第四课时等比数列的前n项和（2）.doc

等比数列的前n项和（2）【读一读学习要求，目标更明确】1熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题2能用等比数列的前n项和公式解决实际问题【看一看学法指导，学习更灵活】1解决与等比数列前n项和有关问题的关键在于“基本量”以及方程思想方法的灵活运用2运用等比数列前n项和解题时要注意“整体思想”方法的灵活运用3利用等比数列的知识解决实际问题，需要从实际问题中抽象出等比数列模型，明确首项a1，公比q，以及项数n的实际含义，切忌含糊不清.【课前预习】1.等比数列an的前n项和为Sn，当公比q1时，Sn ；当q1时，Sn .2. 求和: = 提示k=1n(-1)k-1=11-(-1)n1-(-1)=1-(-1)n2.3. 求等比数列-4, -2, -1, -12, 的前10项和.解S10=(-4)1-12101-12=-1023128.4. 已知等比数列中,a3=-12, S3=-9,则a1= ,公比q= 提示由题意得a3=a1q2=-12,S3=a1(1-q3)1-q=-9,解得a1=-3,q=-2.5. 已知数列的通项公式为an=22n-1,则该数列的前5项和S5= 提示由题意知为等比数列,且a1=2,q=4,所以S5=2(1-45)1-4=682.【合作探究】探究点一等比数列前n项和Sn与函数的关系问题 数列an是等比数列，公比q1其中.当公比q1时，因为a10，所以Snna1，是n的正比例函数(常数项为0的一次函数)当q1时，数列S1，S2，S3，Sn，的图象是正比例函数ya1x图象上一些孤立的点当公比q1时，等比数列的前n项和公式是Sn，它可以变形为Snqn，设A，上式可写成SnAqnA由此可见，q1的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数当q1时，数列S1，S2，S3，Sn，的图象是函数yAqxA图象上的一些孤立的点跟踪练习1若an是等比数列，且前n项和为Sn3nt，则t_.答案：-12.若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_.答案：探究点二 等比数列的前n项和的性质问题1等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，求证：SmnSmqmSn.证明左边Smn(a1a2am)(am1am2amn)Sm(a1qma2qmanqm)SmqmSn右边，问题设是等比数列，求证：成等比数列证明：设的公比为，则，成等比数列跟踪训练：在等比数列中，表示该数列的前项和，若，求（193）探究点三 分期付款问题分期付款方式在今天的商业活动中应用日益广泛，为越来越多的顾客所接受，这一方面是因为很多人一次性支付售价较高商品的款额有一定的困难，另一方面是因为不少商店也在不断改进营销策略，方便顾客购物和付款， 可以说分期付款与每个家庭、每个人的日常生活密切相关。【例2】某家用电器售价20 000元,若顾客采用分期付款,则每期付款数相同,每期为一个月,购买后一个月付款一次,共需付12次,即购买后一年付清;如果按月利率8,每月复利一次计算,那么每期应付款多少元?(1.008121.1)处理建议对于分期付款,银行有如下规定:分期付款为复利计息,每期付款数相同,且在期末付款; 到最后一次付款时,各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和.规范板书解法一设每期付款x元,则第1次付款与到最后一次付款所生利息之和为x1+0.00811,第2次付款与到最后一次付款所生利息之和为x1+0.00810,第11次付款与到最后一次付款所生利息之和为x1+0.008,第12次付款与到最后一次付款所生利息之和为x,所以各期付款连同利息之和为x(1+1.008+1.00811)=1.00812-11.008-1x.又所购电器的现价及其利息之和为20000(1+0.008)12,于是有1.00812-11.008-1x=20000(1+0.008)12,解得x1760,即每期应付款约1760元.题后反思各期所付款额连同到最后一次付款所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和（这一规定实际上作为解决问题关键步骤列方程的依据）。学习数学,是为了分析问题、解决问题,通过本例,让学生体会到生活的数学无处不在,也让他们体会到用数学的乐趣.跟踪训练 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.9100.35.解(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1a，公比q110%0.9，ana0.9n1 (n1)(2)10年的出口总量S1010a(10.910)S1080，10a(10.910)80，即a，a12.3.故2013年最多出口12.3吨【随堂练习】1设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q_.解析SnSn1an，又Sn是等差数列，an为定值，即数列an为常数列，q12一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为_解析由题意S7，S14S7，S21S14组成等比数列48,12,3，即S21S143，S2163.3在数列an中，an1can(c为非零常数)，且前n项和为Sn3n2k，则实数k的值为_解析当n1时，a1S1k，当n2时，anSnSn1(3n2k)(3n3k)23n3.由题意知an为等比数列，所以a1k232，k.4某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_(参考数值：1.151.61,1.161.77,1.171.95)解析注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.1.1a1.12a1.13a1.14a1.15a11a(1.151)10a1.1611a6.7a.【小结反思】1深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键两类数列的性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆同样，