab+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则|x1|+|x+1|3，解集为（，+） （10分）点评：本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，正确运用柯西不等式是关键6（2014泉州模拟）已知不等式|t+3|t2|6mm2对任意tR恒成立（）求实数m的取值范围；（）若（）中实数m的最大值为，且3x+4y+5z=，其中x，y，zR，求x2+y2+z2的最小值考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：（）由条件利用绝对值三角不等式求得|t+3|t2|的最大值，可得6mm25，由此求得实数m的取值范围（）由题意可得 =5，3x+4y+5z=5，再根据（x2+y2+z2）（32+42+52）25，求得x2+y2+z2的最小值解答：解：（）|t+3|t2|（t+3）（t2）|=5，不等式|t+3|t2|6mm2对任意tR恒成立，可得6mm25，求得1m5，或m5，即实数m的取值范围为m|1m5（）由题意可得 =5，3x+4y+5z=5（x2+y2+z2）（32+42+52）（3x+4y+5z）2=25，当期仅当=时，等号成立，即x=，y=，z= 时，取等号50（x2+y2+z2）25，x2+y2+z2，即x2+y2+z2的最小值为，点评：本题主要考查绝对值三角不等式，柯西不等式的应用，属于基础题7（2014福建模拟）已知ab0，且m=a+（）试利用基本不等式求m的最小值t；（）若实数x，y，z满足x+y+z=3且x2+4y2+z2=t，求证：|x+2y+z|3考点：二维形式的柯西不等式；基本不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：（）由条件根据m=a+=（ab）+b+，利用基本不等式求得m的最小值（）由条件利用柯西不等式求得当且仅当x=z=，y=时，9（x+2y+z）2 成立，从而证得结论解答：解：（）ab0，ab0，m=a+=（ab）+b+=3（当且仅当ab=b=，即b=1，a=2时取“=”号），m的最小值t=3（）x+y+z=3，且x2+4y2+z2=t，由柯西不等式得：且x2+（2y）2+z2（1+1+1）（x+2y+z）2，（当且仅当=，即 x=z=，y=，时取“=”号）整理得：9（x+2y+z）2，：|x+2y+z|3点评：本题主要考查基本不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想，属于中档题8（2014徐州模拟）已知a，b，c均为正数，且a+2b+4c=3，求的最小值，并指出取得最小值时a，b，c的值考点：二维形式的柯西不等式菁优网版权所有专题：选作题；不等式选讲分析：由a+2b+4c=3，可得（a+1）+2（b+1）+4（c+1）=10，由柯西不等式可得（a+1）+2（b+1）+4（c+1）+（1+2）2，即可得出结论解答：解：a+2b+4c=3，（a+1）+2（b+1）+4（c+1）=10，a，b，c均为正数，由柯西不等式可得（a+1）+2（b+1）+4（c+1）+（1+2）2，当且仅当（a+1）2=2（b+1）2=4（c+1）2，等号成立，+，2（c+1）+2（c+1）+4（c+1）=10，c=，b=，a=点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题9（2014南京三模）已知a，b，cR，a2+2b2+3c2=6，求a+b+c的最大值考点：二维形式的柯西不等式菁优网版权所有专题：计算题；不等式选讲分析：考虑到柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）（ax+by+cz）2的应用，构造出柯西不等式求出（a+b+c）2的最大值开方即可得到答案解答：解：因为已知a、b、c是实数，且a2+2b2+3c2=6，根据柯西不等式（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）（ax+by+cz）2故有（a2+2b2+3c2）（1+）（a+b+c）2故（a+b+c）211，即a+b+c的最大值为，当且仅当a=2b=3c=时，等号成立点评：此题主要考查一般形式的柯西不等式的应用，对于此类题目很多同学一开始就想到应用参数方程求解，这个方法可行但是计算量较高，而应用柯西不等式求解较简单，同学们需要很好的理解掌握10（2014宿迁模拟）已知不等式|x+1|4的解集为A，记A中的最大元素为T，若正实数a，b，c满足a2+b2+c2=T，求a+2b+c的最大值考点：二维形式的