圆锥曲线小题综合版.doc

2 2011 重庆 设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A B 两点 左焦点为在以 AB 为直径的圆内 则该双曲线 的离心率的取值范围为 A 0 B 1 C 1 D 解答 解 渐近线 y x 准线 x 求得 A B 左焦点为在以 AB 为直径的圆内 得出 b a c2 2a2 3 2011 天津 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左顶点与抛物线 y2 2px 的焦点的距离为 4 且双曲线的一 条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 2 1 则双曲线的焦距为 A 2B 2C 4D 4 解答 解 根据题意 双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 2 1 即点 2 1 在抛物线的准线上 又由抛物线 y2 2px 的准线方程为 x 则 p 4 则抛物线的焦点为 2 0 则双曲线的左顶点为 2 0 即 a 2 点 2 1 在双曲线的渐近线上 则其渐近线方程为 y x 由双曲线的性质 可得 b 1 则 c 则焦距为 2c 2 5 2011 山东 设 M x0 y0 为抛物线 C x2 8y 上一点 F 为抛物线 C 的焦点 以 F 为圆心 FM 为半径的 圆和抛物线 C 的准线相交 则 y0的取值范围是 A 0 2 B 0 2 C 2 D 2 解答 解 由条件 FM 4 由抛物线的定义 FM y0 2 4 所以 y0 2 6 2011 山东 已知双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线均和圆 C x2 y2 6x 5 0 相切 且双曲线的 右焦点为圆 C 的圆心 则该双曲线的方程为 A B 1C 1D 1 解答 解 因为圆 C x2 y2 6x 5 0 x 3 2 y2 4 由此知道圆心 C 3 0 圆的半径为 2 又因为双曲线的 右焦点为圆 C 的圆心而双曲线 1 a 0 b 0 a2 b2 9 又双曲线 1 a 0 b 0 的两条渐近线均和圆 C x2 y2 6x 5 0 相切 而双曲线的渐近线方程为 y bx ay 0 连接 得 7 2011 辽宁 已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点 A B 是该抛物线上的两点 AF BF 3 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 A B 1C D 解答 解 F 是抛物线 y2 x 的焦点 F 准线方程 x 设 A x1 y1 B x2 y2 AF BF 3 解得 线段 AB 的中点横坐标为 9 2011 福建 设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1 F2 若曲线 r 上存在点 P 满足 PF1 F1F2 PF2 4 3 2 则曲线 r 的离心率等于 A B 或 2C 2D 解答 解 依题意设 PF1 4t F1F2 3t PF2 2t 若曲线为椭圆则 2a PF1 PF2 6t c t 则 e 若曲线为双曲线则 2a 4t 2t 2t a t c t e 故选 A 10 2011 番禺区 椭圆 1 的左 右焦点是 F1 F2 P 是椭圆上一点 若 PF1 3 PF2 则 P 点到左准线的 距离是 A 2B 4C 6D 8 解答 解 椭圆方程为 1 a 2 b2 3 PF1 PF2 2a 4 PF1 3 PF2 PF1 3 PF1 1 求出椭圆的离心率 e 设 P 到左准线距离是 d 根据圆锥曲线统一定义 得 d 2 PF1 6 即 P 到左准线距离是 6 12 2011 番禺区 一动圆圆心在抛物线 x2 4y 上 动圆过抛物线的焦点 F 并且恒与直线 l 相切 则直线 l 的方 程为 A x 1B y 1C x D y 解答 解 根据抛物线方程可知抛物线焦点为 0 1 要使圆过点 0 1 且与定直线 l 相切 需圆心到焦点的距离与定直线的距离相等 根据抛物线的定义可知 定直线正是抛物线的准线 其方程为 y 1 15 2010 四川 椭圆的右焦点为 F 其右准线与 x 轴的交点为 A 在椭圆上存在点 P 满 足线段 AP 的垂直平分线过点 F 则椭圆离心率的取值范围是 A 0 B 0 C 1 D 1 解答 解 由题意 椭圆上存在点 P 使得线段 AP 的垂直平分线过点 F 即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等 而 FA PF a c a c 于是 a c a c 即 ac c2 b2 ac c2 又 e 0 1 故 e 16 2010 宁夏 已知双曲线 E 的中心为原点 P 3 0 是 E 的焦点 过 P 的直线 l 与 E 相交于 A B 两点 且 AB 的中点为 N 12 15 则 E 的方程式为 A B C D 解答 解 由已知条件易得直线 l 的斜率为 k kFN 1 设双曲线方程为 A x1 y1 B x2 y2 则有 两式相减并结合 x1 x2 24 y1 y2 30 得 从而 1 即 4b2 5a2 又 a2 b2 9 17 2010 山东 已知抛物线 y2 2px p 0 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A B 两点 若线段 AB 的 中点的纵坐标为 2 则该抛物线的准线方程为 A x 1B x 1C x 2D x 2 解答 解 设 A x1 y1 B x2 y2 则有 y12 2px1 y22 2px2 两式想减得 y1 y2 y1 y2 2p x1 x2 又因为直线的斜率为 1 所以 1 所以有 y1 y2 2p 又线段 AB 的中点的纵坐标为 2 即 y1 y2 4 所以 p 2 所以抛物线的准线方程为 x 1 18 2010 辽宁 设双曲线的 个焦点为 