浅析地图投影中的数学问题.docx

浅析地图投影中的数学问题 姓名： xxx 学号：xxxxxx 专业： 测绘工程 一引言地图投影是地图学重要组成部分之一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重要的。地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图投影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究的领域也相当广泛，实际上它已经形成了一门独立的学科。.地球的形状近似于一个球体，但并不是一个正球体，为了工作的需要，人们使用地球椭球体来表示地球。而地图通常是绘在平面介质上的，而地球体表面是曲面，因此制图时首先需要把曲面展成平面，然而，球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。所以必须通过一定的数学方法，建立地理坐标和平面坐标之间的关系，确定球面和平面之间点与点之间的函数关系，这就需要进行地图投影。二地图投影方法2.1 几何投影（透视投影）假想地球是一个透明体，光源位于球心，然后把球面上的经纬网投影到平面上，就得到一张球面经纬网投影。所不同的是，地图投影面除了平面之外，还有可展成平面的圆柱面和圆锥面；光源除了位于球心之外，还可以在球面、球外，或无穷远处等。象这样利用光源把地球面上的经纬网投影到平面上的方法叫做几何投影或者几何透视法。这是人们最早用来解决地球球面和地图平面这一对矛盾的一种方法。2.2 解析法随着科学生产的发展，几何透视法远远不能满足编制各种类型地图的需要，这样推动了地图投影的发展，出现了解析法。所谓解析法就是不借助于几何投影光源（而仅仅借助于几何投影的方式），按照某些条件用数学分析法确定球面与平面之间点与点之间一一对应的函数关系。 (1)函数的具体形式，是由给定的投影条件确定的。有了这种对应关系式，就可把球面上的经纬网交点表示到平面。三投影变形问题由于球面是一个不可直接展成平面的曲面，因此无论采用什么投影方法，投影后经纬网的形状与球面上的经纬网形状不完全相似。这表明地图上的经纬网发生了变形。因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物也必然发生了变形。因此，必须对各种投影变形进行研究。3.1 经纬网研究各种投影的变形规律是通过把投影后的经纬线网与地球仪上经纬线网格比较而实现的，因此必须分析经纬网的特点。1.地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长度相等；所有纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆，并且从赤道向两极越来越小，极地成为一点。2.经线表示南北方向；纬线表示东西方向。3.经线和纬线是相互垂直的。4.纬差相等的经线弧长相等；同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线上，经差相等的纬线弧长不等，而是从赤道向两极逐渐缩小的。5.同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等，不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。3.2 长度比和长度变形平面上微小线段与球面上相应微小线段之比，叫做长度比。用公式表示为： (2)其中，为变形后长度，为原长度。长度比是一个变量，它不仅随着点的位置不同而变化，还随着方向的变化而变化。长度比是指某点某方向上微小线段之比。通常研究长度比时，不一一研究各个方向的长度比，而只研究一些特定方向的长度比，即研究最大长度比()和最小长度比()，经线长度比()和纬线长度比()。投影后经纬线成直交者，经纬线长度比就是最大和最小长度比。投影后经纬线不直交，其夹角为，则经纬线长度比、和最大、最小长度比、之间具有如下关系： (3)用长度比可以说明长度变形。所谓长度变形就是长度比（）与1之差，用v表示长度变形则： (4)由此可知，长度变形有正负之分，长度变形为正，表示投影后长度增加；长度变形为负表示投影后长度缩短；长度变形为零，则长度无变形。3.3 面积比与面积变形投影平面上的微小面积与球面上相应微小面积之比，称为面积比。以投影面上变形椭圆的面积，相应球面上微小圆的面积为例，以P表示面积比，则： (5)上式说明面积比等于主方向长度比的乘积。若经纬线方向就是主方向时：。若经纬线方向不是主方向时，则面积比：(为投影后经纬线夹角)面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就是面积比与1之差，以表示，。面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。3.4 角度变形投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹角之差，称为角度变形。过一点可以做许多方向线，每两条方向线均可以组成一个角度，这些角度投影到平面上之后，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成的角度产生的变形一般也不一样。四地图投影的分类地图投影的种类很多，由于分类的标志不同，分类的方法也不同。4.1 按变形性质分类地球球面投影到平面时，产生的变形有长度、角度和面积三种，根据变形特征可分为：等角投影、等积投影和任意投影三种。4.1.1 等角投影（正形投影）角度变形为0，地球面上的微小圆经过投影后仍为相似的微小圆，其形状保持不变，只有长度和面积变形。等角投影的条件是： (6)等角投影在同一点任何方向的长度比都相等，但在不同地点长度比是不同的。4.1.2 等积投影投影后图形保持面积大小相等，没有面积误差。也就是球面上的不同地点微小圆投影后为面积相等的各个椭圆，但椭圆的形状不一样。因此有角度和长度变形。等积投影的条件是：因为p=ab，所以a=1/b或b=1/a。由于这类投影可以保持面积没有变形，故有利于在图上进行面积对比。一般用于绘制对面积精度要求较高的自然地图和经济地图。4.1.3 任意投影任意投影是既不等角也不等积的投影。这种投影的特点是面积变形小于等角投影，角度变形小于等积投影。在任意投影中，有一种特殊的投影，叫做等距投影，其条件是，m=1。即误差椭圆上的一个半径和球面上相应微小圆半径相等1.等积投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等积特性。2.任意投影不能保持等积、等角特性。3.等积投影的形状变化比较大，等角投影的面积变形比较大。4.2 按构成方法分类4.2.1 几何投影几何投影是把地球球面上的经纬线网投影到几何面上，然后将几何面展为平面而得到的，根据几何面的形状，可进一步分为如下几类：1. 方位投影：以平面作为投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。2. 2.圆住投影：以圆柱面作为投影面，使圆柱面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆柱面展为平面而成。3.圆锥投影：以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥面展为平面而成。4.2.2 非几何投影借助于任何几何面，根据一定的条件用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中，一般按经纬网形状又可分为伪方位投影、