柯西不等式菁优网版权所有专题：计算题；不等式的解法及应用分析：首先求出解集A，求出最大元素3，再运用柯西不等式：（ad+be+cf）2（a2+b2+c2）（d2+e2+f2），注意等号成立的条件：解答：解：不等式|x+1|4的解集A是5，3，A中的最大元素为3，即T=3，a2+b2+c2=T=3，由柯西不等式得（a+2b+c）2（12+22+12）（a2+b2+c2）=18，a，b，c均为正数，a+2b+3c3，当且仅当即a=，b=，c=时，a+2b+c的最大值为3点评：本题主要考查柯西不等式及运用，注意等号成立的条件，同时考查绝对值不等式的解法，是一道基础题11（2014宁德模拟）已知函数f（x）=|x4|（）若f（x）2，求x的取值范围；（）在（）的条件下，求g（x）=2+的最大值考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：（）解绝对值不等式f（x）2，求得x的取值范围（）由即2x6 可得 g（x）=2+，利用柯西不等式，求得g（x）的最大值解答：解：（）由已知得，|x4|2，即2x42，即2x6，即x的范围为2，6（）由即2x6 可得 g（x）=2+，由柯西不等式，得g（x）=2当且仅当 = 即x=时，g（x）的最大值为2点评：本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想12（2014厦门二模）已知a，b，cR，且a+b+c=3，a2+b2+c2的最小值为M（）求M的值；（）解关于x的不等式|x+4|x1|M考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：（）由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（1+1+1）（a+b+c）2=9，从而求得a2+b2+c2的最小值为M（）把不等式|x+4|x1|3等价转化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求解答：解：（）由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（1+1+1）（a+b+c）2=9，故a2+b2+c2 3，即a2+b2+c2的最小值为M=3（）由不等式|x+4|x1|3，可得 ，或 ，或 解求得 x，解求得 0x1，解求得x1，综上可得，不等式的解集为0，+）点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题13（2014盐城三模）设x，y，zR，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，求证：x+y+z=考点：二维形式的柯西不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：由条件利用二维形式的柯西不等式求得x、y、z的值，从而证得x+y+z=解答：证明：14=（x+2y+3z）2（12+22+32）（x2+y2+z2）=14，z=3x，y=2x，又，x=，y=，z=，点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题14（2014徐州三模）已知x，y，zR，且x+2y+3z+8=0求证：（x1）2+（y+2）2+（z3）214考点：二维形式的柯西不等式菁优网版权所有专题：证明题；不等式选讲分析：由柯西不等式，可得：（x1）2+（y+2）2+（z3）2（12+22+32）（x1）+（y+2）+（z3）2=（x+2y+3z6）2，即可得出结论解答：证明：因为：（x1）2+（y+2）2+（z3）2（12+22+32）（x1）+（y+2）+（z3）2=（x+2y+3z6）2=142，（8分）当且仅当，即x=z=0，y=4时，取等号，所以：（x1）2+（y+2）2+（z3）214 （10分）点评：此题主要考查一般形式的柯西不等式的应用，考查学生分析解决问题的能力15（2014福建模拟）若a，b，cR+，且满足a+b+c=2（）求abc的最大值；（）证明：+考点：二维形式的柯西不等式菁优网版权所有专题：选作题；不等式选讲分析：（）利用基本不等式，可求abc的最大值；（）利用柯西不等式，即可证明解答：（）解：因为a，b，cR+，所以2=a+b+c3，故abc（3分）当且仅当a=b=c=时等号成立，所以abc的最大值为（4分）（）证明：因为a，b，cR+，且a+b+c=2，所以根据柯西不等式，可得+=（a+b+c）（+） （5分）=（+）2=所以+（7分）点评：本小题主要考查平均值不等式、柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