F 虚轴的 个端点为 B 如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直 那 么此双曲线的离心率为 A B C D 解答 解 设双曲线方程为 则 F c 0 B 0 b 直线 FB bx cy bc 0 与渐近线 y 垂直 所以 即 b2 ac 所以 c2 a2 ac 即 e2 e 1 0 所以或 舍去 19 2010 广东 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距成等差数列 则该椭圆的离心率是 A B C D 解答 解 设长轴为 2a 短轴为 2b 焦距为 2c 则 2a 2c 2 2b 即 a c 2b a c 2 4b2 4 a2 c2 所以 3a2 5c2 2ac 同除 a2 整理得 5e2 2e 3 0 或 e 1 舍去 20 2010 福建 若点 O 和点 F 分别为椭圆的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 则的 最大值为 A 2B 3C 6D 8 解答 解 由题意 F 1 0 设点 P x0 y0 则有 解得 因为 所以 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0 2 因为 2 x0 2 所以当 x0 2 时 取得最大值 21 2009 浙江 已知椭圆 1 a b 0 的左焦点为 F 右顶点为 A 点 B 在椭圆上 且 BF x 轴 直线 AB 交 y 轴于点 P 若 2 则椭圆的离心率是 A B C D 解答 解 如图 由于 BF x 轴 故 xB c yB 设 P 0 t 2 a t 2 c t a 2c e 23 2009 陕西 m n 0 是 方程 mx2 ny2 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解答 解 将方程 mx2 ny2 1 转化为 根据椭圆的定义 要使焦点在 y 轴上必须满足 所以 24 2009 四川 已知直线 l1 4x 3y 6 0 和直线 l2 x 1 抛物线 y2 4x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之 和的最小值是 A 2B 3C D 解答 解 直线 l2 x 1 为抛物线 y2 4x 的准线 由抛物线的定义知 P 到 l2的距离等于 P 到抛物线的焦点 F l2 0 的距离 故本题化为在抛物线 y2 4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F l2 0 和直线 l2的距离之和最小 最小值为 F l2 0 到直线 l2 4x 3y 6 0 的距离 即 d 25 2009 山东 设双曲线的一条渐近线与抛物线 y x2 1 只有一个公共点 则双曲线的离心率为 A B 5C D 解答 解 双曲线的一条渐近线为 由方程组 消去 y 有唯一解 所以 所以 28 2008 浙江 若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为 3 2 则双曲线的离心率是 A 3B 5C D 解答 解 依题意 不妨取双曲线的右准线 则左焦点 F1到右准线的距离为 右焦点 F2到右准线的距离为 可得 即 双曲线的离心率 30 2008 四川 已知抛物线 C y2 8x 的焦点为 F 准线与 x 轴的交点为 K 点 A 在 C 上且 则 AFK 的面积为 A 4B 8C 16D 32 解答 解 抛物线 C y2 8x 的焦点为 F 2 0 准线为 x 2 K 2 0 设 A x0 y0 过 A 点向准线作垂线 AB 则 B 2 y0 又 AF AB x0 2 x0 2 由 BK2 AK2 AB2得 y02 x0 2 2 即 8x0 x0 2 2 解得 A 2 4 AFK 的面积为 2 已知定点A 3 0 和定圆C x 3 2 y2 16 动圆与圆C相外切 并过点A 则动圆圆心P在 上 解析 由已知条件可知PC 4 PA PA为动圆的半径长 PC PA 4 即动点P到两定点A 3 0 C 3 0 距离 之差为常数 4 而AC 6 4 故P在以A C为焦点的双曲线的右支上 答案 以A C为焦点的双曲线右支 4 已知椭圆的焦点是F1和F2 P是椭圆上的一个动点 如果延长F1P到Q 使得PQ PF2 那么动点Q的轨迹是 解析 由于P是椭圆上的点 故有PF1 PF2 2a 2a F1F2 PQ PF2 F1Q F1P PQ F1Q PF1 PF2 2a 动点Q到定点F1的距离等于定长 2a 故动点Q的轨迹是圆 答案 以F1为圆心 PF1 PF2为半径的圆 14 如图 2 地在地的正东方向 4km 处 地在地的北偏东方向 2km 处 BACB30 河流的沿岸 曲线 上任意一点到的距离比到的距离远 2km 现要在曲线PQAB 上选一处 建一座码头 向两地转运货物 经测算 从到 从到PQBC MBM 修建公路的费用都是万元 km 那么修建这两条公路的总费用最低是 Ca 万元 万元 71 a 2 72 a 万元 万元2 7a 71 a 解析 原问题中曲线是以为焦点的双曲线的右支 只要求出即可 结合双曲线的PQAB min MBMC 定义可以得到 22 2 72 MBMCMAMCACa 17 设 分别为双曲线的左 右焦点 若在双曲线右支上存在点 满足 1 F 2 F 22 22 1 0 0 xy ab ab P 且到直线的距离等于双曲线的实轴长 则该双曲线的渐近线方程为 212 PFFF 2 F 1 PF A B C D C340 xy 350 xy 430 xy 540 xy 18 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 2 过右焦点F且斜率为 0 k k 的直线与C相交于AB 两 点 若3AFFB 则k A 1 B 2 C 3 D 2 法一 解析 设直线 l 为椭圆的有准线 e 为离心率 过 A B 分别作 AA1 BB1垂直于 l A1 B