三角函数教案.doc

三角函数教案 二、复习要求 1、 三角函数的概念及象限角、弧度制等概念; 2、三角公式,包括诱导公式,同角三角函数关系式和差倍半公式等; 3、三角函数的图象及性质。 三、学习指导 1、角的概念的推广。从运动的角度,在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来,在直角坐标系中,当角的终边确定时,其大小不一定(通常把角的始边放在x轴正半轴上,角的顶点与原点重合,下同)。为了把握这些角之间的联系,引进终边相同的角的概念,凡是与终边相同的角,都可以表示成k3600 的形式,特例,终边在x轴上的角集合|=k1800,kZ,终边在y轴上的角集合|=k1800 900,kZ,终边在坐标轴上的角的集合|=k900,kZ。 在已知三角函数值的大小求角的大小时,通常先确定角的终边位置,然后再确定大小。 弧度制是角的度量的重要表示法,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧长公式l=|R,扇形面积公式 ,其中为弧所对圆心角的弧度数。 2、利用直角坐标系,可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点,从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。 设P(x,y)是角终边上任一点(与原点不重合),记 ,则 , , , 。 利用三角函数定义,可以得到(1)诱导公式:即 与之间函数值关系(kZ),其规律是”奇变偶不变,符号看象限”;(2)同角三角函数关系式:平方关系,倒数关系,商数关系。 3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式,诱导公式是和差公式的特例,对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式:cos2=2cos2-1=1-2sin2,变形后得 ,可以作为降幂公式使用。 三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备。 4、三角函数的性质除了一般函数通性外,还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义:设T为非零常数,若对f(x)定义域中的每一个x,均有f(x T)=f(x),则称T为f(x)的周期。当T为f(x)周期时,kT(kZ,k0)也为f(x)周期。 三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法,熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。 5、本章思想方法 (1) 等价变换。熟练运用公式对问题进行转化,化归为熟悉的基本问题; (2) 数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题; (3) 分类讨论。 四、典型例题 例1、 已知函数f(x)= (1) 求它的定义域和值域; (2) 求它的单调区间; (3) 判断它的奇偶性; (4) 判断它的周期性。 分析: (1)x必须满足sinx-cosx 0,利用单位圆中的三角函数线及 ,kZ 函数定义域为 ,kZ 当x 时, 函数值域为 ) (3) f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 f(x)不具备奇偶性 (4) f(x 2)=f(x) 函数f(x)最小正周期为2 注;利用单位圆中的三角函数线可知,以、象限角平分线为标准,可区分sinx-cosx的符号; 以、象限角平分线为标准,可区分sinx cosx的符号,如图。 例2、 化简 ,(,2) 分析: 凑根号下为完全平方式,化无理式为有理式 原式= (,2) 当 时, 原式= 当 时, 原式= 原式= 注: 1、本题利用了”1”的逆代技巧,即化1为 ,是欲擒故纵原则。一般地有 , , 。 2、三角函数式asinx bcosx是基本三角函数式之一,引进辅助角,将它化为 (取 )是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sincosx,sinx cosx,要熟练掌握变形结论。 例3、 求 。 分析: 原式= 注:在化简三角函数式过程中,除利用三角变换公式,还需用到代数变形公式,如本题平方差公式。 例4、已知00 900,且sin,sin是方程 =0的两个实数根,求sin(-5)的值。 分析: 由韦达定理得sin sin= cos400,sinsin=cos2400- sin-sin= 又sin sin= cos400 00 900 sin(-5)=sin600= 注:利用韦达定理变形寻找与sin,sin相关的方程组,在求出sin,sin后再利用单调性求,的值。 例5、(1)已知cos(2 ) 5cos=0,求tan( )tan的值; (2)已知 ,求 的值。 分析: (1) 从变换角的差异着手。 2 =( ) ,=( )- 8cos( ) 5cos( )-=0 展开得: 13cos( )cos-3sin( )sin=0 同除以cos( )cos得:tan( )tan= (2) 以三角函数结构特点出发 tan=2 注;齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂。 例6、已知函数 (a(0,1),求f(x)的最值,并讨论周期性,奇偶性,单调性。 分析: 对三角函数式降幂 f(x)= 令 则 y=au 0 a 1 y=au是减函数 由 得 ,此为f(x)的减区间 由 得 ,此为f(x)增区间 u(-x)=u(x) f(x)=f(-x) f(x)为偶函数 u(x )=f(x) f(x )=f(x) f(x)为周期函数,最小正周期为 当x=k(kZ)时,ymin=1 当x=k (kZ)时,ynax= 注:研究三角函数性质,一般降幂化为y=Asin(x )等一名一次一项的形式。 同步 (一) 选择题 1、下列函数中,既是(0, )上的增函数,又是以为周期的偶函数是 A、y=lgx2 B、y=|sinx| C、y=cosx D、y= 2、 如果函数y=sin2x acos2x图象关于直线x=- 对称,则a值为 A、 - B、-1 C、1 D、 3、函数y=Asin(x )(A 0, 0),在一个周期内,当x= 时,ymax=2;当x= 时,ymin=-2,则此函数解析式为 A、 B、 C、 D、 4、已知 =1998,则 的值为 A、1997 B、1998 C、1999 D、2000 5、已知tan,tan是方程 两根,且, ,则 等于 A、 B、 或 C、 或 D、 6、若 ,则sinxsiny的最小值为 A、-1 B、- C、 D、 7、函数f(x)=3sin(x 100) 5sin(x 700)的最大值是 A、5.5 B、6.5 C、7 D、8 8、若(0,2,则使sin cos cot tan成立的取值范围是 A、( ) B、( ) C、( ) D、( ) 9、下列命题正确的是 A、 若,是第一象限角, ,则sin sin B、 函数y=sinxcotx的单调区间是 ,kZ C、 函数 的最小正周期是2 D、 函数y=sinxcos2-cosxsin2x的图象关于y轴对称,则 ,kZ 10、 函数 的单调减区间是 A、 B、 B、 D、 kZ (二) 填空题 11、 函数f(x)=sin(x ) cos(x-)的图象关于y轴对称,则=_。 12、 已知 = ,且 (tantan c) tan=0(c为常数),那么tan=_。 13、 函数y=2sinxcosx- (cos2x-sin2x)的最大值与最小值的积为_。 14、 已知(x-1)2 (y-1)2=1,则x y的最大值为_。 15、 函数f(x)=sin3x图象的对称中心是_。 (三) 解答题 16、 已知tan(-)= ,tan= ,(-,0),求2-的值。 17、 是否存在实数a,使得函数y=sin2x acosx 在闭区间0, 上的最大值是1?若存在,求出对应的a值。 18、已知f(x)=5sinxcosx- cos2x (xR) (1) 求f(x)的最小正周期; (2) 求f(x)单调区间; (3) 求f(x)图象的对称轴,对称中心。 参考答案 (一) 选择题 1、B 2、B