力，考查化归与转化思想16（2014江苏模拟）选修45：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值考点：一般形式的柯西不等式菁优网版权所有专题：计算题分析：利用柯西不等式，即可求得的最小值解答：解：正数a，b，c满足a+b+c=1，（）（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）（1+1+1）2，即当且仅当a=b=c=时，取等号当a=b=c=时，的最小值为1点评：本题考查求最小值，解题的关键是利用柯西不等式进行求解，属于中档题17（2014泰州模拟）若不等式|a1|x+2y+2z对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围考点：一般形式的柯西不等式菁优网版权所有专题：综合题分析：不等式|a1|x+2y+2z恒成立，只要|a1|（x+2y+2z）max，利用柯西不等式9=（12+22+22）（x2+y2+z2）（1x+2y+2z）2求出x+2y+2z的最大值，再解关于a的绝对值不等式即可解答：解：由柯西不等式9=（12+22+22）（x2+y2+z2）（1x+2y+2z）2即x+2y+2z3，当且仅当 且x2+y2+z2=1取等号，即 x=，y=，z=时，x+2y+2z取得最大值3不等式|a1|x+2y+2z，对满足x2+y2+z2=1的一切实数x，y，z恒成立，只需|a1|3，解得a13或a13，a4或a2即实数的取值范围是（，24，+）点评：本题考查柯西不等式的应用，考查运算能力和运用所学知识解决问题的能力18（2014南通模拟）已知a、b、c均为正实数，且a+b+c=1，求+的最大值考点：一般形式的柯西不等式菁优网版权所有专题：计算题；不等式选讲分析：根据柯西不等式（x1y1+x2y2+x3y3）2（x12+x22+x32）（y12+y22+y32），将原式进行配凑并结合已知条件a+b+c=1加以计算，即可得到+的最大值解答：解：因为a、b、c0，所以（+）2=（1+1+1）2（a+1）+（b+1）+（c+1）（1+1+1）=12，3分于是+2，当且仅当=，即a=b=c=时，取“=”所以，+的最大值为210分点评：本题给出三个正数满足a+b+c=1，求+的最大值考查了利用柯西不等式求最值的方法，属于中档题19（2013福建一模）已知函数f（x）=2+（）求证：f（x）5，并说明等号成立的条件；（）若关于x的不等式f（x）|m2|恒成立，求实数m的取值范围考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式菁优网版权所有专题：选作题；不等式选讲分析：（）由柯西不等式可得（2+）2（22+12）（）2+（）2=25，即可得证；（）关于x的不等式f（x）|m2|恒成立，等价于|m2|5，即可求出实数m的取值范围解答：（）证明：由柯西不等式可得（2+）2（22+12）（）2+（）2=25f（x）=2+5，当且仅当，即x=4时等号成立；（）解：关于x的不等式f（x）|m2|恒成立，等价于|m2|5，m7或m3点评：本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（2013厦门模拟）（）证明二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2（a，b，c，dR）；（）若实数x，y，z满足x2+y2+z2=3，求x+2y2z的取值范围考点：二维形式的柯西不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：（I）用作差比较法证明（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2成立（II）利用柯西不等式求得 （x+2y2z）227，可得x+2y2z的取值范围解答：解：（I）证明：（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2 =a2d22adbc+b2c2=（adbc）20，（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2成立，当且仅当ad=bc时取得等号（II）（x+2y2z）2（x2+y2+z2）（12+22+（2）2） 39=27，点评：本题主要考查用作差比较法证明不等式，柯西不等式的应用，属于基础题21（2013徐州三模）不等式选讲：已知x，y，zR，且x2y3z=4，求x2+y2+z2的最小值考点：一般形式的柯西不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：利用题中条件：“x2y3z=4”构造柯西不等式：x+（2）y+（3）z212+（2）2+（3）2（x2+y2+z2），利用这个条件进行计算即可解答：解：由柯西不等式，得x+（2）y+（3）z212+（2）2+（3）2（x2+y2+z2），即（x2y3z）214（x2+y2+z2），（5分）即1614（x2+y2+z2）所以，即x2+y2+z2的最小值为（10分）点评：本题考查柯西不等式在函数极值中的应用，关键是利用：x+（2）y+（3）z212+（2）2+（3）2（x2+y2+z2）22（2013江苏一模）（选修45：不等式选讲）已知a，b，c都是正数，且a+2b+3c=6，求的最大值考点：一般形式的柯西不等式；平均值不等式菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：利用柯西不等式，结合a+2b+3c=6，即可求得的最大值解答：解：由柯西不等式可得（）212+12+12（）2+（）2+（）2=393，当且仅当时取等号的最大值是3故最大值为3点评：本题考查最值问题，考查柯西不等式的运用，考查学生的计算能力，属于基础题23（2012焦作一模）已知|x2y|=5，求证：x2+y25考点：二维形式的柯西不等式菁优网版权所有专题：选作题；不等式选讲分析：根据柯西不等式，得5（x2+y2）|x2y|2，结合已知等式|x2y|=5，得x2+y25，再利用不等式取等号的条件加以检验即可解答：证明：由柯西不等式，得（x2+y2）12+（2）2（x2y）2即5（x2+y2）（x2y）2=|x2y|2|x2y|=5，5（x2+y2）25，化简得x2+y25当且仅当2x=y时，即x=1，y=2时，x2+y2的最小值为5不等式x2+y25成立点评：本题给出条件等式，叫我们证明不等式恒成立，考查了运用柯西不等式证明不等式恒成立和不等式的等价变形等知识，属于基础题24（2012盐城一模）已知x、y、z均为正数，求证：考点：一般形式的柯西不等式菁优网版权所有专题：证明题分析：已知x、y、z均为正数，根据柯西不等式（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）（a1b1+a2b2+a3b3）2，可得然后进行化简，从而进行证明解答：证明：由柯西不等式得（5分）则，即（10分）点评：此题主要是柯西不等式的应用，只是进行简单的变形而已，此题比较简单25（2012浙江模拟）已知函数f（x）的定义域为a，b，且f（a）=f（b），对于定义域内的任意实数x1，x2（x1x2）都有|f（x1）f（x2）|x1x2|（1）设S=（x+y3）2+（1x）2+（62yx）2，当且仅当x=a，y=b时，S取得最小值，求a，b的值；（2）在（1）的条件下，证明：对任意x1，x2a，b，有|f（x1）f（x2）|成立考点：一般形式的柯西不等式；不等式的证明菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：（1）S=（x+y3）2+（1x）2+（62yx）2，利用柯西不等式求解S的最小值，当且仅当x=a，y=b时，S取得最小值，直接求a，b的值；（2）在（1）的条件下，对任意x1，x2a，b，不妨设x2x1，通过的大小分类讨论，证明|f（x1）f（x2）|成立解答：“数学史与不等式选讲”模块（10分）（1）解：由柯西不等式得（22+12+12）（x+y3）2+（1x）2+（62yx）2（2x+2y6+1x+62yx）2=1当且仅当时取等号，即（5分）（2）证明：不妨设x2x1，当（7分）当故|f（x1）f（x2）|=|（x1）f（a）+f（b）f（x2）|f（x1）f（a）|+|f（x2）f（b）|x1a|+|x2b|=x1ax2+b=故对任意成立 （10分）点评：本题考查不等式的证明，柯西不等式的几何意义，考查逻辑推理能力以及分类讨论思想的应用26（2012焦作模拟）选修45：不等式选讲已知|x2y|=5，求证：x2+y25考点：柯西不等式的几何意义菁优网版权所有专题：计算题；不等式的解法及应用分析：根据柯西不等式，得5（x2+y2）|x2y|2，结合已知等式|x2y|=5，得x2+y25，再利用不等式取等号的条件加以检验即可解答：解：由柯西不等式，得（x2+y2）12+（2）2（x2y）2即5（x2+y2）（x2y）2=|x2y|2|x2y|=5，5（x2+y2）25，化简得x2+y25当且仅当2x=y时，即x=1，y=2时，x2+y2的最小值为5不等式x2+y25成立点评：本题给出条件等式，叫我们证明不等式恒成立，考查了运用柯西不